辅助函数法应用举例

本文给出用辅助函数法解题的若干例子。由此可以看出辅助函数法应用的一斑。例1 已知acosθ bsinθ=c,acosφ bsinφ=c((θ-φ)/2≠kπ,k为整数)。求证a/cos(θ φ)/2=b/sin(θ φ)/2=c/cos(θ-φ)/2 证明作辅助函数f=(x,y)=ax by-c,则点P(cosθ,sinθ),Q(cosφ,sinφ)在直线f(x,y)=0上,此时直线方程为ax by=c,由两点式可得 (y-sinθ)/(x-cosθ) =(sinθ-sinφ)/(cosθ-cosφ) ∴xcos[(θ φ)/2] ysin[(θ φ)/2] =cos[(θ-φ)/2],     

圆锥曲线的准线切线焦点弦的相关性

文 [1 ]定理 5概括了抛物线的准线切线焦点弦的一个相关性 .本文将利用极坐标法证明三种圆锥曲线的准线切线焦点弦的几个相关性质 .1　极坐标系中的直线方程引理 1　在极坐标系中 ,过两点A( ρ1 ,α) ,B( ρ2 ,β)的直线方程 (两点式 )为ρρ2 sin(θ - β) =ρρ1 sin(θ -α) + ρ1 ρ2 sin(α - β) ,或sin(α- β)ρ =sin(α-θ)ρ2 + sin(θ- β)ρ1(不经过极点时 ρρ1 ρ2 ≠ 0 ) .证明略 .引理 2　在极坐标系中 ,过点A( ρ1 ,α) ,斜率为k的直线方程 (点斜式 )为 ρsinθ-kρcosθ =ρ1 sinα-kρ1 cosα .引理 3　A( ρ1 ,α) ,B…     

逆用方程根的定义巧解解析几何问题

大家知道,若方程f(x)=0的根为m,则有f(m)=0,反之,若f(m)=0,则m是方程f(x)=0的根,本文就此问题谈谈如何逆用方程根的定义解决解析几何问题,希望能引起同学们的注意.例1已知a2sinθ acosθ-1=0,b2sinθ bcosθ-1=0,a≠b.证明:过点(a,a2),(b,b2)的直线恒与单位圆相切.证明过(a,a2)     

过一点双曲线有四条切线

众所周知,过一点的双曲线最多只有两条切线。但是,笔者却可以求出四条。题:求通过点p(O,-1)的双曲线x~2-4y~2=1的切线。解:设过点P的切线方程为y=kx-1,下面由切线与双曲线有唯一交点来确定k。把y=kx-1代入x~2-4y~2=1并整理,得 (1-4k~2)x2 8kx-5=0 (＊) 当1-4k~2=0,即k=±1/2时,方程(＊) 有唯一解,从而直线与双曲线有唯一交点。当1-4k≠0时,令△=16k~2 20(1-4k~2)=0得k=±5~(1/2)/4,即k=±5~(1/2)/4也为所     

斜率是研究直线问题的重要工具

在平面直角坐标系中研究直线问题 ,斜率是一个表示直线位置的重要特征量 .一方面斜率等于倾斜角的正切值k =tanθ ,另一方面斜率又有坐标化公式k =y2 - y1x2 -x1,双重身份使斜率的运用更加方便灵活 .因此 ,它是研究直线问题时的重要工具 .1　研究直线的倾斜角例 1　 (1996年上海高考题 )过点 (4 ,0 )和点 (0 ,3)的直线的倾斜角为 (　　 )(A)arctan 34.(B)π -arctan 34.(C)arctan - 34.(D)π -arctan - 34.解　根据斜率公式得k =y2 - y1x2 -x1=3- 00 - 4=- 34,又由斜率定义得tanθ =- 34且θ∈ [0 ,π) ,从而θ =π -arctan 34,故选 (B) .…     

“求复平面上点的轨迹”初探

我们将处理复平面上的点轨迹问题,归纳其解法如下,供参考。一、定义法。所谓定义法就是应用实数、复数相等等概念处理点的轨迹问题。例1 已知复数z_1=cosθ isinθ(0≤θ<π),z_2=1 4cos2θ i4sin2θ,若复数z=z_2·z_1~(-1),试求复数z所对应的动点轨迹的普通方程。解:∵z=z_2·z_1~(-1)=(1 4cos2θ i4sin2θ)·(cosθ isinθ)~(-1)=(1 4cos2θ i4sin2θ)[cos(-θ) isin(-θ)]=5cosθ i·3sinθ, 设复数z=x yi(x,y∈R),根据复数相等的     

新题征展(15)

A.题组新编1.(1)函数f(x)=x|x|的反函数为　　;(2)函数f(x)=x|x| x-1的反函数为　　;(3)函数f(x)=x|x|-x-1　　反函数(填“有”或“无”);(4)由方程x|x| y|y|=1确定函数y=f(x),则f(x)在(-∞, ∞)上是(　　).　(A)增函数　　　　(B)减函数　(C)奇函数(D)偶函数2.(1)两圆C1:x2 y2 4x-4y 7=0,C2:x2 y2-4x-10y 13=0的公切线有(　　).　(A)1条　(B)2条　(C)3条　(D)4条(2)过定点P(1,2)且与两坐标轴围成的三角形面积等于4的直线有(　　).　(A)1条　(B)2条　(C)3条　(D)4条(3)与圆x2-4x y2 2=0相切且在两坐标轴截距相等的直线有(　　).　(A)…     

关于正项等差数列一个不等式的加强及应用

笔者在文[1]中建立了如下不等式:命题设{an}为等差数列,且首项a1>0,公差d>0,k∈R 且k≠1,n>1,则1d(1-k)(a1n- 1k-a11-k)<∑ni=11aik0,公差d>0,k∈R ,且k≠1,n>1,则1d(1-k)1akn- 11-a11k-1 21a11k-a1nk 1<∑ni=11aik0),则f′(x)=-xkk 1<0,f″(x)=k(kxk 21)>0,故函数f(x)在(0, ∞)内单调递减且严格下凸.设y=f(x)的图形为曲线C,作直线x=ai和直线x=ai 1,分别与曲线C和x轴正半轴相交于Pi,…     

极坐标系下的图形旋转

法则　设曲线Ｃ的极坐标方程为 ｆ(ρ ,θ) =0 ,把曲线Ｃ绕极点逆时针方向旋转角α (0 <α <π)得曲线Ｃ′ ,则曲线Ｃ′的极坐标方程为 :ｆ(ρ ,θ-α) =0 .例 1　 (1999年高考题 )在极坐标系中 ,曲线 ρ=4ｓｉｎ(θ - π3)关于 (　　 )(Ａ)点 (2 ,π3)中心对称 .(Ｂ)直线θ=5π6 轴对称 .(Ｃ)直线θ=π3轴对称 .(Ｄ)极点中心对称 .解　因为 ρ =4ｓｉｎθ的图形是圆心在 (2 ,π2 )半径为 2的圆 ,如图 1(1) ,只须把此圆绕极点按逆时针方向旋转 π3,即得曲线 ρ =4ｓｉｎ(θ - π3) ,此圆的圆心为 (2 ,5π6 ) ,如图 1(2 ) ,故选 (Ｂ) .(1 )　…     

圆锥曲线焦点弦的一个性质

笔者在利用《几何画板》探索圆锥曲线的性质时 ,发现圆锥曲线的焦点弦和准线间存在一个有趣性质 ,在此给出 ,共大家分享 .我们先看一个引理 :引理　在极坐标系中 ,设A(ρ1,θ1) ,B(ρ2 ,θ2 )是圆锥曲线 ρ=ep1 -ecosθ 上任意两点 ,则直线AB的方程为 :ρ[cos(θ1+θ22 -θ) -ecosθ1-θ22 cosθ]=epcosθ1-θ22 .证明　在极坐标系中 ,若A(ρ1,θ1) ,B(ρ2 ,θ2 ) ,则直线AB的方程是 :sin(θ1-θ2 )ρ =sin(θ1-θ)ρ2+sin(θ -θ2 )ρ1( )因为A(ρ1,θ1)、B(ρ2 ,θ2 )在圆锥曲线 ρ =ep1 -ecosθ上 ,所以 ρ1=ep1 -ecosθ1,ρ2 =ep1 -…     

椭圆焦点弦中的新结论

1·引言文[1]介绍了椭圆x2a2 by22=1焦点三角形的若干性质,读后很受启发,笔者研究了焦点弦的若干性质·2·几个结论定理1设P是椭圆x2a2 by22=1上任意一点,F1、F2是两个焦点,弦PP1、PP2分别过焦点F1、F2,过P1、P2的切线交于P′,则P′点的轨迹方程为:x2a2 (ab22 y2c2)=1·证明设P(acosθ,bsinθ),F1(-c,0),F2(c,0),c2=a2-b2,P1(图x1,1y1),P2(x2,y2)·直线PP1方程为y=acbossiθnθ c(x c),b2x2 a2y2=a2b2,b2(acosθ c)2x2 a2b2sin2θ(x c)2=a2b2(acosθ c)2,x2项的系数为b2(a2sin2θ a2cos2θ 2accosθ c2)=b2(a2 c2 2accosθ)·x项的…     

对新题征展(31)第3题的订正

题　已知复数 z满足条件 | z| =1 ,求| z - i| .| z - 12 32 - i|的最大值 .解法 1　设 z =cosθ isinθ,其中θ∈[0 ,2π) ,| z - i| =| cosθ i( sinθ - 1 ) |= cos2 θ ( sinθ - 1 ) 2 =2 ( 1 - sinθ)= 2 [1 - cos( π2 -θ) ]=2 | sin( π4 - θ2 ) || z - 12 32 i|= | ( cosθ - 12 ) i( sinθ 32 ) |= ( cosθ - 12 ) 2 ( sinθ 32 ) 2= 2 2 sin(θ - π6 )=2 [1 cos( 2π3-θ) ]=2 .2 cos2 ( π3- θ2 )=2 | cos( π3- θ2 ) | .则　 | z - i| .| z - 12 32 i|=4 | sin( π4 - θ2 ) .cos( π3- θ2 ) |=…     

在不定积分计算中不能忽视"区间I"

有这么一道求不定积分的题目 :例 ∫ 1 -sin2θdθ在以往的教学乃至某些考研资料中发现有这样做的 :解 ∫ 1 -sin2θdθ=∫ (sinθ-cosθ) 2 dθ=∫ |sinθ-cosθ|dθ=± (cosθ+sinθ) +C初看似乎没错 ,但仔细推敲就会发现有问题。实际上只有当θ∈ [2kπ -3π4,2kπ + π4]时 (k是整数 ) ,cosθ-sinθ 0 ,才有(cosθ+sinθ)′=cosθ -sinθ=｜sinθ-cosθ｜从而cosθ+sinθ在这些区间上才是 |sinθ-cosθ|的一个的原函数。而当θ∈ [2kπ + π4,2kπ + 5π4]时 ,sinθ-cosθ 0 ,(-cosθ-sinθ)′=sinθ -cosθ=｜sinθ-cosθ｜从而与上面…     

新题征展(30)

A　题组新编1 .( 1 )对任意的 x∈ [- 1 ,1 ],函数 f( x)= x2 - ( k 1 ) x 4的值恒大于 0 ,求实数 k的取值范围 ;( 2 )对任意的 k∈ [- 1 ,1 ],函数 f ( x) =x2 - ( k 1 ) x 4的值恒大于 0 ,求实数 x的取值范围 .2 .( 1 )过点 P( 3,1 )作直线 l交 x、y轴正方向于 A、B点 ,求使△ AOB面积最小时直线l的方程 ;( 2 )过点 P( 3,1 )作直线 l交 x轴正方向于 A,交直线 y =2 x于 B,求使△ AOB面积最小时直线 l的方程 ;( 3)过点 P( 3,1 )作直线 l分别交直线 y= - x - 2与 y =2 x 1于 A、B,且 O′为这两条直线的交点 ,求使△ AO′B面…     

求直线方程的八类典型错误

求直线方程是《直线和圆的方程》这章中的基本题型之一 .在求解问题时 ,如果考虑不周全或者忽视特殊情况 ,往往会造成漏解现象 ,下面加以剖析 .1　忽略斜率不存在若将直线方程设为点斜式或斜截式 ,则应针对斜率是否存在进行分类讨论 ,否则极易漏解 .例 1　求过 (2 ,1 )且与直线 y =3x - 1夹角为 30°的直线方程 .错解 :设所求斜率为k ,因为直线 y =3x - 1的斜率为k1=3,由 3-k1 +3k =tan30°=33,得k =33.故所求直线方程为 y - 1 =33(x - 2 ) ,即x - 3y +3- 2 =0 .剖析　这里忽略了斜率不存在的情况 .事实上 ,还有一条直线x =2也满足 .例 2　…     

两道习题的统一与开拓

高中代数(乙种本)上册P_(240)和P_(205)上有如下两道题:1°求证tg3θ-tg2θ-tgθ=tg3θtg2θtgθ 2°在△ABC中,求证tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC 对1°变形得tg3θ+tg(-2θ)+tg(-θ)=tg3θtg(-2θ)tg(-θ)可以看出它们是一种类型的题目。不同的是1°式中的角的关系为3θ+(-2θ)+(-θ)=0:而2°式中角的关系为A+B+C=π。下面证明当角的关系满足α+β+r=kπ时(k∈z)有tgα+tgβ+tgr=tgαtgβtgr。     

“3＋x”高考数学模拟试题

选择题　 (每小题给出四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .每小题 5分 ,共 6 0分 )1　设全集Ｉ =Ｒ ,集合Ｍ ={ｘ|ｘ2 ｙ2 =2 5} ,Ｎ ={ｘ||ｘ - 2 |>5} ,则Ｍ∩Ｎ =(　　 )(Ａ) (5,7) .　 (Ｂ) (-∞ ,- 5)∪ [- 3, ∞ ].(Ｃ) (- 5,- 3) .　　 (Ｄ) .2　 [理 ]在极坐标系中 ,已知一个圆的方程为 ρ =12ｓｉｎ(θ - π6 ) ,则过圆心与极轴垂直的直线的极坐标方程是 (　　 )(Ａ) ρｓｉｎθ =33.　　　　 (Ｂ) ρｓｉｎθ=- 33.(Ｃ) ρｃｏｓθ=3. (Ｄ) ρｃｏｓθ =- 3.[文 ]直线ｙ =ｘ - 1上的点到圆ｘ2 ｙ2 4ｘ -2 ｙ 4=0的最近距…     

函数y=θ-argz的几何解释

设复数ｚ =ａｃｏｓθ ｉ·ｂｓｉｎθ,(ａ>ｂ >0 ,0 <θ<π2 ) ,则θ为复数ｚ在复平面上对应点ｚ轨迹 ｘ =ａｃｏｓθｙ =ｂｓｉｎθ(0 <θ<π2 为参数 )———椭圆 (在第一象限部分 )的离心角 ,如图 ,函数ｙ=θ-ａｒｇｚ即为∠ＡＯＺ .ｔｇ∠ＡＯＺ =ｔｇｙ =ｔｇ(θ-ａｒｇｚ)=ｔｇθ - ｂａｔｇθ1 ｔｇθ· ｂａｔｇθ=(ａ -ｂ)ｔｇθａ ｂｔｇ2 θ=ａ-ｂａｔｇθ ｂｔｇθ≤ ａ-ｂ2ａｂ,所以ｙ的最大值为ａｒｃｔｇａ -ｂ2ａｂ,当且仅当 ａｔｇθ=ｂｔｇθ,即θ =ａｒｃｔｇ ａｂ 时取得 .当ａ =3 ,ｂ=2或ａ =3 ,ｂ=1时就分别得到 9…     

再议一类“过定点的动直线问题”

文[1]对“过定点的动直线问题”进行了深入探讨,并提到如下问题：“如果直线l经过点P（1,2）且与两坐标轴围成的三角形的面积为S,那么（1）当S=3时,这样的直线有几条？（2）当S=4时,这样的直线有几条？（3）当S=5时,这样的直线有几条？     

一道习题解答的完善

题:方程 x=((e~t+e~(-t))/2)cosθ y=((e~t-e~(-t))/2)sinθ当θ、t分别为参数时各表示什么图形?常见的解答是: (1)当θ为参数时,原方程变为 x/((e~t+e~(-t))/2)=cosθ, y/((e~t-e~(-t))/2)=sinθ。两式平方后相加得 x~2/((e~t+e~(-t))/2)+y~2/((e~t-e~(-t))/2)~2=1。它表示椭圆。 (2)当t为参数时,原方程变为