2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（理工农医类）（北京卷）

参考公式 :三角函数的积化和差公式ｓｉｎαｃｏｓβ=12 [ｓｉｎ(α+β) +ｓｉｎ(α- β) ]ｃｏｓαｓｉｎβ=12 [ｓｉｎ(α +β) -ｓｉｎ(α - β) ]ｃｏｓαｃｏｓβ =12 [ｃｏｓ(α+β) +ｃｏｓ(α- β) ]ｓｉｎαｓｉｎβ=- 12 [ｃｏｓ(α +β) -ｃｏｓ(α - β) ]正棱台、圆台的侧面积公式Ｓ台侧 =12 (ｃ′+ｃ)ｌ其中ｃ′、ｃ分别表示上、下底面周长 ,ｌ表示斜高或母线长球体的体积公式Ｖ球 =43 πＲ3其中Ｒ表示球的半径一、选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1 )满足条件Ｍ∪ { 1 } ={ 1 ,2 ,3 }的集合Ｍ…     

济宁市1999—2000学年度第一学期期末统一考试高三数学试题

本试卷分第Ⅰ卷 (选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分 .共 150分 .考试时间 12 0分钟 .第Ⅰ卷(选择题 ,共 60分 )参考公式三角函数的积化和差公式 :ｓｉｎαｃｏｓβ =12 [ｓｉｎ(α β) ｓｉｎ(α - β) ] ,ｃｏｓαｓｉｎβ =12 [ｓｉｎ(α β) -ｓｉｎ(α - β) ] ,ｃｏｓαｃｏｓβ =12 [ｃｏｓ(α β) ｃｏｓ(α - β) ] ,ｓｉｎαｓｉｎβ =- 12 [ｃｏｓ(α β) -ｃｏｓ(α - β) ] ;正棱台、圆台的侧面积公式 :Ｓ台侧 =12 (ｃ′ ｃ)ｌ ,其中ｃ′ ,ｃ分别表示上、下底面周长 ,ｌ表示斜高或母线长 ;台体的体积公式 :Ｖ台体 =13…     

2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(全国卷)(理工农医类)

参考公式 :三角函数的积化和差公式ｓｉｎαｃｏｓβ=12 [ｓｉｎ(ａ +β) +ｓｉｎ(α-β) ]ｃｏｓαｓｉｎβ=12 [ｓｉｎ(ａ+β) -ｓｉｎ(α -β) ]ｃｏｓαｃｏｓβ =12 [ｃｏｓ(ａ+β) +ｃｏｓ(α -β) ]ｓｉｎαｓｉｎβ =-12 [ｃｏｓ(ａ +β) -ｃｏｓ(ａ-β) ]正棱台、圆台的侧面积公式Ｓ台侧 =12 (ｃ′ +ｃ)ｌ其中　ｃ′、ｃ分别表示上、下底面周长 ,ｌ表示斜高或母线长球的体积公式Ｖ球 =43 πＲ3　　其中Ｒ表示球的半径一 选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1 )圆 (ｘ -1 ) 2 +ｙ2 =1的圆心到直线ｙ=33…     

1999年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分；共１５０分；考试时间１２０分钟；第Ⅰ卷（选择题共６０分）参考公式：三角函数的积化和差公式ｓｉｎαｃｏｓβ＝１２〔ｓｉｎ（α＋β）＋ｓｉｎ（α－β）〕ｃｏｓαｓｉｎβ＝１２〔ｓｉｎ（α＋β）－ｓｉｎ（α－β）〕ｃｏｓαｃｏｓβ＝１２〔ｃｏｓ（α＋β）＋ｃｏｓ（α－β）〕ｓｉｎαｓｉｎβ＝－１２〔ｃｏｓ（α＋β）－ｃｏｓ（α－β）〕正棱台、圆台的侧面积公式Ｓ台侧＝１２（ｃ′＋ｃ）ｌ其中ｃ′、ｃ分别表示上、下底面周长，ｌ表示斜高或母线长台体的体积公式…     

一类三角问题解的讨论

在高中数学课本、课外参考书及报刊杂志上 ,经常会碰到这样一类三角问题 :已知　ｃｏｓα±ｃｏｓβ =ｍ ,ｓｉｎα±ｓｉｎβ =ｎ .求 :ｓｉｎ(α±β)的值 .文 [1],[2 ]对特殊情形 :已知ｃｏｓα -ｃｏｓβ =12 ,ｓｉｎα -ｓｉｎβ =- 13,求ｓｉｎ(α + β)的解法及避免增解作了分析 ,文 [1]还提出条件不变 ,ｓｉｎ(α - β)符号怎样验证和判断的困惑 ,本文对这类问题进行分析与讨论 ,以加深对这类问题解的认识 .显然上述问题的条件有四种不同组合 :(Ⅰ ) ｃｏｓα +ｃｏｓβ =ｍ ,ｓｉｎα +ｓｉｎβ =ｎ .(Ⅱ ) ｃｏｓα -ｃｏｓβ =ｍ…     

两个三角函数恒等式及其应用

定理 1　设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｃｏｓαｓｉｎ(β -γ) ｃｏｓβｓｉｎ(γ -α) ｃｏｓγｓｉｎ(α - β) =0 . (1)　　定理 2　设α ,β ,γ∈Ｒ ,则有ｓｉｎαｓｉｎ(β -γ) ｓｉｎβｓｉｎ( γ -α) ｓｉｎγｓｉｎ(α - β) =0 .(2 )证　构造二元一次方程组ｘｃｏｓα ｙｃｏｓβ =ｃｏｓγｘｓｉｎα ｙｓｉｎβ =ｓｉｎγ(3)(4 )由 (3) ,(4 )两式可得　　ｘｓｉｎ(α - β) =ｓｉｎ(γ - β) (5)　　ｙｓｉｎ(α - β) =ｓｉｎ(α -γ) (6 )将 (3)式两边同乘ｓｉｎ(α - β)后 ,再将 (5) ,(6 )两式代入即得定理 1.将 (4 )式…     

一道例题结论的推广

本刊文 [1 ]用三角形的一个重要性质巧妙地证明了该文的例 4:设α ,β为锐角 ,且ｓｉｎ2 α ｓｉｎ2 β =ｓｉｎ(α β) ,求证 :α β =π2 .本文推广这个结论 (从以下定理 1的证明中还可找到上述结论的简捷证明 ) .定理 1　设α ,β均为第一象限的角 ,则ｓｉｎα =><ｃｏｓβ ｓｉｎ2 α ｓｉｎ2 β=><ｓｉｎ(α β) .证　有ｓｉｎα ,ｃｏｓα ,ｓｉｎβ ,ｃｏｓβ均为正数 ,所以ｓｉｎα =><ｃｏｓβ ｓｉｎα =><ｃｏｓβｃｏｓα =<>ｓｉｎβ ｓｉｎα·(ｓｉｎα -ｃｏｓβ) =><0 =><ｓｉｎβ(ｃｏｓα -ｓｉｎβ) ｓｉｎα…     

2004年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)

第Ⅰ卷　　参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 [sin(α β) sin(α- β) ]cosαsinβ=12 [sin(α β) -sin(α- β) ]cosαcosβ=12 [cos(α β) cos(α - β) ]sinαsinβ =- 12 [cos(α β) -cos(α - β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一、选择题( 1 )设集合M ={(x,y) ｜x2 y2 =1 ,x∈R ,y∈R},N ={(x ,y) ｜x2 -y=0 ,x∈R ,y∈R},则集合M∩N中元素的个数为 (　　 )(A) 1　　 (B) 2　　 (C) 3…     

求范围的问题要注意“完备”与“纯粹”

“已知ｓｉｎαｃｏｓβ =12 ,求ｃｏｓαｓｉｎβ的取值范围”这个题目 ,文 [1] ,[2 ]中连续出现 .两文中的结论都是正确的 ,而解法却又欠妥当或欠完整 .为便于商榷 ,将文 [1]解法的主要步骤抄录如下 :解　由ｓｉｎαｃｏｓβ =12 ,两边平方得 :ｃｏｓ2 αｃｏｓ2 β =14 ,又ｃｏｓ2 αｓｉｎ2 β=( 1-ｓｉｎ2 α) ( 1-ｃｏｓ2 β) =…≤14 ,∴ - 12 ≤ｃｏｓαｓｉｎβ≤ 12 .题解到此结束 .显然作者认为所求的范围当然就是 [- 12 ,12 ] .一般地说 ,在 (一定的条件下 )求函数 ｆ取值范围的问题中 ,求得的范围Ａ应满足 :(ｉ) (当条件满足时…     

构造解析几何模型巧解三角问题

有些三角问题 ,若能根据已知式的结构 ,挖掘出它的几何背景 ,通过构造解析几何模型 ,化数为形 ,利用数学模型的直观性 ,则能简捷地求得问题的解 .　　一、构造“直线模型”例 1　已知ｃｏｓα -ｃｏｓβ=-23,ｓｉｎα -ｓｉｎβ=12 ,求ｃｏｓ(α + β)与ｃｏｓα +ｃｏｓβｓｉｎα +ｓｉｎβ的值 .解　Ａ(ｃｏｓα ,ｓｉｎα)、Ｂ(ｃｏｓβ ,ｓｉｎβ)是单位圆ｘ2 + ｙ2 =1上的点 .由已知可得直线ＡＢ的斜率ｋＡＢ =ｓｉｎα -ｓｉｎβｃｏｓα -ｃｏｓβ=-34.设直线ＡＢ的方程为 ｙ =-34ｘ +ｂ ,代入ｘ2 + ｙ2 =1得2 5ｘ2 -2 4ｂｘ + (16…     

2000届高三第一次全国大联考数学试题

参考公式 :三角函数的和差化积、积化和差公式 :(略 )正棱锥、圆锥的侧面积公式 :Ｓ锥侧 =12 ｃｌ.其中ｃ表示底面周长 ,ｌ表示斜高或母线长 .台体的体积公式 :Ｖ台体 =13(Ｓ′ ＳＳ′ Ｓ)ｈ .其中Ｓ′ ,Ｓ分别表示上、下底面积 ,ｈ表示高 .选择题 (本大题共 14小题 ,第 1- 10题每小题 4分 ,第 11- 14题每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .)1　把 - 11π4 表示成 2ｋπ θ(ｋ∈Ｚ)的形式 ,使 |θ|最小的θ的值是 (　 )(Ａ) - 3π4 .　 (Ｂ) - π4 .　 (Ｃ) π4 .　(Ｄ) 3π4 .2　 [理 ]直线 ρ…     

正n棱锥中的两类角及其关系

文 [1]给出结论 :在正四棱锥中 ,设侧面与底面所成的二面角为α ,相邻两侧面所成的二面角为 β ,则ｃｏｓβ =-ｃｏｓ2 α .图 1　 (1)式证明用图事实上 ,由ｃｏｓβ =-ｃｏｓ2 α可化为 2ｃｏｓ2 β2 - 1=-ｃｏｓ2 α ,所以 2ｃｏｓ2 β2 =ｓｉｎ2 α ,进而化为ｃｏｓ β2 =ｃｏｓ π4 ｓｉｎα (1)证明　如图 1,正棱锥的高为ＰＯ ,ＰＦ为斜高 ,则∠ＰＦＯ =α .设∠ＡＥＣ为侧面ＰＡＢ与侧面ＰＢＣ所成的二面角 ,即∠ＡＥＣ =β .由正棱锥的特性 ,ＯＥ平分∠ＡＥＣ ,那么ｃｏｓ β2 =ＯＥＡＥ=12 ＰＢ·ＰＯ12 ＰＢ·ＡＥ=Ｓ△ＰＯＢＳ△…     

圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质

笔者最近探得圆锥曲线焦点弦有一个统一的有趣性质 .定理 1　过椭圆一个焦点Ｆ的直线与椭圆交于两点Ｐ、Ｑ ,Ａ1 、Ａ2 为椭圆长轴上的顶点 ,Ａ1 Ｐ和Ａ2 Ｑ交于点Ｍ ,Ａ2 Ｐ和Ａ1 Ｑ交于点Ｎ ,则ＭＦ⊥ＮＦ .证明　如图1 .设椭圆方程为ｂ2 ｘ2 ａ2 ｙ2 =ａ2 ｂ2 (ａ>ｂ>0 ) ,Ｆ(ｃ,ｏ) ,Ｐ(ａｃｏｓα ,ｂｓｉｎα) ,Ｑ(ａｃｏｓβ ,ｂｓｉｎβ) .则Ａ1 Ｐ的方程为ｙ= ｂｓｉｎαａ(ｃｏｓα 1 ) (ｘ ａ) ,Ａ2 Ｑ的方程为 ｙ=ｂｓｉｎβａ(ｃｏｓβ - 1 ) (ｘ-ａ) .解这两个方程得ｘ =ａ[ｓｉｎα-ｓｉｎβ-ｓｉｎ(α β) ]ｓｉｎ(α- β…     

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）

第Ⅰ卷(选择题　共 5 0分 )参考公式 :三角函数的积化和差公式sinαcosβ =12 〔sin(α+ β) +sin(α- β)〕cosαsinβ=12 〔sin(α+ β) -sin(α- β)〕cosαcosβ=12 〔cos(α+ β) +cos(α - β)〕sinαsinβ=- 12 〔cos(α+ β) -cos(α- β)〕正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ +c)l其中c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长球体的体积公式V球 =43πR3其中R表示球的半径一 选择题 :本大题共 1 0小题 ,每小题 5分 ,共 5 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .( 1 )设集合A={x｜x2 - 1 >0 },…     

公式S2α,C2α的联用三部曲

二倍角公式ｓｉｎ2α =2ｓｉｎαｃｏｓα与ｃｏｓ2α =ｃｏｓ2 α-ｓｉｎ2 α ,虽然是两角和的正弦与余弦公式的特殊情况 ,但在其应用上具有高度的灵活性和交互性 .1　正向联用例 1　 ( 1998年上海高考试题 )设α是第二象限角 ,ｓｉｎα =35,求ｓｉｎ( 37π6 - 2α)的值 .解　由ｓｉｎα =35,且α是第二象限的角 ,得ｃｏｓα =- 45.∴ｓｉｎ2α =2ｓｉｎαｃｏｓα =- 2 42 5,ｃｏｓ2α =ｃｏｓ2 α -ｓｉｎ2 α =72 5.∴ｓｉｎ( 37π6 - 2α) =ｓｉｎ( π6 - 2α)=ｓｉｎ π6 ｃｏｓ2α -ｃｏｓ π6 ｓｉｎ2α=12 ·72 5- 32 ·( - 2 42 5…     

两角互余的几个等价条件

结论 1　已知α ,β为税角 ,ｋ≥ 0 ,则α +β=π2 的充要条件是ｓｉｎｋ + 2 αｃｏｓｋβ + ｓｉｎｋ + 2 βｃｏｓｋα =1 .证　必要性是显然的 ,充分性 :ｓｉｎｋ + 2 αｃｏｓｋβ + ｓｉｎｋ+ 2 βｃｏｓｋα =1 =ｃｏｓ2 β +ｓｉｎ2 β .ｓｉｎｋ + 2 α-ｃｏｓｋ + 2 βｃｏｓｋβ =ｓｉｎ2 β(ｃｏｓｋα -ｓｉｎｋβ)ｃｏｓｋα .假设α + β >π2 ,则α >π2 - β ,β >π2 -α ,∵α ,β ,π2 -α ,π2 - β∈ 0 ,π2 ,∴ｃｏｓα <ｃｏｓ π2 - β =ｓｉｎβ ,　ｃｏｓβ <ｃｏｓ π2 -α =ｓｉｎα ,从而ｓｉｎｋ + 2 α -ｃ…     

上期课外练习解答

高一年级1.设 ｆ(ｔ) =ｔ3 +2 0 0 3ｔ,易证 ｆ(ｔ)在Ｒ上是奇函数且递增函数 ,由题意可知 :ｆ(ｘ - 1) =- 1,　ｆ(ｙ - 1) =1.即　ｆ(ｘ - 1) =-ｆ( ｙ - 1) =ｆ( 1-ｙ) .∴　ｘ - 1=1-ｙ ,故ｘ +ｙ =2 .2 .由条件知 :ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 ,ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 中必有一个不大于 1,一个不小于 1.不妨设　 ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 ≤ 1,　 ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 ≥ 1.∵　α ,β∈ ( 0 ,π2 ) ,又ｙ=ｓｉｎｘ在 ( 0 ,π2 )上递增 .∴　ｓｉｎα≤ｃｏｓβ且ｓｉｎβ≥ｃｏｓα .∴　ｓｉｎα≤ｓｉｎ( π2 - β)且ｓｉｎβ≥ｓ…     

绍兴市1999年高考模拟考试数学试卷

以下数据、公式供解题时选用 :2 =1.4 14,3=1.732 ,ｓｉｎ4 5°=0 .70 71,ｓｉｎ75° =0 .96 59,ｃｏｓ75° =0 .2 588.ｓｉｎα ｓｉｎβ =2ｓｉｎα β2 ｃｏｓα - β2 ,ｃｏｓα ｃｏｓβ=2ｃｏｓα β2 ｃｏｓα - β2 ,ｓｉｎα -ｓｉｎβ=2ｃｏｓα β2 ｓｉｎα - β2 ,ｃｏｓα -ｃｏｓβ=- 2ｓｉｎα β2 ｓｉｎα - β2 .选择题 :本大题共 14小题 ;第 1— 10题每小题 4分 ,第 11— 14题每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1　已知集合Ｍ ={ｘ|ｘ≥ 33,ｘ∈Ｒ}及ａ =2 7,则下列各…     

2002年普通高等学校春季招生考试数学(理工农医类)试题及解答

参考公式三角函数的积化和差公式sinα cosβ =12 [sin(α β) sin(α -β) ]cosα sinβ =12 [sin(α β) - sin(α -β) ]cosα cosβ =12 [cos(α β) cos(α -β) ]sinα sinβ =- 12 [cos(α β) - cos(α -β) ]正棱台、圆台的侧面积公式S台侧 =12 (c′ c) l;其中 c′、c分别表示上、下底面周长 ,l表示斜高或母线长 .球体的体积公式V球 =43πR3 ,其中 R表示球的半径 .1.选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1)不等式组 x2 - 1<0x2 - 3x <0 的解集是 (　…     

三面角的棱面角的计算公式

定理　在三面角Ｓ—Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 中 ,三个面角∠Ｃ1 ＳＢ1 =α ,∠Ａ1 ＳＣ1 =β ,∠Ａ1 ＳＢ1 =γ ,且棱ＳＡ1 和平面Ｃ1 ＳＢ1 所成棱面角为θ1 ,棱ＳＢ1 和平面Ａ1 ＳＣ1 所成棱面角为θ2 ,棱ＳＣ1 和平面Ａ1 ＳＢ1 所成棱面角为θ3,则ｃｏｓθ1 =ｃｏｓ2 β ｃｏｓ2 γ- 2ｃｏｓαｃｏｓβｃｏｓγｓｉｎαｃｏｓθ2 =ｃｏｓ2 γ ｃｏｓ2 α- 2ｃｏｓαｃｏｓβｃｏｓγｓｉｎβｃｏｓθ3=ｃｏｓ2 α ｃｏｓ2 β- 2ｃｏｓαｃｏｓβｃｏｓγｓｉｎγ(三面角的棱面角余弦公式 )证明　如图 .在ＳＡ1 上取一点Ｐ ,作ＰＱ⊥平面Ｂ1 ＳＣ1 …