圆环的变身“魔术”

<正>某天,我突发奇想:求圆环的面积除了用大圆面积减小圆面积之外,还有没有其它方法?想着想着,我突然灵机一动:求面积时,是不是可以把圆环看成是一个等腰梯形,梯形上底是小圆的周长,下底为大圆的周长,高是小圆和大圆的半径差.实践是检验真理的唯一标准,我准备来验证下自己的想法.我先在草稿纸上画了一个圆环,大圆半径为2cm,小圆半径为1cm.一般情     

同轴旋转圆台间流场稳定性的数值研究

给出了两同轴旋转圆台间流动的稳定性分区.数值模拟的结果显示,在内外圆台的平均半径分别和内外圆柱的半径相同的情况下,圆台间的流动比圆柱间的流动更容易失稳.除此之外,通过对不同倾斜角进行数值模拟发现,倾斜角越小,圆台间的流动越容易失稳.     

巧用极限思想解决小圆在大圆内侧运动问题

<正>在许多数学课外读物或者相关试题中,常见有一类关于小圆在大圆内侧做无滑动滚动问题,例如:已知大圆半径是小圆半径的4倍,小圆在大圆内侧做无滑动滚动,问:小圆从起点再回到出发点自转了几圈?相关答案已有人给出,但严格的证明却鲜有人涉及.要解决这个问题,我们不妨先思考下列问题.     

绕圆台侧面一周最短路程计算的研究

1　问题的提出习题　已知圆台的母线长为 2 ,上、下底面半径分别为 1和 2 ,有一动点 P从下底面圆周上一点 A开始出发 ,绕圆台侧面一周再回到 A点 ,求动点 P经过的最短路程 .为了便于研究 ,把问题一般化 :“已知圆台的母线长为 l,上、下底面半径分别为 r′和r,有一动点 P从下底面圆周上一点 A开始出发 ,绕圆台侧面一周再回到 A点 ,求动点 P经过的最短路程 .”(如图 1 )2　解决方法这是求几何体表面两点间最短距离问题 ,考虑到圆台侧面可展开成平面图形 (一个扇环 ) ,因此 ,把空间问题化为平面问题来解决 ,只需求这个扇环上相应两点间的最…     

球内接、外切圆台的侧面积与体积最值探讨

我们知道,球内接圆柱、圆锥的侧面积与体积存在最大值,而球外切圆柱、圆锥的侧面积与体积存在最小值,那么,球内接、外切圆台的侧面积与体积是否存在最大或最小值呢?本文拟通过对角参数的适当选取,解决这一问题。问题1 设球的半径为R,求球内接圆台的侧面积与体积的最大值。解如图1,等腰梯形ABCD为球内接圆台的轴截面,EF过球心O且与BC垂直,设∠EOD=α,∠FOC=β,圆台的上、下底半径、高及母线长则分别为     

一道不规则图形面积问题的解法探究

<正>不规则图形的面积问题是初中数学中一类常见的题型,这种问题的常见解法是转化,即将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来解决,能很好地考查学生的分析问题和解决问题的能力,体现数形结合的思想,下面以一道题目为例,谈谈此类问题的解法.如图1,大圆的半径等于小圆的直径,且大圆的半径为4,则图中阴影部分的面积是____.方法一:割补法如图2,过大圆的圆心O     

也谈“想一想”问题

九年义务教育教材《几何》第三册有一道“想一想”的问题：有一个半径为１０ｃｍ的大圆，另一个半径为２ｃｍ的小圆分别内切和外切滚动大圆一周，为什么内切小圆转动４周而外切小圆转动是６周．有文说，有些教师来信说想不通，叫大家作实验去．笔者拙想，有什么想不通呢？...     

圆台侧面上最短距离问题的讨论

圆台的上下底面半径是 r′、r,AB是侧面母线 ,长为 l,求由 A点绕圆台侧面一周到 B点的最短距离 .现讨论如下 :如图 1,把圆台沿侧面母线剪开 ,得展开图扇环 ABB′A′,θ为圆心角 ,则θ =r - r′l .2π,由弧长公式得方程组　 (l SB)θ =2πr,SB .θ=2πr′,解得　 SB =lr′r - r     

平行于底面的平面截圆台所得性质及应用

平行于底面的平面截圆台所得性质及应用侯守一，刘文博（天津市津南区咸水沽一中３００３５０）性质设圆台的底面半径分别为ｒ１，ｒ３，平行于底面的截面半径为ｒ２，且ｒ１＜ｒ２＜ｒ３，截面将圆台分成上、下两部分，其高分别为ｈｔ，ｈ２：侧面面积分别为Ｓ１，Ｓ２；...     

过圆锥、圆台的母线的截面

在复习立体几何有关旋转体的截面问题时,我向学生提出这样一个问题:“过圆柱、圆锥、圆台的母线的所有截面中轴截面面积是否一定最大?”很多学生认为“轴截面面积一定最大。”有的学生甚至觉得这样一个问题不值得一提。其实不然,圆柱的轴截面面积最大是无可非议的,但圆锥、圆台就不一定如此。例如,高为1而底面半径为3~(1/2)的圆锥的轴截面面积是     

旋转面上一个最短距离问题

问题:圆台的上下底面半径为r′及r,母线长为l,下底圆周上有一点A,求出A点出发绕圆台侧面一周再回到A点的最短距离。这个问题与六年制高中《立体几何》第128页的第20题是同一类问题,但有所不同。一般地,     

智慧窗

哪个的半径增大多一些 ?地球的赤道半径为 63 78公里 ,月亮的直径是地球的四分之一 .若地球的赤道长和月亮的大圆周长各增大 1米 ,问哪个的半径增大得多一些 ,是地球还是月亮 ?智慧窗《哪个的半径增大多一些 ?》参考答案一样多智慧窗$甘肃天水市北道区街子中学!(741037)@刘永智     

弯头圓台的剪接与其計算的解析法

(一) 问题的提出在生产实际工作中有时会遇到将一张薄片材料卷接成圆台的问题,一个正圆台的剪接很简单,只要应用初等平面几何的知识,将圆台的侧面展开成扇形平面,进行剪裁焊接即可,但如果一个圆台是由一个正圆台和一个斜圆台连接成的,也就是圆台的中心轴在中途偏转一个角度而变成一个“弯头圆台”则其剪接起来就要求计算出最紧凑最节约材料的剪接方法。这里把个人研究的心得提出来和对这问题有兴趣的同志们商椎。 (二) 弯头圆台的构成一个正圆台,沿其与台底不平行的斜截面剖开,将其一部分绕中心轴旋转180°再将两部分沿斜截面接合,则得一弯头圆台。因为根据圆锥截线的性质不通过顶点而与圆锥一叶相截的平面,与这圆锥侧面的截线是一椭圆(图1),而根据椭圆的性质——对长轴或     

台体平行截面的一个性质

武汉市部分中学 2 0 0 1届高三年级 4月调考的最后一道选择题 (即第 ( 1 2 )题 )难住了不少学生 ,这道题是 :上下底面半径分别为 1 cm和 7cm的圆台被平行于底面的平面所截 ,若截得的上、下两个圆台的侧面积相等 ,则其体积之比为(　　 ) .　 ( A) 1∶ 1 ( B) 2∶ 1 ( C) 42∶ 93( D) 6 2∶ 1 0 9答案是选 ( D) .解决这道题的关键是求出截面圆的半径 .实际上 ,关于此截面圆的半径有一般的结论 ,这就是本文的定理 1 .这里要指出的是 ,我们应告诉学生 :虽然这个定理的结论很漂亮 ,但不一定要记住它 (以免增加记忆负担 ) ,而是要掌握推导此定理…     

圆台特征量的一组性质及其应用

在数学学习中 ,若经常总结一些问题 ,则对于灵活解题 ,促进学习水平提高都是有益的 ,同时也与现在中学数学素质教育要求的“要重视知识的形成过程和发展过程”相一致 .为此本文介绍圆台特征量的一组性质及其证明 ,并说明它们在解题中的应用 ,供同学们参考 .性质 1　圆台的母线与较大的底面所成的角为θ ,侧面展开图扇环的圆心角为 φ ,则 φ =2π·ｃｏｓθ .证　设圆台两底半径分别为ｒ和Ｒ (ｒ <Ｒ) ,母线为ｌ,则 φ =Ｒ -ｒｌ ·2π .由题设知 :ｃｏｓθ=Ｒ -ｒｌ ,代入上式得φ =2π·ｃｏｓθ .性质 2　圆台的母线与较大的底面成θ角 ,…     

参赛应用题选登

编者按:本刊公布举办“应用题设计竞赛”的通知之后,得到了读者的大力支持.从本期开始,本刊将对入选的应用题进行连载.为了公平、公正地做好评奖工作,欢迎读者对参赛题目进行评议,有独到见解的评议文章本刊将登载.欢迎读者继续踊跃参加应用题设计竞赛工作和评议工作.题1图　　题1　医院在给患者输液时,常将输液瓶竖直倒挂在输液架上,如右图,输液开始时(ｔ=0),瓶内药液为一个圆柱与一个圆台的组合体,圆柱的高为9ｃｍ,底面圆的直径为8ｃｍ,圆台的高为3ｃｍ,母线与底面成45°角.输液开始后滴管内匀速滴下球状药液,若球的半径Ｒ=310ｍｍ,要使瓶…     

多面体与旋转体(选择题五道)

1.四个命题:长方体是①直棱柱,②正棱柱,③四棱柱,④平行六面体.其中真命题的个数是 (A)1(B)2(C)3(D)4 2.正方体月C,的全面积为S,又L,M,N分别是它的三条棱AB、AD、AA,的三个内点,过这三点的平面截去正方体的一角之后的多面体的全面积设作S。,则 (A)S>S。(B)S相似文献   

公式2(S_0)1/2=S1/2 (S′)1/2的推广与应用

在高一《立体几何》中 ,关于台体 (棱台、圆台 )的中截面有这样的一个性质 :2Ｓ0 =Ｓ Ｓ′(《立体几何》Ｐ64 例 2及Ｐ80 习题十第 1 1题 ) .换句话说 ,台体 (棱台、圆台 )的上底面面积Ｓ′、中截面面积Ｓ0 、下底面面积Ｓ的算术平方根Ｓ′、Ｓ0 、Ｓ组成了一个等差数列 ,公差ｄ =12 Ｓ -Ｓ′ .是不是只有中截面与上、下底面的面积具有这种性质 ?其它截面与上、下底面的面积是否具有类似的性质 ?我们不仿看一下 .设台体 (棱台、圆台 )的上、下底面面积分别是Ｓ′、Ｓ ,台体 (棱台、圆台 )的高为ｎｈ ,设Ｓ1 、Ｓ2 …Ｓｎ- 1 分别是过台体 (…     

初三几何第二学期自测题

注 :本组题可作为复习几何第三册内容后的综合测练用 ,测练时间建议用 1 0 0分钟 .　　一、填空题 (每小题 2分 ,共 2 4分 )1 .已知sinα=25 (∠α是锐角 ) ,则cosα =,tanα = ,cotα =.2 .两个以点O为圆心的同心圆中 ,大圆的弦AB与小圆相切 ,如果AB的长为 1 2 ,大圆的半径为 1 0 ,那么小圆的半径为 .3 .在离旗杆 1 5米的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α ,如果测角仪高为 1 .4米 ,那么 ,旗杆的高为米 (用含α的三角比表示 ) .4.在⊙O中 ,弦AB所对的圆心角为 60°,⊙O的半径为 3cm ,则AB的长为 ,AB的弦心距为.5 .一个正六边形的边长…     

浅谈旋转体中一类截面面积最值的统一性

经过两条母线的截面是圆柱、圆锥、圆台中的一类重要截面 ,其面积的最值问题是这类截面的一个研究重点 .从目前的一些资料和刊物发表的文章来看 ,仅有圆柱、圆锥方面的结论 (见下文中的结论 1、结论 2 ) ,而缺少最重要的圆台方面的结论 .作为补充和完善 ,本文将给出圆台中过两条母线的截面面积最值的一般性结论 ,并进一步阐释圆柱、圆锥、圆台三者之间的和谐统一关系 ,供读者教学或研究时参与 .结论 1　设圆柱的底面半径为ｒ,母线长为ｌ,则过两条母线的截面面积的最大值为 2ｒｌ.证明略 .结论 2　设圆锥的母线长为ｌ,轴截面顶角为 ,则过两…