一类具有弱奇异核的偏积分微分方程的Chebyshev小波数值方法（英文）

本文提出一种基于第四类Chebyshev小波配置法,求解了一类具有弱奇异核的偏积分微分方程数值解.利用第四类移位Chebyshev多项式,在Riemann-Liouville分数阶积分意义下,导出Chebyshev的分数次积分公式.通过利用分数次积分公式和二维的第四类Chebyshev小波结合配置法,将具有弱奇异核的偏积分微分方程转化为代数方程组求解.给出了第四类Chebyshev小波的收敛性分析.数值例子证明了本文方法的有效性.     

多步Runge-Kutta方法的保单调性

一类重要的常微分方程源自用线方法求解非线性双曲型 偏微分方程,这类常微分方程的解具有单调性, 因此要求数值方法能保持原系统的这种性质.本文研究多步Runge-Kutta方法求解常微分方程初值问题的保单调性.分别获得了多步Runge-Kutta方法是条件单调和无条件单调的充分条件.       

解偏微分方程的多步-小波-Galerkin方法

推广Lax-Wendroff多步方法,建立一类新的显式和隐式相结合的多步格式,并以此为基础提出了一类显隐多步-小波-Galerkin方法,可以用来求解依赖时间的偏微分方程.不同于Taylor-Galerkin方法,文中的方案在提高时间离散精度时不包含任何新的高阶导数.由于引入了隐式部分,与传统的多步方法相比该方案有更好的稳定性,适合于求解非线性偏微分方程,理论分析和数值例子都说明了方法的有效性.     

混合广义Jacobi和Chebyshev谱配置法求解时间分数阶对流扩散方程

研究时间Caputo分数阶对流扩散方程的高效高阶数值方法.对于给定的时间分数阶偏微分方程,在时间和空间方向分别采用基于移位广义Jacobi函数为基底和移位Chebyshev多项式运算矩阵的谱配置法进行数值求解.这样得到的数值解可以很好地逼近一类在时间方向非光滑的方程解.最后利用一些数值例子来说明该数值方法的有效性和准确性.     

线性变系数中立型变延迟微分方程谱方法的收敛性

本文主要研究了应用谱方法求解线性变系数中立型变延迟微分方程,构造了相应的基于Chebyshev和Legendre正交多项式的数值方法, 证明了其收敛性,最后给出了数值算例. 这些结果表明应用谱方法求解延迟微分方程可以获得谱收敛与谱精度的计算效果.     

基于常微分方程边值问题的Chebyshev谱方法

常微分方程边值问题的数值解法有多种,其中较常用的是化边值问题为初值问题解法以及边值问题差分解法.常微分方程边值问题数值解的Chebyshev谱方法是近年来出现的一种新解法.作为应用例子,分别采用Chebyshev谱方法、化边值问题为初值问题解法、以及边值问题差分解法对一类二阶常微分方程边值问题进行数值求解,并对数值解的精确性及计算时间定量地比较,从而说明Chebyshev解法是精度很高的一种快捷解法.     

非线性Klein-Gordon方程的广义Jacobi谱配置方法

构造非线性Klein-Gordon方程的广义Jacobi谱配置格式,并给出相应收敛性分析.文中的方法和技巧为设计和分析各类线性与非线性偏微分方程的谱配置格式提供了有效的框架.     

一类分数阶多项延迟微分方程的Jacobi谱配置方法

本文利用Jacobi谱配置方法数值求解了一类分数阶多项延迟微分方程,并证明了该方法是收敛的,通过若干数值算例验证了相应的理论结果,结果表明Jacobi谱配置方法求解这类方程是非常高效的,同时也为这类分数阶延迟微分方程的数值求解提供了新的选择,对分数阶泛函方程的数值方法的研究有一定的指导意义.     

利用对称方法求解非线性偏微分方程组边值问题的数值解

本文研究微分方程对称方法在非线性偏微分方程组边值问题中的应用.首先,利用吴-微分特征列集算法确定给定非线性偏微分方程组边值问题的多参数对称;其次,利用对称将非线性偏微分方程组边值问题约化为常微分方程组初值问题;最后,利用龙格-库塔法求解常微分方程组初值问题的数值解.     

求解非线性Black-Scholes模型的自适应小波精细积分法

针对非线性Black-Scholes方程,基于quasi-Shannon小波函数给出了一种求解非线性偏微分方程的自适应多尺度小波精细积分法.该方法首先利用插值小波理论构造了用于逼近连续函数的多尺度小波插值算子,利用该算子可以将非线性Black-Scholes方程自适应离散为非线性常微分方程组;然后将用于求解常微分方程组的精细积分法和小波变换的动态过程相结合,并利用非线性处理技术(如同伦分析技术)可有效求解非线性Black-Scholes方程.数值结果表明了该方法在数值精度和计算效率方面的优越性.     

Sturm-Liouville特征值问题的多区域Legendre-Galerkin-Chebyshev配置法

提出了求解Sturm-Liouville特征值问题的多区域Legendre-Galerkin-Chebyshev的配置方法.该方法将问题的求解区间分成若干小区间,在小区间上运用Legendre-Galerkin-Chebyshev的配置方法求解,结合了Legendre-Galerkin方法和Chebyshev配置法的优点.数值算例显示了该方法的有效性.     

正倒向随机微分方程组的数值解法

1990年,Pardoux和Peng(彭实戈)解决了非线性倒向随机微分方程(backward stochastic differential equation,BSDE)解的存在唯一性问题,从而建立了正倒向随机微分方程组(forward backward stochastic differential equations,FBSDEs)的理论基础;之后,正倒向随机微分方程组得到了广泛研究,并被应用于众多研究领域中,如随机最优控制、偏微分方程、金融数学、风险度量、非线性期望等.近年来,正倒向随机微分方程组的数值求解研究获得了越来越多的关注,本文旨在基于正倒向随机微分方程组的特性,介绍正倒向随机微分方程组的主要数值求解方法.我们将重点介绍讨论求解FBSDEs的积分离散法和微分近似法,包括一步法和多步法,以及相应的数值分析和理论分析结果.微分近似法能构造出求解全耦合FBSDEs的高效高精度并行数值方法,并且该方法采用最简单的Euler方法求解正向随机微分方程,极大地简化了问题求解的复杂度.文章最后,我们尝试提出关于FBSDEs数值求解研究面临的一些亟待解决和具有挑战性的问题.     

应用广义Laguerre函数的Navier-Stokes方程外部问题混合谱方法

研究应用广义Laguerre函数的四阶非线性偏微分方程外部问题混合谱方法.构造了圆外Navier-Stokes方程流函数形式的混合谱方法,数值结果显示了该方法在空间方向的谱精度.     

求解非线性中立型延迟微分方程一类线性多步方法的收敛性

本文致力于带有Lagrang插值的一类线性多步法求解非线性中立型延迟微分方程的误差分析.证明了一个p′阶的线性多步方法配上一个q阶的Lagrang插值导致一个minf[p′,q 1]阶的E-(或EB-)收敛的非线性中立型延迟微分方程数值方法.     

二阶常微分方程初值问题的Laguerre-Gauss配置法

研究二阶常微分方程初值问题的数值解法．该文中基于Laguerre-Gauss插值设计了一类新的配置法, 它易于计算,且特别适用于非线性问题．该文中分析了二种不同情况时的收敛性,并应用Laguerre-Gauss插值的最新结果,证明了它的谱精度．该文还提供了一种多步配置法,它既简化了计算,又保持同样的谱精度．数值结果显示了这些算法的高精度．     

非线性第二类Volterra积分方程的Chebyshev谱配置法

我们在参考了相关文献的基础上,考察了一类非线性Volterra积分方程的Chebyshev谱配置法.方法中,我们将该类非线性方程转化为两个方程进行数值逼近.我们选择N阶Chebyshev Gauss-Lobatto点作为配置点,对积分项用N阶高斯数值积分公式逼近.收敛性分析结果表明数值误差的收敛阶为N^（1/2）-m,其中m是已知函数最高连续导数的阶数.我们也开展数值实验证实这一理论分析结果.     

非局部守恒条件下波动方程数值解的Chebyshev小波方法

建立了求解具有非局部守恒条件的一维波动方程数值解的第一类Chebyshev小波配置法.利用移位的第一类Chebyshev多项式,推导出Riemann-Liouville意义下第一类Chebyshev小波函数的分数次积分公式.利用分数次积分公式和二维Cheyshev小波配置法,将波动方程求解问题转化为代数方程组求解.数值算例表明该方法具有较高的精度.     

偏微分方程反问题:模型、算法和应用

偏微分方程反问题是一个重要的数学研究领域,覆盖了偏微分方程、泛函分析、非线性分析、优化算法和数值分析等不同的数学分支,在介质成像、遥感遥测和图像处理等当代重要的工程领域有广泛的应用.基于问题的不适定性,求解这类问题需要引进正则化思想.但是由于模型的复杂性和广泛性,很难建立统一的正则化框架.本文旨在对几类重要的偏微分方程反问题的研究给出一个系统的总结.在阐明偏微分方程反问题起源和特点的基础上,对以电阻抗成像、波场逆散射和介质热成像为应用背景的三类重要的偏微分方程反问题,系统阐述了核心研究问题、已有结果和方法、未来重要的研究方向.最后从反演方法有效实现的角度,对影响偏微分方程反问题数值求解精度和误差估计的主要因素给出了分析.     

分数阶延迟微分方程的样条配置方法

首次利用三次样条配置方法采用直接法求解了一类非线性分数阶延迟微分方程初值问题,并给出了方法的局部截断误差和若干数值算例.数值结果表明方法求解分数阶延迟微分方程初值问题是非常有效的,结果对于未来研究分数阶延迟微分方程的数值方法具有重要的意义.     

谱元法求解Helmholtz方程透射特征值问题

研究了Helmholtz方程透射特征值问题,提出一种Chebyshev谱元法求解,该方法兼具了有限元法处理边界及区域的灵活性和谱方法的快速收敛特性.运用加权余量原理,得到了Chebyshev谱元法用于透射特征值问题的基本理论以及数学公式,将原问题转化为二次特征值问题.最后通过数值实验算例验证了Chebyshev谱元法的有效性.