浅析数学归纳法的奠基步骤

1　从对命题成立的简单验证中选定奠基步骤我们知道 ,在证明与自然数有关问题的正确性时 ,先验证当ｎ取第一个值ｎ0 (例如ｎ0 =1)时命题成立 .然后假设ｎ =ｋ (ｋ∈Ｎ ,ｋ≥ｎ0 )时命题成立 ,证明ｎ =ｋ 1时命题成立 .这个过程可视为 ,若ｐ(ｎ0 )成立 ,取ｋ =ｎ0 ,由归纳步骤证ｐ(ｎ0 1)成立 .同理再由ｐ(ｎ0 1)成立证ｐ(ｎ0 2 )成立 .如此下去 ,对于所有大于ｎ0 的自然数ｎ ,ｐ(ｎ)都成立 .这里ｐ(ｎ0 )不仅是命题成立的一个真命题 ,而且还是起动归纳推理的初始步骤 .奠基步骤ｐ(ｎ0 )正是由递推关系式ｐ(ｎ0 ) ｐ(ｎ0 1) ｐ(ｎ0 2…     

数学归纳法及其应用

1　基本原理数学归纳法是一种重要的数学证明方法 ,在与自然数有关的命题研究中 ,我们常用数学归纳法进行推理和证明 .下面的问题是大家十分熟悉的 .例 1　证明 :13 2 3 … ｎ3=[ｎ(ｎ 1)2 ] 2 . ( 1)　　分析 :要证明上面的等式对所有的自然数ｎ成立 ,只要证明1)它对ｎ =1成立 (起步 ) ;2 )设它对ｎ =ｋ成立可以推出它对ｎ =ｋ 1也成立 (递推 ) .事实上 ,ｎ =1时 ,13=[1·( 1 1)2 ] 2 ,等式成立 ,假设当ｎ =ｋ时等式成立 ,即 13 2 3… ｋ3=[ｋ(ｋ 1)2 ] 2 ,上式两端同时加上 (ｋ 1) 3,得 13 2 3 … ｋ3 (ｋ 1) 3=[ｋ(ｋ 1)2 ] 2 …     

数学归纳法的证题技巧

通常那些直接或间接与自然数ｎ有关的命题可考虑运用数学归纳法来证明 .除第一归纳法和第二归纳法外 ,还有跳跃数学归纳法 :设Ｐ(ｎ)是关于自然数ｎ的命题 ,若1°　Ｐ( 1) ,Ｐ( 2 ) ,… ,Ｐ(ｌ)成立 ;2°　假设Ｐ(ｋ)成立 ,可以推出Ｐ(ｋ 1)成立 ,则Ｐ(ｎ)对一切自然数ｎ都成立 .每种形式的数学归纳法都由两步组成 :“奠基”和“归纳” ,两步缺一不可 .在“归纳”的过程中必须用到“归纳假设”这一不可缺少的前提 .利用数学归纳法证题有如下技巧 .1　“起点前移”或“起点后移” :有些关于自然数ｎ的命题Ｐ(ｎ) ,验证Ｐ( 1)比较困难 ,或者…     

浅谈数学归纳法的七大变化

数学归纳法是证明跟自然数ｎ有关的命题的一种重要的递推方法 .虽然数学归纳法有着固定的程序 ,但每一步中都蕴含着丰富的变化 .下面对这些变化加以归纳 ,以供大家参考 .1　验证步中的变化1.1　起点前移命题虽陈述为“对一切自然数ｎ成立” ,但命题成立的范围可更宽时 ,可以考虑证比“ｎ =1”更方便的起点 .　　例 1　试证对一切自然数ｎ ,都有　　　 12 ｃｏｓα ｃｏｓ2α … ｃｏｓｎα=ｓｉｎ2ｎ 12 α2ｓｉｎ α2.分析 :ｎ =0时命题显然成立 .以下只须假设ｎ=ｋ时命题成立 ,再推出ｎ =ｋ 1时命题也成立即可 .(证略 )1.2　起点…     

浅谈不等式证明的几种特殊方法

不等式的证明在数学中是比较常见的题型 ,但有些不等式用常见的方法 (如比较法、分析法和综合法等 )很难证出来 ,或者根本证不出来 .这里介绍几种特殊的证法 ,解决一些不等式的证明问题 .1　数学归纳法数学归纳法是数学中解决证明题很重要的一种方法 ,在不等式证明中也不例外 ,对于与自然数有关的不等式都可以考虑这种方法 .例 1　证明 :|ｓｉｎｎｘ|≤ｎ|ｓｉｎｘ|对任何自然数都成立 .证　 1 )当ｎ =1时 ,不等式显然成立 ;2 )假设ｎ =ｋ时 ,不等式成立 ,即　 |ｓｉｎｋｘ|≤ｋ|ｓｉｎｘ|成立 .当ｎ =ｋ +1时 ,　 |ｓｉｎ(ｋ +1 )ｘ|=|ｓｉ…     

数学归纳法原理

数学归纳法是关于自然数n的性质p(n) ,若1) p(n0 )成立 ,n0 ∈N ;2 )假设 p(k)成立 (k≥n0 ) ,可以推出p(k + 1) 成立 .则 p(n)对于一切大于或等于n0 的自然数都成立 .数学归纳法是中学数学中的一种重要方法 ,在证明与自然数有关的命题时 ,我们常常采用数学归纳法 .应用数学归纳法有固定的程式 ,书写时 ,必须严格按照程式写出两个基本步骤 ,但在具体应用上具有极大的灵活性 ,在证明第二个步骤时常常用到一些非常巧妙的技巧 .例 1　 (1999年全国高考试题 )已知函数y =f(x) 的图象是自原点出发的一条折线 ,当n≤y≤n + 1(n =0 ,1,2 ,… )时 ,…     

这样证明对吗？

众多的高三复习资料上都有这样一道例题 :题目　设ａｉ>0 (ｉ =1,2 ,… ,ｎ) ,且满足条件ａ1 ａ2 ａ3 … ａｎ=1,用数学归纳法证明ａ21 ａ22 … ａ2 ｎ≥ 1ｎ (ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 2 ) .不少同学是这样证明的 :证　 1)当ｎ =2时 ,ａ21 ａ22 =ａ21 ａ21 ａ22 ａ222≥ ａ21 ａ22 2ａ1ａ22 =(ａ1 ａ2 ) 22 =12 ,不等式成立 .2 )假设当ｎ =ｋ (ｋ≥ 2 )时不等式成立 ,即当ａ1 ａ2 … ａｋ=1时 ,有ａ21 ａ22 … ａ2 ｋ≥ 1ｋ.当ｎ =ｋ 1时 ,ａ21 ａ22 … ａ2 ｋ ａ2 ｋ 1≥ 1ｋ ａ2 ｋ 1>1ｋ 1.由此可见 ,当ｎ =ｋ 1时不等式也成立 .由…     

帕斯卡与数学归纳法

帕斯卡与数学归纳法孙宏安（大连教育学院１１６０２１）数学归纳法是证明关于自然数ｎ的命题Ｐ（ｎ）的一种方法，是人们最早掌握的递归方法．其具体操作是：１°证明Ｐ（１）为真；２°假设Ｐ（ｋ）真，证明Ｐ（ｋ＋１）为真．若１°，２°都得证，则Ｐ（ｎ）对所有自然...     

数学归纳法应注意的几个问题及证明技巧

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着广泛的应用.它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在n=1(或n0)时成立,这是递推的基础;第二步是假设在n=k时命题成立,再证明n=k+1时命题也成立,这是无限递推下去的理论依     

数学日记三则——递推数列通项的求解

3月 1 9日　星期一今天 ,在“递推数列”的学习中 ,有一个例题 ,通过大家共同讨论 ,得到三种解法 .例题　已知数列 {ａｎ}满足 :ａ1=1,ａｎ 1=2ａｎ 1,求该数列的通项ａｎ.解法 1　由已知可得　ａ1=1,ａ2 =3,ａ3=7,ａ4=15 ,由此猜测ａｎ=2 ｎ- 1.用数学归纳法证明 :①当ｎ =1时 ,猜想显然成立 .　②假设ｎ =ｋ时猜想成立 ,即ａｋ=2 ｋ- 1.当ｎ =ｋ 1时 ,ａｋ 1=2ａｋ 1=2 (2 ｋ- 1) 1=2 ｋ 1- 1.可见当ｎ =ｋ 1时命题也成立 .综合① ,②知 ,对于一切自然数ｎ命题均成立 .解法 2　由已知有ａｎ=2ａｎ - 1 1,ａｎ- 1=2ａｎ - 2 1,… ,ａ…     

也谈数学归纳法在解题中的应用

<正>1引言对于一类与正整数有关的命题的论证问题,当其他方法无法证明时,往往想到数学归纳法.用数学归纳法证明问题分三个步骤：第一步先证明当n取初始值n₀(n₀∈N*)时命题成立.这是第二步的前提,不可省去,初始值n₀视题目而定,不一定是1.第二步先假设当n=k(k∈N^*,k≥n₀)时命题成立,在此基础上,推证当n=k+1时命题也成立.这一步骤是数学归纳法最关键的步骤,要求对有关表达式进行恰当变形,而且在证明当n=k+1时命题成立时,     

数学归纳法中归纳推理的常用技巧

数学归纳法中归纳推理的常用技巧党政（广西北海市第二职业高中）众所周知，数学归纳法是重要的证题方法之一，其证题难点一般在于第２步的从归纳假设到归纳结论的归纳推理，即假设ｎ＝ｋ时命题ｆ（ｋ）正确，证明当ｎ＝ｋ＋１时，命题ｆ（ｋ＋１）也正确．本文将从确定增...     

等差数列的一个不等式

本文给出最近发现的一个关于正项等差数列的一个不等式 ,并举列说明它在解决一些用数学归纳法证明异常困难的一类问题上的有效性 .定理　设数列 {ａｎ}是等差数列 ,ａｉ>0(ｉ=1 ,2 ,…,ｎ) ,公差为ｄ ,且 0≤ｄ≤ 1 ,则对任意的正整数ｋ ,有 ｎｉ=1ａ1ｋｉ ≥ ｋｋｄ 1 [ａｎａ1ｋｎ -1- (ａ1-ｄ)ａ1ｋ1](1 )成立 ,当且仅当ｋ =ｄ =1时等号成立 .为方便定理证明 ,先证如下两个引理 :引理 1　设 0≤ｄ≤ 1 ,ａ >0 ,则对任意的正整数ｋ ,有(1 1ｋａ) ｋ≥ 1 ｄａ (2 )成立 ,当且仅当ｋ =ｄ =1时等号成立 .证　根据二项式定理 ,有(1 1ｋａ)…     

关于数学归纳法的一个问题的讨论——北京东城区高二年级数学备课纪实

(一) 数学归纳法是中学数学中的一个重要的证明方法。一个与自然数n有关的命题P(n),常常可以用数学归纳法予以证明。证明的步聚分为两步: (1) 验证当n取第一个值n_0时,命题P(n_0)成立; (2) 假设当n=k(k∈N,k≥n_0)时,命题P     

数学归纳法第二步证明“从n＝k到n＝k＋1”过渡的常用技巧

数学归纳法第二步证明“从ｎ＝ｋ到ｎ＝ｋ＋１”过渡的常用技巧陈世安（吉林市教育学院１３２０１１）数学归纳法，无论是第一归纳法还是第二归纳法，都存在着一个“假设ｎ＝ｋ（或）时命题成立，证明ｎ＝ｋ＋１时命题也成立”的问题，能否顺利地实现过渡，恰恰是数学归纳...     

教案一则

课题:数学归纳法的应用举例之三——解决与自然数有关的几何问题教学目的:1.使学生学会“综合运用不完全归纳法和数学归纳法来解决与自然数有关的问题”的方法,能较好地运用这一方法解决有关的几何问题。 2.培养学生观察问题、探寻规律、归纳结论的抽象概括能力和几何证明中的数学语言表述能力。教学重、难点:从n=k时命题成立到n=k 1时命题也成立的证明叙述。教学用具:投影仪和教学图片。教学过程: 一、复习导入: 请学生口述使用数学归纳法证明与自然数有关的命题的步骤,随之投影显示这一步骤。强调:(1)证明中二步缺一不可;(2)从n=     

反向数学归纳法

反向数学归纳法４３００７０华中师大数学系郑学群我们知道第一数学归纳法是：（１）命题ｐ（ｎ）当ｎ＝１时正确；（２）从命题ｐ（ｎ）的正确性推出命题ｐ（ｎ＋１）的正确性，那么命题ｐ（ｎ）对所有的自然数ｎ都正确．数学归纳法的第二步是证明命题的关键，通常是由自...     

加强命题在证明不等式中的运用

数学归纳法是证明与自然数n有关的不等式的一种常见的方法,但在实际解题中有时候直接运用数学归纳法证明该命题不太容易,或者按常规思路去运用递推假设也不容易达到目的,这时可以考虑把该命题适当加强,使加强后的命题更具活力,更有利于运用数学归纳法去证明.加强命题的方式有两种:一是把原命题的结论加强,二是把命题一般化.1加强命题的结论例1设n为自然数(n≥1),求证:112 122 … 1n2<2.分析和证明这是一个与自然数n有关的命题,易知难以直接用数学归纳法证明.考虑加强命题的结论,注意到limn→∞1n=0,不妨把结论加强为证明:112 122 … 1n2≤2-…     

加强命题在证明不等式中的运用

数学归纳法是证明与自然数n有关的不等式的一种常见的方法，但在实际解题中有时候直接运用数学归纳法证明该命题不太容易，或者按常规思路去运用递推假设也不容易达到目的，这时可以考虑把该命题适当加强，使加强后的命题更具活力，更有利于运用数学归纳法去证明．加强命题的方式有两种：一是把原命题的结论加强，二是把命题一般化．     

数学归纳法

数学归纳法刘昌尧（宜昌教育学院）［基本概念］数学归纳法是数学证明的一个重要工具．设ｐ（ｎ）是与ｎ有关的一个命题．为了证明ｐ（ｎ）对于ｎ≥ｎ０（ｎ０≥１，ｎ０∈Ｎ）的一切ｎ均成立．先证明当ｎ取第一个值ｎ０时ｐ（ｎ０）成立，然后假设当ｎ＝ｋ（ｋ∈Ｎ，ｋ≥...