算术平均数不小于其几何平均数的一个推论

在高中教材不等式的证明这一节里提到。一般地有:n个(n是大于1的整数)正数的算术平均数不小于它的几何平均数。我们在教学中增加了一个推论:n个正数和与n个该数的倒数和之积不小于n的平方,用式子表示即 (a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n~2(其中a_1、a_2…,a_n均正数,n是大于1的整数)。等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时才成立。证明:(a_1+a_2+…+a_n)(l/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n((a_1a_2…a_n)~(1/n))·(n((1/a_1)(1/a_2)…1/a_n)~(1/n)) =n~2 (*) 由算术平均数不小于几何平均数的定理中当     

平均值问题的合理性探讨

在日常生活中 ,求平均值的问题随处可见 ,但对某些问题 ,怎样求平均才算合理 ,才算科学 ,是需要仔细斟酌和认真探讨的 .本文通过对几个具体问题的分析和探讨 ,来说明算术平均数、加权平均数和数学期望三者之间的联系与区别 .1　算术平均数定义 :设a1,a2 ,… ,an 是n个正数 ,则称B =a1+a2 +… +ann 为这n个数的算术平均数 .关于算术平均数 ,同学们早在上小学的时候就已经接触到了 .从定义来看 ,它并不难理解 ,但是 ,对于这个定义的合理性 ,大家却不一定清楚 ,我们先对此作一点探讨 .要使B作为平均数 ,虽然不能要求它与每一个数据都相当接近 …     

浅谈四类平均数的几何模型

《数学通报》2003年第11期刊登了《四类平均数的几何模型》一文，该文给出了两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数及平方平均数在圆中的几何模型．下面再给出这四类平均数在四边形中的几何模型，供读者参考．     

数据分层妙解方差最值问题

<正>定理^([1])假设第一层有m个数,分别为x_1,x_2,…,x_m,平均数为x,方差为s([1])假设第一层有m个数,分别为x_1,x_2,…,x_m,平均数为x,方差为s²;第二层有n个数,分别为y_1,y_2,…,y_m平均数为y,方差为t2;第二层有n个数,分别为y_1,y_2,…,y_m平均数为y,方差为t²,则样本方差b2,则样本方差b²=1/m+n[(ms2=1/m+n[(ms²+nt2+nt²)+mn/m+n(x-y)2)+mn/m+n(x-y)²].     

等差数列的一个性质及应用

性质设等差数列｛an｝前n顶和为S。，其创n顶和的算术平均数为M，即M一一，则（1）当n为奇数的，M是前。顶中间一顶，当n为底数的，M就是中间两项的算术平均数；（2）。。＋。。。＋l一ZM（OM6Mn，b为整数）；（3）当n为偶数时，前n顶中偶数项和与。。。，、。。－。。nd、．、。。。。专数顶和之差为S．一S。一千；当”为率数W，S．S．＝M．证明（1）设n一Zk—1（kEN），则例1已知者差数列中。16—40，末531．解等差数列31顶中，中阎须是第16顶，所以M—40；从而531—31M—1240．例2已知等差数列｛a。｝顶数m为奇数，真申S’一44…     

方差公式的妙用

设n个数据x1,x2,……,Xn的平均数为x,则其方差为S2=1/n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(xn     

对称平均数在矩阵中的一个应用

n个正数x_1,x_2,…,x_0的r次对称平均数(r=1,2,…,n)定义为: 在[1]中证明了对称平均数的基本定理,即∑_n~1≥∑_n~2≥…≥∑_n~n,当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立。 下面利用这个结果导出正定Hermite矩阵的一个     

关于对称平均数定理及其应用

我们把n个正数α_1,α_2,…,α_n的k次对称平均数定义为其中k≤n为正整数;根号内分子部分是n个正数每次不重复地取k个的乘积之和,共有C_n~k项。为简单计,我们把(1)记为∑_n~k(α_1,α_2,…α_n),或者有时就记为∑_n~k。显然, ∑_n~1(α_1,α_2,…α_n)=(α_1 α_2 ……α_n)/n即为n个正数的算术平均数,而∑_n~n(α_1,α_2,…α_n)=则是n个正数的几何平均数。本文先介绍有关n个正数的k次对称平均数的重要性质的两个定理,然后给出它的一些应用。首先,我们证明定理1.(∑_n~k)~(?)k≥(∑_n~(k 1))~(k 1)·(∑_n~(k-1))~(k-1)(k=1,2,…,n-1) (这里规定∑_n~0=1)。证明.为书写方便,记(∑_n~k)~k=P_n~k。因而我们要证明的就是 (P_n~k)~2≥P_n~(k 1)·P_n~(k-1)(P_n~0=1,k=1,2,…n-1)     

关于一个数学竞赛题的讨论

去年全国中学生数学竞赛第二试的第四题,是一个很有趣味的题目,它可以考查学生逻辑推理的能力,由于要适应考生的程度,题目的条件放宽了不少。现在我们来谈谈这个题的严格的条件。 一个不等式如果不能再改进,我们可以把它叫做“最优不等式”。例如,n个正数的算术平均数不小于     

关于一个阅读材料的研究性学习

现行高中数学教材第二册(上)(人教社2003年12月第2版)第六章的阅读材料是“n个正数的算术平均数与几何平均数”,著名不等式“若a,b,c∈R ,则a3 b3 c3≥3abc”(以下记此不等式为*)的证明、应用及其推广是这个阅读材料的核心内容.本文以这个阅读材料中的不等式*为案例,通过不等式*的证明方法、应用、加强等方面的研究,谈谈怎样进行研究性学习.1证明方法的研究众所周知,培养学生学习数学的兴趣,是数学教学的重要任务.实践表明,一题多解的教学有利于提高学生的解题能力,有利于培养学生数学思维的灵活性和深刻性,也有利于培养学生学习数学的兴趣…     

浅谈四类平均数的几何模型

《数学通报》2003年第11期刊登了《四类平均数的几何模型》一文,该文给出了两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数及平方平均数在圆中的几何模型.下面再给出这四类平均数在四边形中的几何模型,供读者参考.当a>0,b>0时,a2 abb,ab,a 2b,a2 2b2分别叫做a,b的调和平均数、几何平均数、算术平均数及平方平均数,它们的关系是2aba b≤ab≤a2 b≤a22 b2(a>0,b>0).当且仅当a=b时等号成立.下面给出它们在四边形中的几何模型.在四边形ABCD中,设AB∥DC,AB=a,DC=b.1.当a≠b时,不妨设a相似文献   

运用归纳方法解一道竞赛题

<正>题目(2009年全国初中数学竞赛试题)n个正整数a_1,a_2,…,a_n满足如下条件:1=a_1相似文献   

离散时间Geo~(λ_1,λ_2)/G/1(ES,MV)排队系统离去过程的分解

考虑顾客到达率可变的多重休假Geo/G/1排队系统的离去过程.运用全概率分解,更新过程理论和u-变换,讨论了从任意初始状态出发,在(0⁺,n+,n⁺]中离去顾客的平均数,得到系统在(0+]中离去顾客的平均数,得到系统在(0⁺,n+,n⁺]中离去顾客平均数的瞬态分解表达式,以及其稳态分解结果.揭示了系统离去更新过程的特殊结构:离去更新过程被分解为两部分,一部分是系统服务状态(忙,闲)过程,另一部分是忙期中的服务更新过程,从而简化了对离去过程的研究.在排队网络中,由于一个排队系统的输出即为下游排队系统的输入,因此,本文所得结果对研究排队网络有重要意义.     

利用方差非负性巧求最值

一组数x1,x2,x3,…xn的平均数为-x,其方差是S^2=1/n[（x1^2＋x2^3＋…＋xn^2）-n-x^2].     

非合作n人投标报价服从N(μ,σ~2)分布时局中人投标报价策略的研究

推导了矩阵对策模型 ,对非合作 n人投标报价的分布进行 x2 检验。当非合作 n人投标报价服从N (μ,σ2 )分布时 ,根据参数区间公式 ,估计非合作 n人有效报价平均数的范围 ,局中人 最佳报价可根据矩阵对策模型来确定。该方法确定的报价与最佳标底的误差能控制在较小的范围内 ,适用于招标中合成标底的评标办法 ,对确定报价具有一定的实用价值。     

均值法与一类最值问题

我们把1/n(x1 x2 … xn)叫做x1,x2,…,xn这n个数的平均数(或平均值).利用平均值解决数学问题的方法我们称之为均值法。均值法应用较广,本文介绍均值法在解一类最值问题中的巧妙运用.下面先从最简单的情形谈起.     

非合作n人投标报价服从N(μ,σ2)分布时局中人Ⅰ投标报价策略的研究

推导了矩阵对策模型,对非合作n人投标报价的分布进行x2检验.当非合作n人投标报价服从N(μ,σ2)分布时,根据参数区间公式,估计非合作n人有效报价平均数的范围,局中人Ⅰ最佳报价可根据矩阵对策模型来确定.该方法确定的报价与最佳标底的误差能控制在较小的范围内,适用于招标中合成标底的评标办法,对确定报价具有一定的实用价值.     

一道中考选择题的典型失误与分析

广东省佛山市2010年中考第10题:四个数据8,10,x,10的平均数与中位数相等,则x等于().(A)8(B)10(C)12(D)8和12典型失误1选(A).用代入检验法:x=8时,8,10,8,10的平均数是9,而8,8,10,10的中位数也是12(8+10)=9,故选(A).     

恒等式“A=2kA/(2k)”与一类不等式的证明

本文用数学归纳法证明几个平均数不等式、凸函数不等式。在证明过程中。总是运用恒等式A=2kA/2k,实现了从k到k 1的传递。本文可作为中学生的一次数学课外讲座。 定理1 设x_1,x_2,…,x_n是n个正实数,记     

连续函数用它的富里埃级数的线性平均数的逼近问题

<正> 在函数的逼近理论中,相当重要的分支是研究连续周期函数用它的富里埃级数的各种平均数来逼近的问题.对于重要的平均数,如典型平均数、瓦来一布然平均数、蔡查罗平均数等等,在相当广泛的函数类中,利用这些平均数来逼近函数的逼近度的上确界,都已经有了渐近表达式.假设 f(x)是以2π为周期的函数以下简记 f(x)∈C_(2π),