华沙圈上连续映射的某些动力性质

本文研究华沙圈上定义的连续映射的动力性质．指出对于定义在华沙圈上的连续自映射而言，有与线段自映射相应的Ｓａｒｋｏｖｓｋｉｉ定理，周期点集的闭包与回归点集的闭包相等，中心为周期点集的闭包，中心的深度不大于４，以及拓扑熵为零的充要条件是它的周期点的周期都是２的方幂．     

线段自映射的周期点集

<正> 现在已经知道,一个线段自映射有无非2方幂周期在动力性状上有重大不同.例如Misiurewicz曾宣布,线段自映射的拓扑熵为零的一个充要条件是它没有非2方幂周期.因此,刻划线段自映射有否非2方幂周期是一个重要问题.Block在[2]和[3]中先后引进异状点和单纯周期轨道的概念,成功地作了尝试.本文引进局部度量稳定性(locallymetric stability)的概念作同样的刻划.文中符号是传统的,不再赘述.     

周期点集为非空闭集的圆周自映射

<正> 对于周期点集为闭集的线段自映射周期点的周期以及周期点集和回复点集的关系问题引起了许多人的兴趣,并得到了满意的结果.相应地,对于圆周自映射我们已在文献[4]和[5]中证明了:定理 A 设 f 为圆周到自身的连续映射,如果 degf=0,则 f 的周期点集的闭包等     

一些连续统的孤立链回归点

对树或图上的连续自映射,本文证明了孤立链回归点是终周期点,如孤立边回归不在临界点的轨道中且它的轨道中也不含有临界点,则它还是周期点,我们还证明了上述性质可以扩张到一类特殊的λ－dendroid上。     

关于赋范空间上连续自映射的回归点

在赋范空间中讨论回归点的性质,主要得到了结果：（1）如果,是序列紧赋范空间X上的连续双射,x是f的任一回归点,则对于任意整数N〉0都存在f的回归点x0∈X使得f^n（x0）=x;（2）序列紧赋范空间上连续自映射的回归点集是f的强不变子集;（3）如果f是局部连通赋范空间X上的连续自映射,则f的每一个回归点或是类周期点或是类周期点的聚点．作为推论,在实直线段上得到了类似的结论．     

拓扑熵为零的混乱映射的充分条件

线段上的连续自映射,当周期点集为闭集时,其轨道十分简单,当然,动力系统不会是混乱的,因此,研究周期点集的聚点的极限性态与混乱的关系,无疑可以进一步揭示混乱现象产生的原因。文[6]证明了当回归点集非闭,f是混乱的。本文则给出了周期点集非闭时f为混乱的充分条件。这说明了只要周期点集非闭动力系统就可能是混乱的。     

每个点都是链回归点的树映射

设f是端点数为n的树T上的连续自映射且T上的每一点都是f的链回归点.本文证明了: (1)如果T的某个端点是f的不动点,那么,T上的每个点都是f的周期为r≤n-1的周期点,或存在自然数r ≤ n-1,使得fr含有湍流; (2)如果f的不动点都在T的内部,那么,T上的每个点都是f的周期为r≤n的周期点,或存在自然数r≤n,使得,fr含有湍流.     

圆周上有4周期轨的连续自映射的周期集

讨论了圆周上有4周期轨的连续自映射的周期集.首先按相对共轭以及相对同伦的关系对圆周上所有有4周期轨的连续自映射分类,再利用映射覆盖图来讨论每一类映射的周期集.最后按同伦最小周期集对圆周上所有有4周期轨的连续自映射进行了分类.将此结果与线段上的Sharkovskii定理对比时可以发现,几乎所有圆周上有4周期轨的连续自映射的周期集都是全体自然数集.     

圆周上有4周期轨的连续自映射的周期集

讨论了圆周上有4周期轨的连续自映射的周期集.首先按相对共轭以及相对同伦的关系对圆周上所有有4周期轨的连续自映射分类,再利用映射覆盖图来讨论每一类映射的周期集.最后按同伦最小周期集对圆周上所有有4周期轨的连续自映射进行了分类.将此结果与线段上的Sharkovskii定理对比时可以发现,儿乎所有圆周上有4周期轨的连续自映射的周期集都是全体自然数集.     

关于线段连续自映射的一个反例

本文利用tefan 技巧构造了一个满足以下条件的[0,1]上的连续自映射 f:f 没有异状点,回归点集为闭集但周期点集不是闭集.     

拓扑群作用下度量空间中链回归点集的研究

仿造度量空间中链回归点的定义,给出了拓扑群作用下度量空间中G-链回归点的概念,并将度量空间中链回归点的一些结论,推广到拓扑群作用下度量空间中,得到如下结果:1)同胚伪等价映射f的G-链回点集等于它的逆映射f~(-1)的G-链回归点集;2)伪等价映射f的G-链回点集和G-链等价集对G强不变;3)同胚等价映射f的G-链回点集f对强不变.4)等价映射f限制在它的G-链回归点集上形成的G-链回归点集就是等价映射f在度量G-空间X上形成的G-链回归点集.这些结果丰富了拓扑群作用下度量空间中G-链回归点的理论.     

周期相关时间序列与周期自回归模型

介绍了周期相关时间序列和周期自回归模型,并研究了周期自回归时间序列的稳定性及周期性,得到了它为周期相关时间序列的一个充要条件,推广了文献[1]的结论.     

区间映射的链回归点的可链点集

主要讨论区间映射的链回归点的可链点集与链等价集的关系,证明了:若区间映射的拓扑熵是零,则它的链回归点的可链点集与链等价集相等.此外还得到了区间映射有正拓扑熵的几个等价条件.     

关于线段连续自映射的一个反例

本文利用Stefan技巧构造了一个满足以下条件的[0,1]上的连续自映射f:f没有异状点,回归点集为闭集但周期点集不是闭集。     

关于一类具有n周期点映射的构造方法

Li-Yorkc 指出:区间连续自映射 f(x)若有一个3周期点,则对于任意 n,f(x)有 n 周期点.本文给出了具有 n 周期点一类映射的构造方法.     

圆周自映射的回归点和非游荡点

<正> 设S~1为圆周,并设f:S~1→S~1为连续映射.f的周期点集、回归点集和非游荡集分别记作P(f)、R(f)和Ω(f).f的拓扑熵记作ent(f).本文将证明: 定理 设f:S~1→S~1为连续映射.若P(f)≠φ,则 (1)P(f)=R(f).     

周期点集不空的圆周自映射

<正> 本文是[1]的续篇,继续讨论圆周自映射所产生的动力系统性质.圆周自映射按有无周期点可以分成两大类,也可以按拓扑度分成四种情形,即|deg|≥2,deg=0,deg=-1和 deg=1.其中前三种情形的映射都有不动点,属于周期点集不空的一类.第四种情形的映射较为复杂,它们可以有不动点,无不动点但有周期点,也可以无周期点.在文[1]中我们对|deg|≥2的映射讨论了周期集合,周期点集,非游荡集和拓扑熵之间的种种联     

无异状点的线段自映射(Ⅱ)——中心和深度

继[4]之后,本文进一步讨论无异状点的线段自映射的非游荡集结构,我们讨论线段自映射的中心和深度(定义见§1),并证明下述。 主要定理 设f∈C°(I,I),如果f无异状点,则f的中心等于(?),中心的深度等于1或者等于2。     

线段自映射非游荡集有限的一个充要条件

§1.前言 我们考虑线段到自身的连续映射.对于这样的映射所产生的动力系统性质,最近有若干作者进行过研究,比如[1—5]以及其它.这些研究受近年微分动力系统理论的影响,例如讨论非游荡集结构与周期点集之间的关系,拓扑熵的估计等. 记Ⅰ=[0,1].用C~o(Ⅰ,Ⅰ)表示Ⅰ到自身全部连续映射的集合,设f∈C~o(Ⅰ,Ⅰ).f的不动点集,周期点集和非游荡集分别用F(f),P(f)和Ω(f)表示(定义见§2).Block证明了下述结果,即     

乘积G-空间的G-极小性、G-混合性和G-链回归点

本文研究了拓扑群作用下乘积空间中G-极小性、G-混合性和G-链回归点的动力学问题.利用乘积映射与分映射之间的方法,获得如下结果:(1)乘积映射f×g是G-极小映射当且仅当f是G_1-极小映射,g是G_2-极小映射;(2)乘积映射f×g是G-混合映射当且仅当f是G_1-混合映射,g是G_2-混合映射;(3) CR_G(f×g)=CR_(G_1)(f)×CR_(G_2)(g).从而推广了乘积空间中极小性、混合性和链回归点的结果.