齐次化方法在解题中的应用

<正>齐次式能够体现数学的对称美与和谐美,在解题过程中若能把非齐次式转化为齐次式来处理往往能够起到化繁为简,事半功倍的效果.因此,在数学解题中,利用已知条件将非齐次的代数式转化为齐次式的齐次化处理方法是解决一些数学问题的重要方法.本文中我们从三角函数求值、不等式求最值和解析几何三个方面举例说明齐次化方法的应用.     

配方法解题举例

<正>把一个二次三项式通过恒等变形化为完全平方式的过程,叫作配方,用配方解题的方法叫作配方法,它是中学数学中重要方法,应用十分广泛,必须认真掌握,并注意以下三点.一、配方有三种情况(1)由一、三项配第二项;(2)由一、二项配第三项;(3)由第二项配第一、三项.     

例谈齐次化在数学解题中的应用

齐次化是重要的解题方法之一,用其解题不仅可以简化解题步骤,还可以体现数学的对称美与和谐美.齐次化的本质是降维消元,将问题化繁为简,本文结合四道实例进行介绍,一方面给广大师生提供另一种解题思路,另一方面展示齐次化的应用技巧,从中体会其精妙之处.     

二次齐次式在解题中的应用

众所周知,二次齐次式是指如下关于x,y的式子:ax2+bxy+cy2(a,b,c为常数).巧妙构造并合理应用这一有意义的式子会给解题带来意想不到的效果.尤其是在简化解析几何中的运算将显示出无比的优越性.下面是笔者在课堂教学中对一些解析几何问题的做法,写出来供同行讨论品评.……     

分式中的思想方法归纳

数学思想是对数学内容的进一步提炼和概括,是对数学内容的一种本质认识.它是数学发现、发明的关键和动力,抓住数学思想方法,是提高解题能力的根本所在,在平时的学习过程中,如果能注意有意识的发现解题过程中的数学思想,并能加以     

配方法在解题中的应用

<正>把一个二次三项式通过恒等变形化为一个完全平方式的过程,叫作配方法,它是中学数学中的重要方法,应用十分广泛,必须认真掌握,并注意以下四点:一、注意配方的三种情况(1)由一、二项配第三项,注意配法;(2)由一、三项配第二项,注意配法;(3)由第二项配一、三项,注意恒等关系.二、注意对二次根式的配方三、注意配方过程中技巧性变形,如拆项、凑项等四、注意它在各方面的应用现举例说明.1.因式分解     

重视数学思想 学好几何基础

数学思想方法是数学的灵魂,它贯穿于数学学习的始终.若在低年级就注意数学思想方法的渗透、学习、归纳与应用,对学好数学基础知识,提高数学解题能力,将会有事半功倍的效果.现对初一数学《基本图形》这一章中所蕴     

二次齐次式的变形

形如ａｘ~2 +ｂｘｙ +ｃｙ~2 (ａ ,ｂ ,ｃ是常数 )的式子叫做二次齐次式 ,在确定 ｙ≠ 0的情况下 ,可变形为 ｙ2 [ａ( ｘｙ) 2 +ｂ( ｘｙ) +ｃ] .若是二次齐次方程或不等式 ,此变形的结果为关于 ｘｙ的一元二次方程或不等式 ,这种变形往往对问题的解答十分有利 .1 .数列中的二次齐次式例 1　设数列 {ａｎ}是首项为 1的正项数列 ,且 (ｎ + 1 )ａ2 ｎ + 1 -ｎａ2 ｎ+ａｎａｎ + 1 =0 (ｎ =1 ,2 ,3,… ) ,则它的通项公式是ａｎ=.分析　已知等式是关于ａｎ,ａｎ + 1 的二次齐次式 ,因为ａｎ>0 ,两边同除以ａ2 ｎ 得 (ｎ + 1 )·( ａｎ + 1ａｎ) …     

确定自变量取值范围要注意的地方

在初中数学中,确定函数自变量的取值范围涉及知识面广、方法灵活,是学习初中数学的难点之一。但只要把握解题规律,就能达到事半功倍之效。一、注意函数解析式的特征根据函数解析式确定自变量取值范围应从以下几个方面考虑：①整式型：若函数解析式是整式时,则自变量取值范围为一切实数；②分式型：若函数解析式是分式时,则分母不为零；③二次根式型：若函数解析式是二次根式时,则被开方数为非负数；     

利用齐次方程易转化性解题

通常采用两边同除以cos^2x使之转化成一个只含一个未知数的方程,然后求解的方法．该疗程之所以易转化,是因为方程左边是一个关于sinx,cosx的齐次式．在代数式中,齐次式往往较其他式易于转化,充分利用这一特点,可给解题提供诸多方便．对活跃学生思维也是大有裨益的．本文举几例竞赛题和高考题加以说明．     

用换元法化简二次根式

换元法是数学中一种重要的解题方法,应用非常广泛.在二次根式的化简中,对有些题目,若能根据其结构特点,巧妙地应用换元法,可使解题变得十分简捷.本文通过实例介绍二次根式化简中的几种常用的换元方法.     

例谈“化齐次法”在解高考题中的应用

通过对文[1]阅读，笔者学习了该文作者提出的通性通法——三角代换法。然而，经笔者思考后还发现，这几个例题还存在另一种很实用的通法，即化齐次法。化齐次法是一种通过构造关系式（等式或不等式）两边各项的次数相等，转化为齐次式，从而实现解题目标的一种数学转化策略。     

用“平方法”巧解三角题

平方法是数学解题中一种重要的转化手段,某些三角题，通过平方升次，可以巧妙地利用恒等式sin2θ＋cos2θ=1，优化解题过程，现举几例加以说明.     

谈谈数学解题中的失误

谈谈数学解题中的失误黄坪（江苏南通市一中２２６００１）数学解题出现失误是主体在解题活动中，没有全面发挥注意功能的一种心理表现．注意功能之一是对活动起监督作用．在数学解题过程中，不仅要注意习题是否会解，能否解完，而１１还要注意解题过程中的每一步是否正确...     

二次根式中蕴涵的数学思想方法

数学思想方法是数学的灵魂,是解决数学问题的金钥匙.为帮助大家理解数学思想方法,下面将二次根式中所蕴涵的思想方法向大家介绍一下,希望对提高大家的学习有所帮助.一、不等式的思想对于所求的数学问题,通过列不等式来解决问题的一种数学解题策略.     

分类讨论思想在数学教学中的实践与思考

数学思想是抽象的,无程序可循的,但它又确确实实存在的,不仅存在于解题过程中,也存在于数学学习过程中,还存在于把什么都归结于数学关系的思维模式中,它具有很强的功能性.那么对于这看不见又摸不着却又很重要的数学思想在教学中该如何把握呢?在分类讨论思想培养的过程中又应该注意哪些问题呢?一、什么是分类讨论思想在日常生活中,经常会发现,在一定的条件下,     

运用变式教学 活跃学生思维

一、高三复习课运用变式教学的意义 高三复习教学的目的,一是整合知识,形成良好的知识体系;二是训练思维,培养思维灵活性,提高解题能力.按照波利亚的观点,解数学问题是不断变化问题的一种过程:一再改述它、变更它,直至终于找到一些有用的线索,化繁为简,化难为易,化未知为已知……直到最后解决问题为止.在复习教学中根据教学目标,运用变式教学有利于以下几方面.     

巧化齐次式妙证不等式

若不等式两边各项的次数相等 ,不妨称之为齐次不等式 .如均值不等式中 ,ａ2 +ｂ2 ≥2ａｂ ,是齐二次不等式 ,ａ +ｂ+ｃ3 ≥ 3 ａｂｃ是齐一次不等式 ,对某些非齐次不等式的证明 ,若能结合题设条件 ,将低次项的次数适当升高 ,从而将原不等式转化为齐次不等式来处理 ,往往会产生出奇制胜的解题效果 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ+ｂ +ｃ=1.求证 :ａｂ +ｂｃ+ｃａ≤ 13 .分析　所证不等式左边是二次式 ,右边是一个常数 ,即零次式 .由已知　ａ +ｂ+ｃ =1,∴　　　 (ａ+ｂ+ｃ) 2 =1,从而所证不等式可化为齐二次不等式ａｂ +ｂｃ+ｃａ≤ 13 (ａ +ｂ+ｃ) 2 ,即　ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ≥ａｂ +ｂｃ+ｃａ .而　左边 -右边= 12 [(ａ-ｂ) 2 +(ｂ -ｃ) 2 +(ｃ -ａ) 2 ] ≥ 0 ,∴　原不等式成立 .例 2　已知 ｐ3 +ｑ3 =2 .求证 :ｐ+ｑ≤ 2 .分析　所证不等式左边为一次式 ,右边为零次式 ,考虑到已知等式是一个三次式 ,从而将所证不等式两边立方 ,得 (ｐ+ｑ) 3 ≤ 8,∵　ｐ3 +ｑ3 =2 ,　∴　 8=4( ｐ3 +ｑ...     

例谈数学解题反思的收获

解题反思是一种对解题活动的再认识,属于解题活动的元认知.它是对解题活动的深层次再思考.它不仅仅是对数学解题学习的一般性回顾或重复,而且更是探究数学解题活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等,具有     

从估计数值入手

估计数值指的是在解题过程中,灵活运用不等式的性质,有意识地对题式中的代数式的取值情况作一个估计.考虑这种方法,一些数学问题,尤其是竞赛问题能找到很好的解题途径.必须注意的是,估计数值要适度,不能太大,也不宜过小.