两类六角系统的$A\alpha$-特征多项式和$A\alpha$-谱

2017年, Nikiforov首次提出研究图$G$的$A\alpha$-矩阵, 其定义为:$A\alpha(G)=\alpha D(G)+(1-\alpha)A(G) (\alpha\in [0,1])$, 其中$A(G)$和$D(G)$分别为图$G$的邻接矩阵和度对角矩阵. 设$F_n$和$M_n$分别为圈状六角系统和M\"{o}bius带状六角系统图. 根据循环矩阵的行列式和特征值, 本文首先给出图$F_n$和$M_n$的$A\alph$-特征多项式和$A\alpha$-谱, 进一步得到图$F_n$和$M_n$的$A\alpha$-能量的上界.     

图的$A_\alpha$谱半径的注释

设$G$为具有$n$个顶点的简单图, $\rho_\alpha(G)$为其$A_\alpha(G)$谱半径.对图$G$的任一顶点$v_i$, 本文给出了$\rho_\alpha(G)$与$\rho_alpha(G-v_i)$之间的关系.     

双圈图的距离无符号拉普拉斯谱半径

连通图$G$的距离无符号拉普拉斯矩阵定义为$\mathcal{Q}(G)=Tr(G)+D(G)$, 其中$Tr(G)$和$D(G)$分别为连通图$G$的点传输矩阵和距离矩阵. 图$G$的距离无符号拉普拉斯矩阵的最大特征值称为$G$的距离无符号拉普拉斯谱半径. 本文确定了给定点数的双圈图中具有最大的距离无符号拉普拉斯谱半径的图.     

树和单圈图的斜谱矩

给定图$G$,对图$G$的每条边确定一个方向,称为$G$的定向图$G^\sigma$, $G$称为$G^\sigma$的基础图. $G^\sigma$的斜邻接矩阵$S(G^\sigma)$是反对称矩阵,其特征值是0或纯虚数. $S(G^\sigma)$所有特征值的$k$次幂之和称为$G^\sigma$的$k$阶斜谱矩,其中$k$是非负整数.斜谱矩序列可用于对图进行排序.本文主要研究定向树和定向单圈图的斜谱矩,并对这两类图的斜谱矩序列依照字典序进行排序.首先确定了直径为$d$的树作为基础图的所有定向树中,斜谱矩序最大的$2\lfloor\frac{d}{4}\rfloor$个图; 然后确定以围长为$g$的单圈图作为基础图的所有定向单圈图中, 斜谱矩序最大的$2\lfloor\frac{g}{4}\rfloor+1$个图.     

半无爪可迹图的度和条件

可迹图即为一个含有Hamilton路的图.令$N[v]=N(v)\cup\{v\}$, $J(u,v)=\{w\in N(u)\cap N(v):N(w)\subseteq N[u]\cup N[v]\}$.若图中任意距离为2的两点$u,v$满足$J(u,v)\neq \emptyset$,则称该图为半无爪图.令$\sigma_{k}(G)=\min\{\sum_{v\in S}d(v):S$为$G$中含有$k$个点的独立集\},其中$d(v)$表示图$G$中顶点$v$的度.本论文证明了若图$G$为一个阶数为$n$的连通半无爪图,且$\sigma_{3}(G)\geq {n-2}$,则图$G$为可迹图; 文中给出一个图例,说明上述结果中的界是下确界; 此外,我们证明了若图$G$为一个阶数为$n$的连通半无爪图,且$\sigma_{2}(G)\geq \frac{2({n-2})}{3}$,则该图为可迹图.     

非负特征图的线性染色

如果图$G$的一个正常染色满足染任意两种颜色的顶点集合导出的子图是一些点不交的路的并,则称这个正常染色为图$G$ 的线性染色.图$G$的线性色数用lc$(G)$表示,是指$G$的所有线性染色中所用的最少颜色的个数. \qquad 证明了: 对于每一个最大度为$\Delta(G)$围长为$g(G)$的非负特征图$G$,若存在一个有序对$(\Delta,g)\in\{(13,7),(9,8),(7,9),(5,10), (3,13)\}$, 使得$G$满足$\Delta(G)\ge\Delta$且$g(G)\ge g$,则lc$(G)=\lceil \frac {\Delta(G)}2\rceil+1$.     

不含某些子图的k连通图中的k可收缩边

最近Ando等证明了在一个$k$($k\geq 5$ 是一个整数) 连通图 $G$ 中,如果 $\delta(G)\geq k+1$, 并且 $G$ 中既不含 $K^{-}_{5}$,也不含 $5K_{1}+P_{3}$, 则$G$ 中含有一条 $k$ 可收缩边.对此进行了推广,证明了在一个$k$连通图$G$中,如果 $\delta(G)\geq k+1$,并且 $G$ 中既不含$K_{2}+(\lfloor\frac{k-1}{2}\rfloor K_{1}\cup P_{3})$,也不含 $tK_{1}+P_{3}$ ($k,t$都是整数,且$t\geq 3$),则当 $k\geq 4t-7$ 时, $G$ 中含有一条 $k$ 可收缩边.     

嵌入曲面的特殊图的边染色

设图\,$G$\,是嵌入到欧拉示性数\,$\chi(\Sigma)\geq 0$\,的曲面\,$\Sigma$\,上的图, $\chi'(G)$\,和\,$\Delta(G)$\,分别表示图\,$G$\,的边色数和最大度. 如果\,$\Delta(G)\geq 4$\,且\,$G$\,满足以下条件: (1)\,图$G$中的任意两个三角形$T_1$, $T_2$的距离至少是$2$; (2)\,图\,$G$\,中\,$i$-圈和\,$j$-圈的距离至少是\,$1$, $i,j\in\{3,4\}$; (3)\,图\,$G$\,中没有\,$5$-圈, 则有\,$\Delta(G)=\chi'(G)$.     

完全多部图的符号边控制数的界

$f: E(G)\rightarrow\{-1,1\}$称为图$G =(V,E)$的一个符号边控制函数 (简称SEDF),如果$f[e]=f(N[e])=\sum_{e''\in N[e]}f(e'')\geq1$对于图$G$的每条边$e\in E$都成立. $w(f)=\sum_{e\in E}f(e)$称为函数$f$的权. $G$的符号边控制数$\gamma_{s}\,''(G)$是指$G$的所有符号边控制函数的最小权.本文对完全多部图的符号边控制数进行研究.对于完全$r$-部图, 当$r$为偶数并且各部的顶点数相同的情况下,我们得到了这一参数的若干下界和上界.     

以完全二部图作为星补的正则图的刻画

设$G$是一个$n$阶图, $\mu$是$G$的一个$(k\ge 1)$重邻接特征值. 图$G$中关于$\mu$的星补$H$是指$G$的不含特征值$\mu$的$n-k$阶诱导子图,且顶点集$X=V(G-H)$称为图$G$中关于$\mu$的星集.星补技术提供了利用部分子结构来重建满足特定性质的整个图的谱工具. 本文我们研究了关于特征值$\mu$的以$K_{t,s}~(s\ge t\ge 2)$作为是补的正则图, 特别地, 我们完全刻画了$t=3$的情形, 获得了当$t=s$时的一些性质, 并提出了有待进一步研究的问题.     

单圈图的极小能量

For a simple graph G, the energy E(G) is defined as the sum of the absolute values of all eigenvalues of its adjacency matrix. Let Undenote the set of all connected unicyclic graphs with order n, and Ur n= {G ∈ Un| d(x) = r for any vertex x ∈ V(Cl)}, where r ≥ 2 and Cl is the unique cycle in G. Every unicyclic graph in Ur nis said to be a cycle-r-regular graph.In this paper, we completely characterize that C39(2, 2, 2) ο Sn-8is the unique graph having minimal energy in U4 n. Moreover, the graph with minimal energy is uniquely determined in Ur nfor r = 3, 4.     

剩余有限Minimax可解群的4阶正则自同构

设G是剩余有限minimax可解群,α是G的4阶正则自同构,则下面结果成立:(1)如果映射φ:G→G (g→[g,α])是满射,那么G是中心子群被亚Abel群的扩张.(2)C_G(α~2)和[G,n-1α~2]/[G,nα~2](n∈Z~+)都是Abel群的有限扩张.     

点删除下的图的$A_\alpha$特征值的交错性

设$G$为具有顶点集$V$, 边集$E$的简单图, 本文给出了图$G$与其子图$G-U$的$A_\alpha$特征值的交错不等式, 其中$U\subset V$. 作为应用, 我们利用该交错不等式导出了一些关于图的独立数, 点覆盖数, 哈密尔顿性及支撑数的$A_\alpha$ 谱条件.     

无$K_{1,4}$子图的图的路覆盖

For a graph G, a path cover is a set of vertex disjoint paths covering all the vertices of G, and a path cover number of G, denoted by p(G), is the minimum number of paths in a path cover among all the path covers of G. In this paper, we prove that if G is a K_(1,4)-free graph of order n and σ_(k+1)(G) ≥ n-k, then p(G) ≤ k, where σ_(k+1)(G) = min{∑v∈S d(v) : S is an independent set of G with |S| = k + 1}.     

单圈图的最大特征值的上界的改进

Let G（V, E） be a unicyclic graph, Cm be a cycle of length m and Cm G, and ui ∈ V（Cm）. The G - E（Cm） are m trees, denoted by Ti, i = 1, 2,..., m. For i = 1, 2,..., m, let eui be the excentricity of ui in Ti and ec = max{eui ： i = 1, 2 , m}. Let κ = ec＋1. Forj = 1,2,...,k- 1, let δij = max{dv ： dist（v, ui） = j,v ∈ Ti}, δj = max{δij ： i = 1, 2,..., m}, δ0 = max{dui ： ui ∈ V（Cm）}. Then λ1（G）≤max{max 2≤j≤k-2 （√δj-1-1＋√δj-1）,2＋√δ0-2,√δ0-2＋√δ1-1}. If G ≌ Cn, then the equality holds, where λ1 （G） is the largest eigenvalue of the adjacency matrix of G.     

二树的ABC指标

The atom-bond connectivity(ABC) index of a graph G, introduced by Estrada,Torres, Rodr′?guez and Gutman in 1998, is defined as the sum of the weights(1/di+1/dj-2/didj )~(1/2) of all edges vivj of G, where di denotes the degree of the vertex vi in G. In this paper, we give an upper bound of the ABC index of a two-tree G with n vertices, that is, ABC(G) ≤(2n- 4)2~(1/2)/2+(2n-4)~(1/2)/n-1. We also determine the two-trees with the maximum and the second maximum ABC index.     

L7（3）与GL7（3）的OD-刻画

对于任意一个有限群G,令π（G）表示由它的阶的所有素因子构成的集合.构建一种与之相关的简单图,称之为素图,记作Γ（G）.该图的顶点集合是π（G）,图中两顶点p,g相连（记作p～q）的充要条件是群G恰有pq阶元.设π（G）={P₁,p2,…,p_x}.对于任意给定的p∈π（G）,令deg（p）:=|{q∈π（G）|在素图Γ（G）中,p～q}|,并称之为顶点p的度数.同时,定义D（G）:=（deg（p₁）,deg（p₂）,…,deg（p_s））,其中p₁2<…相似文献