齐次化方法在解题中的应用

<正>齐次式能够体现数学的对称美与和谐美,在解题过程中若能把非齐次式转化为齐次式来处理往往能够起到化繁为简,事半功倍的效果.因此,在数学解题中,利用已知条件将非齐次的代数式转化为齐次式的齐次化处理方法是解决一些数学问题的重要方法.本文中我们从三角函数求值、不等式求最值和解析几何三个方面举例说明齐次化方法的应用.     

齐次化在解题中的应用

在解题中，我们常会遇到各项次数相等的式子，我们称之为齐次式。齐次式体现了数学的对称美与和谐美，正因为如此，我们在解题时若能把某些非齐次式转化为齐次式，或构造出有利于解题的齐次式，则能起到化繁为简，化难为易的作用，达到事半功倍的效果。本文通过2013年的几道高考题和竞赛题，谈谈齐次化思想在高中数学解题中的运用，供参考。     

巧用齐次化，解决一类圆锥曲线问题

本文中利用齐次化方法解决解析几何中有关斜率的问题,在一定程度上可以提高学生的运算效率,简化解题过程,帮助学生更加深刻了解解析几何的魅力,培养学生数学运算的核心素养.     

二次齐次式在求解综合问题中的应用

数学解题过程潜藏着丰富的智慧 .认真分析解题过程的每一步 ,并注意领悟其内涵 ,随时都会给你的解题宝库增添新的财富 .二次齐次式 ,即如下关于 x、y的式子 :ax2 bxy cy2 ( a、b、c为常数 )就是数学解题过程中的一只“奇葩”,它仅存在于一般人的解题过程之中 ,未被大多数人视为一种解题方法而得到重视 .其实 ,只要在解题过程中稍加注意即知 ,它是一种较为常见又具有强劲威力的重要方法 .尤其是若能合理构造并巧妙应用二次齐次式解题 ,有时会给我们带来莫大的快乐 .这既是简化解题过程的灵丹妙药 ,又是培养学生思维灵活性的金桥 .文 [1 ]…     

齐次变换的应用

我们把y=kxm变换称为齐次变换.本文例举这个变换在解题中的各方面的应用. 1解方程组 高次方程的解题思路是降次、消元,用齐次变换能简捷降次或消元.     

例谈“化齐次法”在解高考题中的应用

通过对文[1]阅读，笔者学习了该文作者提出的通性通法——三角代换法。然而，经笔者思考后还发现，这几个例题还存在另一种很实用的通法，即化齐次法。化齐次法是一种通过构造关系式（等式或不等式）两边各项的次数相等，转化为齐次式，从而实现解题目标的一种数学转化策略。     

齐次化联立解决高考中与斜率和积有关的定点问题

本文主要研究与斜率和或积为定值有关的定点问题,并用齐次化联立的方法进行统一解答,不仅能优化计算,还提供本类问题统一的解题方法.     

一类非齐次线性微分方程的求解方法

介绍求解二阶和三阶常系数非齐次线性微分方程的积分因子降阶方法,实例说明其应用,旨在开拓学生的解题思路,提高学生的解题能力.     

利用齐次化与非齐次化思想证明不等式竞赛题

设含有变量x1,x2,…,xn的不等式,如果对任意正数λ,用λx1,λx2,…,λxn去替代x1,x2,…,xn所得的不等式不改变,则称这个不等式是齐次不等式,否则,称这个不等式是非齐次不等式.齐次不等式体现了数学的对称美和和谐美,所以我们常常把非齐次不等式转化为齐次不等式进行证明,这样可以化繁为简,达到事半功倍的效果.反过来,对于某些齐次不等式,如果我们增加条件将它非齐次化,有时也会减少不必要的复杂运算,化难为易,其优雅之处,也叫人拍案叫绝．     

用次数分析法求解有关不等式的竞赛题

容易看到 ,绝大多数有关不等式的公式有着一种齐次化的倾向 ,如平均值不等式 ,柯西不等式 ,排序不等式等等 .这就暗示我们 ,对于一些有关不等式的问题 ,可以从式子中字母的次数上寻求解题的突破口 ,尤其是齐次化的解题策略 .下面以几个有关不等式的竞赛题为例 ,加以说明 .例 1　设 x,y,z是正实数 ,且 xyz=1 .证明 :x3( 1 + y) ( 1 + z) + y3( 1 + x) ( 1 + z) +z3( 1 + x) ( 1 + y) ≥ 34 ( 1 )分析　要使不等式 ( 1 )成立 ,只需证　 x4+ x3 + y4+ y3 + z4+ z3　≥ 34( 1 + x) ( 1 + y) ( 1 + z) ,即证 4( x4+ x3 + y4+ y3 + z4+ z3 )　≥ 6…     

一类常系数线性非齐次方程特解的公式化求法

讨论一类常系数线性非齐次方程特解的一种公式化求解方法.为计算机解题提供依据.     

对波动方程初边值问题边界条件齐次化函数的一个注解

基于传统的齐次化边界条件方法,采用傅里叶级数法讨论了波动方程初边值问题第一类非齐次边界条件齐次化函数问题,分析表明:对同一定解问题,在不同齐次化函数下的解在适定意义下是等价的.     

拟齐次系统的约化与约化Kowalevskaya指数

用所接受的单参数李群的特征定义拟齐次自治系统,并且对拟齐次系统进行约化,定义约化系统的约化Kowalevskaya指数,给出该指数与原拟齐次系统的Kawalevskaya指数之间的关系,对二维的拟齐次多项式系统,具体给出约化Kowalevskaya指数特征与拟齐次多项式首次积分的更深入关系.基于约化系统,证明拟齐次系统一般均存在局部的拟齐次首次积分组.     

零化多项式的一个应用

利用矩阵的零化多项式 ,给出计算标准基解矩阵 e At的一个公式 .利用向量关于矩阵的零化多项式 ,给出常系数齐次线性微分方程组初值问题的一个求解公式 .相应地 ,可以推出常系数齐次线性差分方程组在给定的初始条件下的一个求解公式 .     

圆锥曲线中的齐次化方法

<正>本文针对圆锥曲线中常见的斜率乘积和斜率之和的条件或结论,使用了齐次化方法,用一次韦达定理即得到其表达式,是圆锥曲线题目中的特定技巧.1.原点与交点连线的齐次化方法在高考或模拟考试的直线和圆锥曲线综合问题中(假设直线和圆锥曲线交点为A(x_1,     

“分式法”妙解整式问题

化分式为整式是中学数学中常见的解题思路和解题习惯,本文介绍一种与此相逆的解题方法——化整式为分式,不妨称之为分式法.应用分式法解题就是:对于有些整式问题,首先设法将其转化为分式形式,然后在分     

非齐次边界条件泛定方程的代换选择

对具有非齐次边界条件的泛定方程齐次化过程中代换的选择进行研究和探讨.基于一些相关结论和齐次化的定义得出新的研究成果,即给出对三类非齐次边界条件齐次化都适用的代换W(x,t)=A(t)x<'3>+B(t).     

探索化归思想在高中数学解题中的应用

数学学科教学的根本目的是为了解决问题,高中阶段数学学科应以解题思维的形成与扩展作为教学重点,有效引导学生在解题中化难为简.化归思想在高中数学解题中的应用可以帮助学生优化解题能力,提高学生解题的准确性与灵活性.本文首先论述化归思想的基本内涵,然后梳理出应用原则,最后提出高中数学解题中化归思想的应用策略.     

特征联想出思路

在数学解题中,根据题设条件、所求结论、图形结构、数字特征合理地展开联想,是一种重要的思维方向.解题中如能根据特征进行联想,借助已有的解题方法、思路、结论,可以化未知     

齐次化联立速解内准圆问题

齐次化联立是处理圆锥曲线中与斜率之和或斜率之积有关的问题的常用方法，本文中对2021年山东省烟台市高三一模数学第21题第(2)问的答案追本溯源，并优化其解法，对齐次化联立研究内准圆的相关性质及其应用题型进行拓展研究，即轨迹方程上的两点与坐标原点连线斜率之和或斜率之积为定值.