An Elementary Method on a Minimization Problem

一、ＴｈｅＰｒｏｂｌｅｍ .Ｌｅｔｆ(ｘ) =ａｘ2 ｂｘ ｃ ａｘ2 ｐｘ ｑ,ｗｈｅｒｅａ >0 ,ｂ2 - 4ａｃ≤ 0ａｎｄｐ2 - 4ａｑ≤ 0 .ＯｕｒＰｒｏｂｌｅｍｉｓ“Ｗｈｅｔｈｅｒｄｏｅｓｍｉｎｘ∈Ｒｆ(ｘ)ｅｘｉｓ?Ｍｏｒｅｏｖｅｒ ,,ｉｆｍｉｎｘ∈Ｒｆ(ｘ)ｅｘｉｓｔｓ,ｔｈｅｎｍｉｎｘ∈Ｒｆ(ｘ)=?ａｎｄｉｎｔｈｉｓｃａｓｅｘ =?” .Ｎａｔｕｒａｌｌｙ ,ｗｅｋｎｏｗｔｈａｔｍｉｎｘ∈Ｒｆ(ｘ)ｅｘｉｓｔｓｆｒｏｍｔｈｅｋｎｏｗｌｅｄｇｅｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎａｌｙｓｉｓ.Ａｌｓｏ,ｗｅｃａｎｇｉｖｅｔｈｅ…     

数学问题解答

20 0 2年 9月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 91　已知实数ａ ,ｂ ,ｃ满足不等式｜ｂ-ｃ｜≥3｜ａ｜,｜ｃ-ａ｜≥ 3｜ｂ｜ ,｜ａ-ｂ｜≥ 3｜ｃ｜ ,求证 :ａ+ｂ+ｃ=0 .(南昌大学附中　宋庆　 3 3 0 0 2 9)证明　因为ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ ,｜ｂ-ｃ｜≥ 3｜ａ｜,所以 (ｂ-ｃ) 2 ≥ 3ａ2 ,所以 3ａ2 -ｂ2 -ｃ2 +2ｂｃ≤ 0 ,同理得 3ｂ2 -ｃ2 -ａ2 +2ｃａ≤ 0 ,3ｃ2 -ａ2 -ｂ2 +2ａｂ≤ 0 ,以上三式相加 ,便得ａ2 +ｂ2 +ｃ2 +2ｂｃ+2ｃａ+2ａｂ≤ 0 ,所以 (ａ+ｂ +ｃ) 2 ≤ 0 ,所以ａ+ｂ+ｃ =0 .1 3 92　数列 {ａｎ}中 ,ａｎ =ｎ3·Π99ｉ=1(ｎ2…     

抛物线内接等腰三角形的一个性质

抛物线ｙ =ａｘ2 +ｂｘ+ｃ如果与ｘ轴有两个交点 ,以这两点及与ｙ轴交点为顶点的三角形是等腰三角形的充分必要条件是ｂ =0或者ｂ2 =ａｃ(ａｃ+3 ) 2ａｃ+2 .下面加以分析 :(1 )不难证明当ｂ=0时 ,△ＡＢＣ为等腰三角形 (ＡＣ =ＢＣ) .当ＡＣ =ＢＣ时 ,ｂ=0 .图 2图 1(2 )如图 2 ,设Ａ(ｘ1 ,0 ) ,Ｂ(ｘ2 ,0 ) .Ｃ点坐标为 (0 ,ｃ) .因此　ｘ1 =-ｂ- ｂ2 - 4ａｃ2ａ ,ｘ2 =-ｂ +ｂ2 - 4ａｃ2ａ .又∠ＢＯＣ =90°由勾股定理知ＢＣ2 =ＯＢ2 +ＯＣ2= -ｂ+ｂ2 - 4ａｃ2ａ2 +ｃ2 而ＡＢ=ｂ2 - 4ａｃａ(这里以ａ>0为例 ) .当ＡＢ =ＢＣ时 ,则ｂ2 -…     

数学问题解答

20 0 1年 7月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 2 1　实数ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,满足不等式 ｜ｂ ｃ｜≥2｜ａ｜,｜ｃ ａ｜≥ 2｜ｂ｜ ,｜ａ ｂ｜≥ 2 ｜ｃ｜ ,求证 :ａ =ｂ=ｃ.(江西南昌大学附中　宋庆　黄伟民　 3 3 0 0 2 9)证明　∵　 (ｂ ｃ) 2 ≥ 4ａ2 ,∴　 4ａ2 -ｂ2 -ｃ2 - 2ｂｃ≤ 0 ,同理可得 4ｂ2 -ｃ2 -ａ2 - 2ｃａ≤ 0 ,4ｃ2 -ａ2 -ｂ2 - 2ａｂ≤ 0 ,以上三式相加 ,可得2ａ2 2ｂ2 2ｃ2 - 2ｂｃ- 2ｃａ - 2ａｂ≤ 0 ,∴　 (ａ-ｂ) 2 (ｂ-ｃ) 2 (ｃ-ａ) 2 ≤ 0 ,∴　 (ａ-ｂ) 2 (ｂ-ｃ) 2 (ｃ-ａ) 2 =0 ,∴　ａ-ｂ=ｂ -…     

初三几何第一学期期中自测题

Ａ组一.选择题(每小题3分,共30分)1.在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ=90°,ａ,ｂ,ｃ分别是∠Ａ,∠Ｂ,∠Ｃ的对边,下列关系式中错误的是(　).Ａ.ｂ=ｃ·ｃｏｓＢ　　　　Ｂ.ｂ=ａ·ｔｇＢＣ.ａ=ｃ·ｓｉｎＡ　Ｄ.ａ=ｂ·ｃｔｇＢ2.在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠Ｃ=90°,ＡＣ=3,ＢＣ=4,则ｃｏｓＡ=(　).Ａ.34　　Ｂ.35　　Ｃ.43　　Ｄ.453.当锐角Ａ>60°时,ｓｉｎＡ的值(　).Ａ.小于12　　　　　　Ｂ.大于12Ｃ.小于32Ｄ.大于324.如果∠Ａ为锐角,且ｃｏｓＡ=35,那么(　).Ａ.0°<∠Ａ≤30°　　Ｂ.30°<∠Ａ≤45°Ｃ.45°<∠Ａ≤60°　Ｄ.60°<∠Ａ≤90°5.已和α…     

一个不等式猜想的推广及证明

在文 [1]中 ,宋庆、宋光在证明下面两个不等式 :若ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,则(ａ ｂ) (1ａ 1ｂ)≥ 4 4 (4 ｂａ -4 ａｂ) 2 (1)(ａ ｂ ｃ) (1ａ 1ｂ 1ｃ)≥ 9 6 [(6ｃｂ -6ｂｃ) 2 (6ａｃ -6ｃａ) 2 (6ｂａ -6ａｂ) 2 ](2 )后 ,提出了下面的猜想 :若ａｋ∈Ｒ (ｋ=1,2 ,… ,ｎ) ,则 ｎｋ =1 ａｋ ｎｋ =11ａｋ≥ｎ2 2ｎ 1≤ｉ <ｊ≤ｎ(2ｎ ａｊａｉ-2ｎ ａｉａｊ) 2(3)并作注 :采用上述“步步为营”的方法 ,可繁笨地证明ｎ =4,5等时 (3)式正确 .下面我们将不等式 (3)进行推广 ,得到了比不等式 (3)更强的结果 .定理 1　若ａｋ∈Ｒ (ｋ=1,…     

一道数学奥林匹克问题的推广

《中等数学》2 0 0 0年第 4期中有数学奥林匹克问题高 97.　已知ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,求证 :(ａ 1 ) 3ｂ (ｂ 1 ) 3ｃ (ｃ 1 ) 3ａ ≥814.下面给出此题的证明 .证　左边≥ 3 (ａ 1 ) (ｂ 1 ) (ｃ 1 )3 ａｂｃ=3(ａ 12 12 ) (ｂ 12 12 ) (ｃ 12 12 )3 ａｂｃ≥ 3·33 ａ4·33 ｂ4·33 ｃ43 ａｂｃ =814.等号当且仅当ａ =ｂ =ｃ =12 时成立 .实际上 ,原命题可推广为 :ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ ,ｍ ,ｎ∈Ｎ ,求证 :　　(ａ2 1 ) ｍａ1 (ａ3 1 ) ｍａ2 … (ａ1 1 ) ｍａｎ≥ ｎｍｍ(ｍ - 1 ) ｍ -1.证　左边≥ｎ[(ａ2 1 ) (ａ3 1 )…     

向量巧证不等式

在不等式证明中 ,若能根据其结构特点 ,构造向量 ,运用向量的数量积知识 ,则可使问题得到出其不意地解决 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,求证 :(ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .证明　构造向量ｍ—→ =(ａ ,ｂ) ,ｎ—→=(ｃ ,ｄ) ,设ｍ—→ 与ｎ—→ 的夹角为θ ( 0≤θ≤π) ,则　ｍ—→·ｎ—→ =ａｃ +ｂｄ ,　 |ｍ—→| =ａ2 +ｂ2 ,　　 |ｎ—→| =ｃ2 +ｄ2 ,∵　ｍ—→·ｎ—→ =|ｍ—→|·|ｎ—→|ｃｏｓθ≤ |ｍ—→|·|ｎ—→| ,∴　 (ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .例 2　设ｘ ,ｙ∈Ｒ+ ,且ｘ + ｙ =1 ,…     

一道三角题的另几种解法

《中学生数学》(2 0 0 2年 4月上期中刊登的《一道三角题的几种解法》)给人启示很大 .今给出该题与另外几种解法与大家共享 .题目　若 0 <θ <π2 ,且 3ｓｉｎθ+4ｃｏｓθ =5 ,求ｔａｎθ .一、向量模型解解　由向量内积的坐标表示我们可以构造ａ—→ =(3 ,4) ,ｂ—→=(ｓｉｎθ ,ｃｏｓθ) ,设ａ—→ 与ｂ—→ 的夹角为α .由ａ—→·ｂ—→=|ａ—→||ｂ—→|ｃｏｓα得5 =3ｓｉｎθ +4ｃｏｓθ =5× 1×ｃｏｓα ,得　ｃｏｓα =1 (0°≤α≤ 1 80°) ,　∴　α =0°,即ａ—→ 与ｂ—→ 共线 ,　∴　ｔａｎθ=34.二、解析几何模型解解法…     

培养创造性思维的一道好题

文〔1〕对“题 :设ａ1 ,ｂ1 ,ｃ1 ,ａ2 ,ｂ2 ,ｃ2 ∈Ｒ ∪{0 },且ａ1 ｂ2 =ｂ1 ｃ2 =ｃ1 ａ2 =1 .求证ａ1 ａ2 ｂ1 ｂ2 ｃ1 ｃ2 ≤ 1”根据创造规律 ,变换观点 ,得到了一些创造性结果 .本文对文〔1〕的结果进行了深入探讨 ,也得到了一些创造性结果 ,权作文〔1〕的补充 .1　变换条件　结论怎样若题设改为 :设ａ1 ,ｂ1 ,ｃ1 ,ａ2 ,ｂ2 ,ｃ2 ∈Ｒ ∪ {0 },且ａ1 ｂ2 =ｌ1 ,ｂ1 ｃ2 =ｌ2 ,ｃ1 ａ2=ｌ3,ｌ1 ｌ2 ｌ3≠ 0 ,结论如何 ?把ａ1 ｂ2 =ｌ1 变形为 1ｌ1ａ1 1ｌ1ｂ2 =1ｂ1 ｃ2 =ｌ2 变形为1ｌ2ｂ1 1ｌ2ｃ2 =1ｃ1 ａ2 =ｌ3变形…     

构造函数f(x)=sum from i=1 to n()(a_ix-b_i)~2证明不等式

函数 ｆ(ｘ) =∑ｎｉ=1(ａｉｘ -ｂｉ) 2 =(ａ1ｘ -ｂ1) 2 + (ａ2 ｘ -ｂ2 ) 2 +… + (ａｎｘ -ｂｎ) 2 是关于ｘ的二次函数且具有特点 :①二次项系数大于 0 ;②函数值 ｆ(ｘ)≥ 0 .则有其判别式Δ≤0 .某些不等式证明题 ,若能根据已知条件和结论的特点 ,巧构函数 ｆ(ｘ) =∑ｎｉ=1(ａｉｘ -ｂｉ) 2 ,从而利用 ｆ(ｘ)≥ 0 ,Δ≤ 0可轻松获解 .例 1　已知ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ且ａ + 2ｂ + 3ｃ=6 ,求证 :ａ2 + 2ｂ2 + 3ｃ2 ≥ 6 .证　构造函数 ｆ(ｘ) =(ａｘ - 1 ) 2 + ( 2·ｂｘ - 2 ) 2 + ( 3ｃｘ - 3) 2 =(ａ2 + 2ｂ2 + 3ｃ2 )·ｘ2 - 1 2ｘ + 6…     

利用向量证明不等式

平面向量与不等式分别是高中新教材第五、六章内容 .如果我们认真分析不等式的结构特征 ,类比向量相关知识 ,可以建立向量结构 ,用向量方法简捷证明不等式 .例 1　求证 :(ａｃ+ｂｄ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 ) .分析　若 (ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 )≠ 0 ,原不等式可变形为 ａｃ +ｂｄａ2 +ｂ2 ·ｃ2 +ｄ2 ≤ 1 .这种结构提示我们构造向量 ,利用两非零向量ａ—→、ｂ—→的夹角公式ｃｏｓθ =ａ—→·ｂ—→|ａ—→|·|ｂ—→| 求证 .证明设向量ＯＡ———→ =(ａ ,ｂ) ,　ＯＢ———→ =(ｃ,ｄ) .图 1( 1 )当 (ａ2 +ｂ2 )·(ｃ2 +ｄ2 ) =0…     

对一个不等式的深入思考

问题　在△ＡＢＣ中 ,角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,若Ａ +Ｃ≤ 2Ｂ ,求证 :ａ4+ｃ4≤ 2ｂ4.这是《数学教学》2 0 0 1年第 6期问题栏的一道新题 ,我们的深入思考是 :从次数方向探索 ,对自然数ｎ ,此题有无推广的新题呢 ?推广 1　在△ＡＢＣ中 ,角Ａ ,Ｂ ,Ｃ的对边分别为ａ ,ｂ ,ｃ ,若Ａ +Ｃ≤ 2Ｂ ,求证 :1 )对于 1≤ｎ≤ 4 (ｎ∈Ｎ) ,不等式ａｎ+ｃｎ≤ 2ｂｎ 均成立 ;2 )对于ｎ >4 (ｎ∈Ｎ) ,不等式ａｎ+ｃｎ≤2ｂｎ不能成立 .证　 1 )由原不等式ａ4+ｃ4≤ 2ｂ4的证明过程易知 ,其等号当且仅当ｃｏｓＢ =12 ,且ｂ2 =ａｃ,即ａ =…     

方程ax~2 b|x| c=0根的讨论

众所周知 ,对于一元二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ =0(ａ≠ 0 ,ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ) ,当Δ =ｂ2 - 4ａｃ≥ 0时 ,在实数集内有两根 ;当Δ <0时 ,在实数集内无根 ,但在复数集内有两根 .但对形如ａｘ2 ｂ|ｘ| ｃ=0 (ａ≠ 0 ,ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ)的方程 ,其根的情况与系数间的关系就复杂得多 .以下是关于此方程根的存在性情况的讨论 .1　在实数集内根的情况结论 1　对方程ａｘ2 ｂ|ｘ| ｃ =0 (ａ≠ 0 ,ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ) (Ⅰ )当ａ ,ｂ ,ｃ满足条件ｂ2 - 4ａｃ >0- ｂ2ａ>0ａｃ>0(1)时 ,在实数集内有四个根 ;当ａ ,ｂ ,ｃ满足条件ｂ2 - 4ａｃ >0ａｃ<0 (2 )时 …     

圆锥曲线通径长公式的应用

定义　过圆锥曲线焦点作垂直于过焦点的对称轴的垂线被圆锥曲线所截得的线段叫做圆锥曲线的通径 .定理　椭圆、双曲线、抛物线通径长为2ｅｐ( ｐ为圆锥曲线焦点到相应准线的距离 ) .证明　抛物线 (略 )、椭圆、双曲线的通径长均为2ｂ2ａ ,而 | ａ2ｃ-ｃ| =ｂ2ｃ=ｐ ,∴　2ｂ2ａ =2× ｃａ×ｂ2ｃ=2ｅｐ .例 1　过抛物线ｙ2 =2ｐｘ( ｐ >0 )的焦点且垂直于ｘ轴的弦为ＡＢ ,Ｏ为抛物线顶点 ,则∠ＡＯＢ(　　 ) .　 (Ａ)小于 90°　 (Ｂ)等于 90°　 (Ｃ)大于 90°　 (Ｄ)不能确定与 90°的大小图 1解　∵　通径长为2 ｐ ,如图 1 ,∴　 |ＡＦ| …     

数学问题解答

20 0 0年 9月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 71　已知ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ ,求证 :当ａｂｃ≤ 1时 ,ａｂ ｂｃ ｃａ ≥ａ ｂ ｃ.当ａｂｃ≥ 1时 ,ａｂ ｂｃ ｃａ >1ａ 1ｂ 1ｃ证明　当ａｂｃ≤ 1时 ,(1 )当ａ ｂ ｃ≥ａｂ ｂｃ ｃａ时 ,∵　 ａｂ ｂｃ ｃａ ａｂ ｂｃ ｃａ≥ 2 (ａ ｂ ｃ)∴　 ａｂ ｂｃ ｃａ≥ 2 (ａ ｂ ｃ) - (ａｂ ｂｃ ｃａ)≥ａ ｂ ｃ(2 )当ａｂ ｂｃ ｃａ ≥ａ ｂ ｃ时 ,∵　ａ2 ｃ ｂ2 ａ ｃ2 ｂ ｃ ａ ｂ≥ 2 (ａｃ ｂａ ｃｂ)∴　ａ2 ｃ ｂ2 ａ ｃ2 ｂ≥ 2 (ａｃ ｂａ ｃｂ) - (ｃ ａ…     

点到直线距离公式的推广及应用

若点Ｐ(ａ ,ｂ)是直线λ1ｘ +λ2 ｙ +λ3 =0(λ1,λ2 ,λ3 ∈Ｒ)上一点 ,则ｄ =|λ1ａ +λ2 ｂ +λ3 |λ21+λ22,这是众所周知的 ,由它可得性质　若ａ ,ｂ ,λ1,λ2 ,λ3 ∈Ｒ ,且λ1ａ +λ2 ｂ +λ3 =0 ,则λ23 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (λ21+λ22 ) .证　构造直线ｌ:λ1ｘ +λ2 ｙ +λ3 =0 ,显然点Ｐ(ａ ,ｂ)在直线ｌ上 ,原点Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ =|λ3 |λ21+λ22,原点Ｏ与点Ｐ之间的距离为 |ＰＯ| =ａ2 +ｂ2∵ｄ≤ |ＰＯ| ,∴ |λ3 |λ21+λ22≤ａ2 +ｂ2 .故　λ23 ≤ (ａ2 +ｂ2 ) (λ21+λ22 ) .推论　若λ1,λ2 ,λ3 ∈Ｒ ,且λ1+λ2 +λ3=0…     

函数y=θ-argz的几何解释

设复数ｚ =ａｃｏｓθ ｉ·ｂｓｉｎθ,(ａ>ｂ >0 ,0 <θ<π2 ) ,则θ为复数ｚ在复平面上对应点ｚ轨迹 ｘ =ａｃｏｓθｙ =ｂｓｉｎθ(0 <θ<π2 为参数 )———椭圆 (在第一象限部分 )的离心角 ,如图 ,函数ｙ=θ-ａｒｇｚ即为∠ＡＯＺ .ｔｇ∠ＡＯＺ =ｔｇｙ =ｔｇ(θ-ａｒｇｚ)=ｔｇθ - ｂａｔｇθ1 ｔｇθ· ｂａｔｇθ=(ａ -ｂ)ｔｇθａ ｂｔｇ2 θ=ａ-ｂａｔｇθ ｂｔｇθ≤ ａ-ｂ2ａｂ,所以ｙ的最大值为ａｒｃｔｇａ -ｂ2ａｂ,当且仅当 ａｔｇθ=ｂｔｇθ,即θ =ａｒｃｔｇ ａｂ 时取得 .当ａ =3 ,ｂ=2或ａ =3 ,ｂ=1时就分别得到 9…     

平面向量学习中应注意几个问题

人教社出版的高中数学第一册 (下 )第五章《平面向量》对初学者来说 ,容易与学过的数的性质及平面几何知识产生混淆 .为了避免错误出现 ,笔者认为同学们在学习时应注意以下几个问题 .1　“实数ａ ,ｂ ,ｃ ,且ａｂ =ａｃ,ａ≠ 0推出ｂ =ｃ”这一性质在向量的乘法运算“·”中不成立例 1　举例说明“ａ→·ｂ→ =ａ→·ｃ→ 且ａ→ ≠ 0 → ,则ｂ→ =ｃ→”不真 .解　取 |ａ→| =1,|ｂ→| =22 ,ａ→ 与ｂ→ 的夹角为 4 5° ,|ｃ→| =12 ,ａ→ 与ｃ→ 的夹角为 0° .显然ａ→·ｂ→ =ａ→·ｃ→ =12 ,但ｂ→ ≠ｃ→ .2　实数乘法中 ,“如果ａｂ…     

1999年河北省高中数学竞赛试题

考生注意 ,本试卷共五道大题 ,满分 150分 ,时间 12 0分钟 .选择题 (本题满分 36分 ,每小题 6分 )下列每小题 4个选项中只有一个是正确的 ,请把正确选项的代号填入下表内 .题号 12 34561　已知ｌｏｇａｂ 3ｌｏｇｂａ =132 ,当ａ >ｂ >1时 ,ａ ｂ4ａ2 ｂ2的值是 (　　 )(Ａ) 13.　 (Ｂ) 4.　 (Ｃ) 2 .　 (Ｄ) 1.2　设Ｍ ={ａ|ａ =2 ｘ·3ｙ·5ｚ,ｘ ,ｙ ,ｚ均为非负整数 }的子集为Ｎ ={ｂ|ｂ∈Ｍ ,1≤ｂ≤ 10 } ,则Ｎ的子集中包含元素 1和 10的集合有 (　　 )(Ａ) 10个 .(Ｂ) 6 4个 .(Ｃ) 12 8个 .(Ｄ) 2 56个 .3　将边ＢＣ =15ｃｍ的△…