数学问题解答

20 0 2年 9月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 91　已知实数ａ ,ｂ ,ｃ满足不等式｜ｂ-ｃ｜≥3｜ａ｜,｜ｃ-ａ｜≥ 3｜ｂ｜ ,｜ａ-ｂ｜≥ 3｜ｃ｜ ,求证 :ａ+ｂ+ｃ=0 .(南昌大学附中　宋庆　 3 3 0 0 2 9)证明　因为ａ ,ｂ,ｃ∈Ｒ ,｜ｂ-ｃ｜≥ 3｜ａ｜,所以 (ｂ-ｃ) 2 ≥ 3ａ2 ,所以 3ａ2 -ｂ2 -ｃ2 +2ｂｃ≤ 0 ,同理得 3ｂ2 -ｃ2 -ａ2 +2ｃａ≤ 0 ,3ｃ2 -ａ2 -ｂ2 +2ａｂ≤ 0 ,以上三式相加 ,便得ａ2 +ｂ2 +ｃ2 +2ｂｃ+2ｃａ+2ａｂ≤ 0 ,所以 (ａ+ｂ +ｃ) 2 ≤ 0 ,所以ａ+ｂ+ｃ =0 .1 3 92　数列 {ａｎ}中 ,ａｎ =ｎ3·Π99ｉ=1(ｎ2…     

巧化齐次式妙证不等式

若不等式两边各项的次数相等 ,不妨称之为齐次不等式 .如均值不等式中 ,ａ2 +ｂ2 ≥2ａｂ ,是齐二次不等式 ,ａ +ｂ+ｃ3 ≥ 3 ａｂｃ是齐一次不等式 ,对某些非齐次不等式的证明 ,若能结合题设条件 ,将低次项的次数适当升高 ,从而将原不等式转化为齐次不等式来处理 ,往往会产生出奇制胜的解题效果 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ+ｂ +ｃ=1.求证 :ａｂ +ｂｃ+ｃａ≤ 13 .分析　所证不等式左边是二次式 ,右边是一个常数 ,即零次式 .由已知　ａ +ｂ+ｃ =1,∴　　　 (ａ+ｂ+ｃ) 2 =1,从而所证不等式可化为齐二次不等式ａｂ +ｂｃ+ｃａ≤ 13 (ａ +ｂ+ｃ) 2 ,即　ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ≥ａｂ +ｂｃ+ｃａ .而　左边 -右边= 12 [(ａ-ｂ) 2 +(ｂ -ｃ) 2 +(ｃ -ａ) 2 ] ≥ 0 ,∴　原不等式成立 .例 2　已知 ｐ3 +ｑ3 =2 .求证 :ｐ+ｑ≤ 2 .分析　所证不等式左边为一次式 ,右边为零次式 ,考虑到已知等式是一个三次式 ,从而将所证不等式两边立方 ,得 (ｐ+ｑ) 3 ≤ 8,∵　ｐ3 +ｑ3 =2 ,　∴　 8=4( ｐ3 +ｑ...     

用“若a+b=0,则ab≤0”解竞赛题

如果两实数ａ ,ｂ满足ａ +ｂ =0 ,则ａｂ≤0 .应用这个结论解答一些竞赛题十分简捷 .现举例说明 .例 1　ｘ ,ｙ ,ｚ均为实数 ,解方程组ｘ + ｙ =2ｘｙ -ｚ2 =1①②(1987年上海市初中数学竞赛 )解　由①得　 (ｘ -1) + (ｙ -1) =0 .∴ (ｘ -1) (ｙ -1) =ｘｙ-(ｘ + ｙ) + 1≤0 ③①、②代入③得　 (ｘ -1) (ｙ -1) =ｚ2 ≤ 0 ,∴　ｚ =0 ,　ｘ -1=ｙ -1=0 .故方程组的解是　ｘ =1,ｙ =1,ｚ =0 .例 2　已知实数ａ ,ｂ ,ｃ满足ａ +ｂ +ｃ =0 ,ａｂｃ=8.求ｃ的取值范围 .(第一届“希望杯”初二数学竞赛 )解　由已知 (ａ + 12 ｃ) + (ｂ + 12 ｃ)…     

上期课外练习参考解答

初一年级1 .两边连续乘以 2 ,得　12 ｘ + 2 =4,∴　ｘ =4.2 .∵　ＡＢ·ＡＡＡＡ =ＡＢ·ＡＡ·1 0 1 ,ＡＢＡＢ·ＡＡ =ＡＢ·1 0 1·ＡＡ ,∴　等式成立 .3.分类比较三个有理数的两种表达形式 ,得出ａ =-1 ,ｂ =1 .故所求式的值为 0 .初二年级1 .由已知得　 5 =ｘ -1 .∴　原式 =ｘ3 -( 2 +ｘ -1 )ｘ2 + ( 1 + 2ｘ-2 )ｘ -ｘ + 1 + 2 0 0 3=ｘ2 -2ｘ + 2 0 0 4=(ｘ -1 ) 2+ 2 0 0 3=2 0 0 8.2 .原式 =ａ2 ｄ2 -2ａｂｃｄ +ｂ2 ｃ2 +ａ2 ｃ2+ 2ａｂｃｄ +ｂ2 ｄ2=(ａ2 +ｂ2 ) (ｃ2 +ｄ2 )=1× 2 0 0 3=2 0 0 3.3.如图 ,记Ａｉ(ｉ =1 ,2 ,…     

一个条件不等式的应用与推广

定理 1　设ａ ,ｂ∈Ｒ ,且ａ ｂ =1 ,则ａｂ 1ａｂ≥ 414.(当且仅当ａ =ｂ =12 时 ,等号成立 )证　ａｂ 1ａｂ≥ 414 4ａ2 ｂ2 - 17ａｂ 4≥ 0 ( 4ａｂ - 1 ) (ａｂ - 4 )≥ 0 ;∵ａｂ =(ａｂ) 2 ≤ ( ａ ｂ2 ) 2 =14,∴ 4ａｂ≤ 1 ,而又知ａｂ≤14<4,故 ( 4ａｂ - 1 ) (ａｂ - 4 )≥ 0成立 ,即ａｂ 1ａｂ≥ 414获证 .1　巧用ａｂ 1ａｂ≥ 414解题　例 1　设ｘ ,ｙ∈Ｒ ,解方程组ｘ ｙ =1 ,( 2ｘ 3ｙ) ( 2 ｙ 3ｘ) =49.解　考察 49=4ｘｙ 9ｘｙ 1 2 =4(ｘｙ 1ｘｙ) 5·1ｘｙ 1 2≥ 4·414 5·4 1 2 =49,可见当ｘ …     

IMO41—2命题背景探秘

第 4 1届 (2 0 0 0年 )国际数学奥林匹克试题第 2题是 :设ａ ,ｂ ,ｃ是满足ａｂｃ=1的正数 ,证明 :(ａ - 1 1ｂ) (ｂ - 1 1ｃ) (ｃ - 1 1ａ)≤ 1(1)我们猜测 ,该题是以 1983年瑞士数学奥林匹克试题第 2题为背景编制的 :设ａ ,ｂ ,ｃ是正数 ,证明 :ａｂｃ≥ (ｂ ｃ-ａ) (ｃ ａ -ｂ) (ａ ｂ -ｃ) (2 )事实上 ,将 (2 )式变形 ,可得(ｂａ - 1 ｃａ) (ａｃ - 1 ｂｃ) (ｃｂ - 1 ａｂ)≤ 1,于上式 ,令 ｂａ =ａ′ ,ａｃ =ｂ′ ,ｃｂ =ｃ′,则ａ′ ,ｂ′ ,ｃ′为满足ａ′ｂ′ｃ′ =1的正数 ,并成立(ａ′ - 1 1ｂ′) (ｂ′ - 1 1ｃ′) (ｃ′ - 1 1…     

数学问题解答

20 0 0年 9月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 71　已知ａ,ｂ,ｃ∈Ｒ ,求证 :当ａｂｃ≤ 1时 ,ａｂ ｂｃ ｃａ ≥ａ ｂ ｃ.当ａｂｃ≥ 1时 ,ａｂ ｂｃ ｃａ >1ａ 1ｂ 1ｃ证明　当ａｂｃ≤ 1时 ,(1 )当ａ ｂ ｃ≥ａｂ ｂｃ ｃａ时 ,∵　 ａｂ ｂｃ ｃａ ａｂ ｂｃ ｃａ≥ 2 (ａ ｂ ｃ)∴　 ａｂ ｂｃ ｃａ≥ 2 (ａ ｂ ｃ) - (ａｂ ｂｃ ｃａ)≥ａ ｂ ｃ(2 )当ａｂ ｂｃ ｃａ ≥ａ ｂ ｃ时 ,∵　ａ2 ｃ ｂ2 ａ ｃ2 ｂ ｃ ａ ｂ≥ 2 (ａｃ ｂａ ｃｂ)∴　ａ2 ｃ ｂ2 ａ ｃ2 ｂ≥ 2 (ａｃ ｂａ ｃｂ) - (ｃ ａ…     

一个不等式的加强及证法

《中学生数学》2 0 0 2年 5月上期课外练习中 ,杨大为先生提出如下不等式 :设正实数ａ、ｂ满足ａ +ｂ =1,求证 :1+ａ2 + 1+ｂ2 >2 2 -1.若将此不等式下界加强且给出上界 ,则更能体现其严密性及简洁性 .其结果为 :5≤1+ａ2 + 1+ｂ2 <1+ 2 ,以下给出两种证法 .证法 1　 (放缩法 )∵　ａ、ｂ∈Ｒ+ ,　ａ +ｂ =1,∴　 0 <ａｂ≤14 .∴　ａ2 +ｂ2 =1-2ａｂ≥ 12 .∵　 (1+ａ2 + 1+ｂ2 ) 2　 =2 +ａ2 +ｂ2 + 2 1+ａ2 +ｂ2 +ａ2 ｂ2　 =2 +ａ2 +ｂ2 + 2 2 -2ａｂ + (ａｂ) 2　 =2 +ａ2 +ｂ2 + 2 1+ (1-ａｂ) 2　≥ 2 + 12 + 2 1+ (1-14 ) 2　 =52 +…     

一道不等式证明题的多维思考

题　若ａ >0 ,ｂ >0 ,且ａ ｂ =1,证明　　　 (ａ 1ａ) (ｂ 1ｂ)≥2 54 ( 1)思考 1　若用均值不等式ａ 1ａ ≥ 2去证 ,得不到要证明的结论 .失败的原因在于没有利用条件ａ ｂ =1.为了利用这一条件 ,须将 ( 1)的左边变形 .∵ａ ,ｂ∈Ｒ ,ａ ｂ =1,∴ 0 <ａｂ≤ 14 .∴　 (ａ 1ａ) (ｂ 1ｂ) =ａ2 ｂ2 ａ2 ｂ2 1ａｂ　 =ａ2 ｂ2 1- 2ａｂ 1ａｂ =1ａｂ[(ａｂ - 1) 2 1]　≥ 4 [( 14 - 1) 2 1] =2 54 .当且仅当ａ =ｂ =12 时等号成立 .思考 2　∵ 0 <ａｂ≤ 14 ,∴ (ａ 1ａ) (ｂ 1ｂ) =ａｂ 1ａｂ ｂａ ａｂ…     

一个代数不等式的简洁证明

题目　ａ ,ｂ ,ｃ均为正数 ,且ａｂｃ =1,则有ａ( 1 ｂ)2 ｂ( 1 ｃ)2 ｃ( 1 ａ)2≥ 2ａ( 1 ｂ) 2ｂ( 1 ｃ) 2ｃ( 1 ａ) .《中学数学教学》2 0 0 0年第 2期第 34页上给出的证明很繁冗 ,下面介绍一种十分简洁的证明 .证　∵ ( 1 ｂ) ( 1 1ｂ) =2 ｂ 1ｂ ≥ 4 ,∴ 1 1ｂ ≥ 41 ｂ,　　∴ 1ａ 1ａｂ≥ 4ａ( 1 ｂ) ,∴ｂｃ ｃ≥ 4ａ( 1 ｂ) .同理可得　ｃａ ａ≥ 4ｂ( 1 ｃ) ,ａｂ ｂ≥ 4ｃ( 1 ａ) ,以上三式相加 ,整理即得原不等式一个代数不等式的简洁证明@宋爽$永修县第一中学!江西九江330304 高三 @王春明$永修县第一中学!江西…     

巧构造 妙解题

构造法是一种重要的解题方法 ,是最富活力的数学转化方法之一 .恰当地运用这一方法解题 ,能收到以简驭繁、化难为易、事半功倍之效 .下面以各类竞赛题为例说明 .一、构造方程例 1　已知ａ ,ｂ ,ｃ三数满足方程组ａ +ｂ =8,ａｂ -ｃ2 + 82ｃ =48.试求方程ｂｘ2 +ｃｘ -ａ=0的根 .( 2 0 0 2年全国初中数学联赛题 )解　∵　ａ +ｂ =8,　ａｂ =ｃ2 -82ｃ +48,∴　ａ ,ｂ是方程ｘ2 -8ｘ +ｃ2 -82ｃ + 48=0的两根 ,则Δ =82 -4 (ｃ2 -82ｃ + 48)≥ 0 ,即　 -4 (ｃ -4 2 ) 2 ≥ 0 .∴　ｃ =42 .代入方程 ,得ｘ2 -8ｘ + 16=0 ,解之得ａ =ｂ =4.∴　…     

一道数学奥林匹克问题的推广

《中等数学》2 0 0 0年第 4期中有数学奥林匹克问题高 97.　已知ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,求证 :(ａ 1 ) 3ｂ (ｂ 1 ) 3ｃ (ｃ 1 ) 3ａ ≥814.下面给出此题的证明 .证　左边≥ 3 (ａ 1 ) (ｂ 1 ) (ｃ 1 )3 ａｂｃ=3(ａ 12 12 ) (ｂ 12 12 ) (ｃ 12 12 )3 ａｂｃ≥ 3·33 ａ4·33 ｂ4·33 ｃ43 ａｂｃ =814.等号当且仅当ａ =ｂ =ｃ =12 时成立 .实际上 ,原命题可推广为 :ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ ,ｍ ,ｎ∈Ｎ ,求证 :　　(ａ2 1 ) ｍａ1 (ａ3 1 ) ｍａ2 … (ａ1 1 ) ｍａｎ≥ ｎｍｍ(ｍ - 1 ) ｍ -1.证　左边≥ｎ[(ａ2 1 ) (ａ3 1 )…     

一个不等式猜想的推广及证明

在文 [1]中 ,宋庆、宋光在证明下面两个不等式 :若ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,则(ａ ｂ) (1ａ 1ｂ)≥ 4 4 (4 ｂａ -4 ａｂ) 2 (1)(ａ ｂ ｃ) (1ａ 1ｂ 1ｃ)≥ 9 6 [(6ｃｂ -6ｂｃ) 2 (6ａｃ -6ｃａ) 2 (6ｂａ -6ａｂ) 2 ](2 )后 ,提出了下面的猜想 :若ａｋ∈Ｒ (ｋ=1,2 ,… ,ｎ) ,则 ｎｋ =1 ａｋ ｎｋ =11ａｋ≥ｎ2 2ｎ 1≤ｉ <ｊ≤ｎ(2ｎ ａｊａｉ-2ｎ ａｉａｊ) 2(3)并作注 :采用上述“步步为营”的方法 ,可繁笨地证明ｎ =4,5等时 (3)式正确 .下面我们将不等式 (3)进行推广 ,得到了比不等式 (3)更强的结果 .定理 1　若ａｋ∈Ｒ (ｋ=1,…     

浅谈求无理型函数值域的方法与技巧

利用导数与微分固然可以解决一切无理型函数的值域 ,但并不一定简单明快 ,相反有时采取一些初等方法与技巧 ,却可以收到意想不到的效果 .本文试图从初等数学的角度 ,探求竞赛中常见的求无理型函数值域的方法与技巧 .[技巧一 ]———两边平方或配方例 1　设ａ、ｂ是不等正数 ,求ｙ =ａｃｏｓ2 ｘ +ｂｓｉｎ2 ｘ +ａｓｉｎ2 ｘ +ｂｃｏｓ2 ｘ的最值 .解　显然ｙ>0 ,ｙ2 =ａ +ｂ +2 (ａ -ｂ) 24ｓｉｎ2 2ｘ +ａｂ .∵　 0≤ｓｉｎ2 2ｘ≤ 1 ,∴　ａ +ｂ≤ｙ≤ 2 (ａ +ｂ) .∴　ｙｍｉｎ=ａ +ｂ ,　ｙｍａｘ=2 (ａ +ｂ) .[技巧二 ]———构造对…     

函数y=θ-argz的几何解释

设复数ｚ =ａｃｏｓθ ｉ·ｂｓｉｎθ,(ａ>ｂ >0 ,0 <θ<π2 ) ,则θ为复数ｚ在复平面上对应点ｚ轨迹 ｘ =ａｃｏｓθｙ =ｂｓｉｎθ(0 <θ<π2 为参数 )———椭圆 (在第一象限部分 )的离心角 ,如图 ,函数ｙ=θ-ａｒｇｚ即为∠ＡＯＺ .ｔｇ∠ＡＯＺ =ｔｇｙ =ｔｇ(θ-ａｒｇｚ)=ｔｇθ - ｂａｔｇθ1 ｔｇθ· ｂａｔｇθ=(ａ -ｂ)ｔｇθａ ｂｔｇ2 θ=ａ-ｂａｔｇθ ｂｔｇθ≤ ａ-ｂ2ａｂ,所以ｙ的最大值为ａｒｃｔｇａ -ｂ2ａｂ,当且仅当 ａｔｇθ=ｂｔｇθ,即θ =ａｒｃｔｇ ａｂ 时取得 .当ａ =3 ,ｂ=2或ａ =3 ,ｂ=1时就分别得到 9…     

应用放缩法证明不等式

放缩法是证明不等式的重要方法 .应用哪些方法进行放缩 ,向哪个方向放缩 ,放缩到什么程度 ?是使用该法证明不等式的难点 .本文将就这些方面作些介绍 .1　去掉式子中某些正项或负项去掉式子中某些正项或者负项 ,可使式子缩小或者放大 .例 1　设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ 且ａｂ ｂｃ ａｃ =1,求证 :ａ ｂ ｃ≥ 3 .证　∵ (ａ ｂ ｃ) 2 =ａ2 ｂ2 ｃ2 2ａｂ 2ｂｃ 2ａｃ=12 [(ａ -ｂ) 2 (ｂ -ｃ) 2 (ｃ -ａ) 2 ] 3(ａｂ ｂｃ ａｃ)≥ 3(ａｂ ｂｃ ａｃ) =3 ,∵ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,∴ａ ｂ ｃ≥ 3 .例 2　在△ＡＢＣ中 ,求证 :ｓｉ…     

一个定理的别证及推广

文 [1 ]的定理 2为 :设ａ ,ｂ∈Ｒ+,若ａ+ｂ≤ 2 ,则ａ+ｂ2 +2ａ+ｂ ≤ａｂ +1ａｂ若ａｂ≥ 1 ,则ａ+ｂ2 +2ａ +ｂ≥ ａｂ+1ａｂ其证明方法是作差比较法 ,现用函数的单调性证明之 .证明　易证函数ｆ(ｘ) =ｘ +1ｘ 在 (0 ,1 ]上递减 ,在 [1 ,+∞ )上递增 .因为 ａ +ｂ2 ≥ ａｂ ,故当 ａ+ｂ2 ≤ 1时 ,ｆ ａ+ｂ2 ≤ｆ(ａｂ) ,当ａｂ≥ 1时 ,ｆ ａ +ｂ2 ≥ｆ(ａｂ) ,即当ａ +ｂ≤ 2时 ,ａ+ｂ2 +2ａ+ｂ≤ ａｂ+1ａｂ.当ａｂ≥ 1时 ,ａ +ｂ2 +2ａ+ｂ≥ ａｂ+1ａｂ.推广　设ｘｋ >0 (ｋ =1 ,2 ,… ,ｎ) ,若∑ｎｋ=1ｘｋ ≤ｎ ,则1ｎ∑ｎｋ =1ｘｋ+…     

两个不等式

《数学通报》2 0 0 0年第 5期上第 12 52数学问题是 :设ａ ,ｂ ,ｃ是周长为 1的三角形的三条边长 .试证 :ａ2 ｂ ｂ2 ｃ ｃ2 ａ <18. ( 1)这个不等式使我想起曾见到过的一道竞赛题 :在△ＡＢＣ中 ,若ａ ｂ ｃ =1,求证 :ａ2 ｂ2 ｃ2 4ａｂｃ<12 . ( 2 )(第 2 3届全苏数学竞赛题 )由 ( 1)、( 2 )可知 ,ａ2 ｂ ｂ2 ｃ ｃ2 ａ与 14(ａ2 ｂ2 ｃ2 4ａｂｃ)均小于 18,它们之间可以比较大小吗 ?如果可以 ,谁大谁小呢 ?下面就是我探究的结果 .命题　在△ＡＢＣ中 ,若ａ ｂ ｃ=1,则ａ2 ｂ ｂ2 ｃ ｃ2 ａ <14(ａ2 ｂ2 ｃ2 4ａｂｃ) ( 3…     

在代数式求值中数学思想运用举隅

数学思想是数学的精髓 .运用数学思想求代数式的值是初中数学比较常见的问题 ,特别是在初中数学竞赛中应用比较多 .下面举例谈谈数学思想在代数式求值中的应用 .一、整体思想例 1　已知ａ≠ 0 ,ｂ≠ 0 ,且 1ａ +1ｂ =4 ,那么4ａ+3ａｂ +4ｂ- 3ａ+2ａｂ - 3ｂ=.(第九届全国希望杯数学邀请赛题 ) .分析 :原式视 1ａ+1ｂ为一个整体来处理 ,再用已知条件代入便求得所求代数式的值 .解 :∵ａ≠ 0 ,ｂ≠ 0 ,∴ａｂ≠ 0 .用ａｂ分别除原式的分子分母得 ,原式 =4ｂ+3+4ａ- 3ｂ+2 - 3ａ=4 ( 1ａ+1ｂ) +3- 3( 1ａ+1ｂ) +2.∵ 1ａ+1ｂ=4 ,∴原式 =4× 4…     

立方和(差)公式的正用、逆用及变用

立方和与立方差公式是 :ａ3+ｂ3=(ａ +ｂ) (ａ2 -ａｂ +ｂ2 ) ;ａ3-ｂ3=(ａ -ｂ) (ａ2 +ａｂ +ｂ2 ) .它们又可简单变形为 :ａ3+ｂ3=(ａ +ｂ) 3-3ａｂ(ａ +ｂ) ;ａ3-ｂ3=(ａ -ｂ) 3+3ａｂ(ａ -ｂ) .灵活应用这组公式 ,不但可以使问题快捷方便得解 ,而且常常令人回味无穷 .下面举例说明这组公式的应用 .一、正用(第九届“希望杯”初一试题 )计算783+2 2 3782 -78× 2 2 +2 2 2 .解　设 78=ａ ,2 2 =ｂ ,则　原式 =ａ3+ｂ3ａ2 -ａｂ+ｂ2 =(ａ +ｂ) (ａ2 -ａｂ+ｂ2 )ａ2 -ａｂ+ｂ2=ａ +ｂ=1 0 0 .二、逆用(第七届“希望杯”初二培训题 )计算1 9…