关于数学归纳法的一个问题的讨论——北京东城区高二年级数学备课纪实

(一) 数学归纳法是中学数学中的一个重要的证明方法。一个与自然数n有关的命题P(n),常常可以用数学归纳法予以证明。证明的步聚分为两步: (1) 验证当n取第一个值n_0时,命题P(n_0)成立; (2) 假设当n=k(k∈N,k≥n_0)时,命题P     

数学归纳法应注意的几个问题及证明技巧

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着广泛的应用.它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在n=1(或n0)时成立,这是递推的基础;第二步是假设在n=k时命题成立,再证明n=k+1时命题也成立,这是无限递推下去的理论依     

数学归纳法原理

数学归纳法是关于自然数n的性质p(n) ,若1) p(n0 )成立 ,n0 ∈N ;2 )假设 p(k)成立 (k≥n0 ) ,可以推出p(k + 1) 成立 .则 p(n)对于一切大于或等于n0 的自然数都成立 .数学归纳法是中学数学中的一种重要方法 ,在证明与自然数有关的命题时 ,我们常常采用数学归纳法 .应用数学归纳法有固定的程式 ,书写时 ,必须严格按照程式写出两个基本步骤 ,但在具体应用上具有极大的灵活性 ,在证明第二个步骤时常常用到一些非常巧妙的技巧 .例 1　 (1999年全国高考试题 )已知函数y =f(x) 的图象是自原点出发的一条折线 ,当n≤y≤n + 1(n =0 ,1,2 ,… )时 ,…     

加强命题在证明不等式中的运用

数学归纳法是证明与自然数n有关的不等式的一种常见的方法,但在实际解题中有时候直接运用数学归纳法证明该命题不太容易,或者按常规思路去运用递推假设也不容易达到目的,这时可以考虑把该命题适当加强,使加强后的命题更具活力,更有利于运用数学归纳法去证明.加强命题的方式有两种:一是把原命题的结论加强,二是把命题一般化.1加强命题的结论例1设n为自然数(n≥1),求证:112 122 … 1n2<2.分析和证明这是一个与自然数n有关的命题,易知难以直接用数学归纳法证明.考虑加强命题的结论,注意到limn→∞1n=0,不妨把结论加强为证明:112 122 … 1n2≤2-…     

诡辩一则 --人皆"秃子"

命题　任意一个有 n根头发的人都是“秃子”( n∈ N+ ) .证明　 (用数学归纳法 )( 1 )只有一根头发的人显然是“秃子”,即当 n =1时 ,命题成立 ;( 2 )假设 n =k( k∈ N+ )时命题成立 ,即有 k根头发的人是“秃子”,而一个“秃子”的头上再长出一根头发以后仍为“秃子”,这就是说 ,n =k + 1时 ,命题也成立 .由 ( 1 )、( 2 )可知 ,当 n∈ N+ 时 ,命题成立 .即人皆“秃子”.诡辩揭秘　用数学归纳法可以证明与自然数有关的数学命题 ,但由于该命题中所涉及的对象——“秃子”不具备“确定性”的特征 ,不能构成普通意义上的集合 (康托集 ) ,这是…     

用数学归纳法证题的一种分析方法

用数学归纳法证题的关键一步是“假设n=k时命题成立,证明n=k+1时命题也成立”(以下把这句话记为“*”),而这一步也是最困难的一步。事实上,这一步是递推的一步。因此时有些题目,我们可以从验证命题成立的第一个自然数n=n_0出发,     

“数学归纳法”教学中的几个问题

数学归纳法是处理一类同无穷多个自然数有关的命题 P(n)的一种重要方法,在初、高等数学中,都有着重要的地位,基本原理是:命题1 P(1)正确,且 P(k)正确=P(k+1)正确,则 P(n)(n∈N)正确.学习数学归纳法时,学生常常产生下列问题:①命题1是怎样想到的?②命题1“保险”吗?它能不     

数学归纳法的求解策略

数学归纳法是数学中的重要思想和方法 ,在历年的高考和各级竞赛中经常出现 ,它不但是解决大量与自然数有关的问题的强有力的方法 ,更重要的是它贯穿于发现问题和解决问题的全过程 .它的两个步骤看似呆板 ,其实在证明时不但需要高超的技巧 ,而且还需要辩证思维 .本文就数学归纳法的常见求解策略作一些简单的探讨 .1　 兼顾两头 ,实现过渡运用数学归纳法证明问题时 ,要想从 n=k到 n =k 1顺利实施归纳过渡 ,关键在于通过对问题的具体分析、兼顾两头 ,寻找 p(k)与 p(k 1)的“交接口”,才能有效地利用归纳假设 ,作出巧妙的安排 ,寻找突破 ,做到…     

数学归纳法的实用范围

我们已在高中代教中学习过数学归纳法的原理。这个原理是: 设有一个与自然数n有关的命题P(n),如果(1)命题P(1)成立;(11)命题P(k)成立,就可推出命题P(k 1)也成立。那么,这个命题对一切自然数n都成立。应该特别注意的是,P(n)是关于自然数的命题。而且,我们承认了人们所公认的一个“原理”:自然数集中有一个最小的数1,因此上面可以把1当作起始的数。这种以自然数集的最小数为基础,一步一步往上归纳的数学归纳法,简称之为“上归法”。中学数学中涉及的基本属于这种归纳法。把数0添进自然数中,于是得到所谓的扩大     

用函数单调性解与自然数有关的问题

与自然数有关的命题,一般可用数学归纳法解决,但数学归纳法书写必须规范到位,有一定的书写量,有时从P(k)(?)P(k 1)也难以找到突破口.下面例析巧用函数的单调性解决与自然数n有关的数学问题. 例1 已知x>-1,且z≠0,n∈N,n≥2,     

数学归纳法应用功能的拓广

人们通常认为 ,数学归纳法用于证明与自然数有关的命题 ,采用的是等距的“间断归纳”(第二步无限递推从n =k命题成立 ,推出n =k+1时命题成立) ,是否存在等距的(或不等距的 )“连续归纳”?一、连续归纳证不等式一例下面抛砖引玉 ,以一个不等式的证明对此作出了正面的回答 ,希望有兴趣的读者继续研究 ,探索发现“连续归纳”更多的应用 .例　证明不等式 :2 x>97x2 ,x∈ (6,+∞ )证明　 (6,+∞ ) =(6,7]∪(7,8]∪…∪ (n ,n+1 ]∪… ,x∈ (6 ,7]时 ,2 x>2 6=64,97x2 ≤ 97× 72 =63,这就证明了n =6 ,x∈[6,7)时不等式 2 x>97x2 成立 ;假设n =k时…     

用二项式定理证明不等式的几类问题

众所周知,数学归纳法在含有自然数的命题证明方面有着较大的优势,但同时我们也发现:不是所有与自然数有关的命题都可以用数学归纳法来证明,而且在使用的新教材里目前对数学归纳法已经不作要求了.所以,在缺少了数学归纳法或出现了不宜用数学归纳法的题目之后,我们就需要去寻找另外的方法.实践证明,二项式定理在实际应用中具有很大的价值.例如,解决与自然数有关的幂不等式的证明,它就给我们提供了一种结构简明、思路清晰的证明方法.下面举例说明.1简单构造二项式和直接应用二项式定理例1(1)求证:n≥2时,2n≥n2+n+22;(2)证明:C2nn-1<4n-1(n>1)…     

累积数学归纳法

数学归纳法是一种证明与自然数ｎ有关的数学命题的重要方法 .一般地用数学归纳法证明命题时 :首先 ,证明当ｎ取第一个值ｎ0 (例如ｎ0 =1或ｎ0 =2 )时结论正确 ;然后 ,假设当ｎ =ｋ(ｋ∈Ｎ ;且ｋ≥ｎ0 )时结论正确 ,证明当ｎ=ｋ 1时结论也正确 .完成这两个步骤 ,就可以断定命题对于从ｎ0 开始的所有自然数ｎ都正确 .其实这只是数学归纳法的第一种形式 ,有些命题在第二步骤只假设当ｎ=ｋ时结论正确是不能推导出ｎ=ｋ 1时结论也正确的 (如下面几道题 ) ,必须假设当ｎ=ｎ0 ,ｎ0 1…… ,ｋ时结论都正确 ,才能推导出ｎ =ｋ 1时结论也正确 .这就是…     

数学归纳法证题中一种易犯的错误

众所周知,数学归纳法是数学中证明与自然数有关的命题常用的重要方法.其基本方法是:对于某一个与自然数有关的命题 p(n).如果:1°p(n_°)为真;2假设 p(k)为真,由此可以推出 p(k+1)亦真,那么,对于不小于     

变换形式用数学归纳法证题

用数学归纳法证题,关键在第二步,即从“n=k 时命题成立”,推出“n=k+1时命题也成立。”对于这一步骤,如果变换一下形式,则可以化繁为简.下面本人举两例谈点体会.欲证形为     

一个数学归纳法例题教学的一点体会

数学归纳法把具体的归纳猜想与严格的演绎推理结合在一起,形成了数学中最基本的逻辑推理方法之一.数学归纳法在论证与自然数n有关的教学命题中有着独到的功效.人们在认识真理的过程中经常使用归纳法来探索规律、发现结论,许多研究成果表明,归纳思维与创造性数学学习存在着很大的正相关,因此数学归纳法的教学活动对培养学生的探索精神和创造性的学习数学有着很大的促进作用,而且严格的演绎证明又能培养学生对待科学以严谨的态度.例题已知a1≥a2≥…≥an≥0,比较∑nk=1(-1)k 1ak2与(k∑=n1(-1)k 1ak)2的大小,并加以证明.说明本题目的在于着重…     

归纳奠基辨析

众所周知,用数学归纳法证明一个与自然数n有关的命题P(n),第一步是验证对于使命题成立的n的第一个值n_0,P(n_0)为真、这个步骤称为归纳奠基。奠基虽不是归纳证明的难点,但奠基时处理不当甚至错误的证法却屡见不鲜。下面通过两个例题的分析来说明奠基时应注意的几个问题。     

构造辅助命题 促进归纳成功

有些用数学归纳法证明的命题,不仅与自然数n有关,而且还涉及其他可变因素,因此这类问题的“归纳”步骤往往较难完成。本文拟从构造辅助命题入手,来促进这类问题归纳步骤     

从《数学归纳法》再看课堂有效性

数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的无限问题正确性的数学方法.由于自然数的个数是无限的,因此与自然数有关的命题是不可能通过有限次检验去证明.这需要通过在有限的情况下,去证明无限的情形.而数学归纳法正好提供了一种从有限到无限,保证命题结论正确可靠的数学方法.它的操作步骤简单、明确,教学重点不应该是方法的应用.不能把教学过程当作方法的灌输,技能的操练.应当强化数学归纳法产生过程的教学,把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中.这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景,从一开始就注意它的功能,为使用它打下良好的基础,而且可以强化归纳思想的教学,这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充,也是引导学生发展创新能力的良机.在设计时,更注重教学引入的选取照顾学生的接受性,重视学生的学习规律,有意识地提高学生的综合能力.     

数学归纳法

数学归纳法是论证与自然数n有关的命题的一种常用思想方法,应用范围极宽,它在数学竞赛中占有特殊地位。如何合理、灵活地运用数学归纳法?这是下面所要谈及的主要问题。一、因势利导——善“退”完成数学归纳法,两个基本步骤缺一不可。比较而言,使我们陷入困境的多数归于递推步然而纵观递推步完成的百般变化,归结起来,首要的是善于因势利导,由“k 1”退到“k”。例1 证明:对任何非空的有限集合,都可以把它的所有子集排成一列,使得除第一个外,每一个子集合都可以由它前面的那个子集增加或减少一个元