再谈广义奇(偶)函数及其周期性

文［1］对奇（偶）函数的概念作了推广，并对其性质和周期性问题进行了探讨．笔者读后，获益匪浅．现试图将原文论及的问题再作推广．一几个概念定义至对于函数f（x），若存在常数a、b、m、n（m＞0，n＞0），对于其定义域内的任意x：（1）当都有f（a＋mx）=f（b－nx）成立时，则称函数f（x）为广义偶函数．特别地，如果a=b=0，m=n，则f（x）就是偶函数．（2）当都有f（a＋mx）=－f（b－nx）成立时，则称函数f（x）为广义奇函数．特别地，如果a=b=0，m=n，则f（x）就是奇函数．定义2对于一个图形的两部分，从第一部分上的各点作定直线l的垂线…     

妙用＂0·x=0＂解题

我们知道：不论z取何实数时,都有0·x=0恒成立,所以要使ax=b（x为变量,a,b为常数）对于任意实数x恒成立,必须有a=0,且b=0．在一些定值、定点、轨迹和求值等问题中,如果恰当地运用这一结论,会给解题带来意想不到的“惊喜”．下面结合实例来谈谈“0·x=0”在解题中的应用．     

利用等轴双曲线的一个变换简解一道高考题

我们知道，反比例函数y=k/x（k≠0）的图象是双曲线，由它的两条渐近线x轴、y轴互相垂直可知．方程xy=k（k≠0）表示的曲线是等轴双曲线．     

利用曲线系求过二次曲线上一点的切线方程

现行高中课本《平面解析几何》P110复习参考题（以下简称参考题）二第7题：如果两条曲线的方程是f1（x,y）=0和f2（x,y）=0,它们的交点是P（x0,y0）．证明：方程的曲线也经过点P（λ是任意实数）本文通过对"参考题"的改进,介绍求过二次曲线上一点的切线方程的一种新方法--曲线系法．1"参考题"的改进定理如果两条曲线C0：f（x,y）=0和C∞：g（x,y）=0有且只有n（nεN）个公共点,那么对于任意λR,曲线系C：f（x,y）＋M（X,y）一O中的任何两条曲线十、勺（人大人）也有且只有这几个公共点,并且曲线Cλ不同于C∞.事实上,利用…     

用变换研究曲线间的位置关系

如果令u=mx，v=nx，则这个线性变换将x-O-y平面上的点P（x，y）变为u-O-v平面上的点Q（u，v），将x-O-y平面上的曲线P（x，y）=0变为u-O-v平面上的曲线Q（u，v）=0．这样的线性变换具有如下性质．     

一类二阶隐式微分方程的可解性

本文关注如下的二阶隐式微分方程f（t，u（t），u″（t））=0，a．e．t∈（O，1），边值条件为u（0）=u（1）=0．利用上下解方法和迭代技巧研究了该问题的可解性并得到了一些解的存在性结果．     

具有转向点的一类奇摄动边值问题解的多重边界层现象

本文讨论如下边值问题：x=0是转向点（c（0）=0），而在x=－1处出现多重边界层现象．对不同层次采用不同的伸长变量，构造具有不同量级的边界层校正项，得到关于解的一致有效的渐近展开式和有关的余项估计．     

2007年全国高中数学联合竞赛一试第14题解法集锦

2007年高中数学联赛一试第14题是这样的一道解析几何问题：已知过点（0，1）的直线l与曲线C：y=x＋1/x（x〉0）交于两个不同点M和N，求曲线C在点M和N处的切线的交点轨迹．     

如何对曲线方程中变量的取值范围进行说明

高二的同学在求曲线（或点的轨迹）方程时，往往对于什么时候要对方程中变量的取值范围进行说明以及如何说明感到棘手．本文对这个问题谈点看法，供大家参考．1在什么时住必须说用？我们知道，如果：1．曲线C上任意点M的坐标（X。，y。）都是方程f（x，y）一0的解；2．以方程／（l，y）＝0的任意解（11，川）为坐标的点M（11，yi）都在曲线C上．那么八x，y）一0就是曲线C的方程．但有时我们求出的方程虽然满足条件1，却不满足条件2．它存在这样的解（X”，y”），以（．T”，y“）为坐标的点并不在曲线C上．这时就必须对方程中变量的取…     

构造二次函数巧用判别式解一类题

判别式△=b^2-4ac是二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c（a≠0）的一个重要的特征数字，其一条性质：若f（x）=ax^2＋bx＋c且a〉0,则f（x）≥0对x∈R恒成立 △≤0,为我们利用二次函数解决一些数学问题提供了突破IZl．本文将利用这一性质，构造适当二次函数，灵活解决一类问题．     

学生为什么不善于利用几何意义解题——从一道二次函数题的学生解答受阻谈起

我在一次高三数学复习测试中选用了这样一道题：“设函数f（x）=x^2＋x＋a（a∈R”）满足f（n）〈0，判断f（n＋1）的符号，”结果大多数学生没有做出来，甚至有许多学生在听了老师讲解后还是不得其解，事后，我反复思考，这是一道中等难度的题目，为什么会出现这种情况呢？经仔细了解发现：学生不善于从几何角度考虑问题，不善于利用几何意义解题．以下是大多数学生解题时受阻的情形：     

用对称作差法处理弦的中点问题

记f（x，y）=Ax^2＋Bxy＋Cy^2＋Dx＋Ey＋F． 设点P（m,n）是圆锥曲线C：f（x，y）=0的一条弦AB的中点，C′是C关于点P对称的曲线（如图1），则曲线C上点A（B）关于点P（m，n）的对称点，B（A）在曲线C′上，故A，B是两曲线C，C′的交点。     

整系数一元三次方程虚根存在的条件

对于整系数一元三次方程f（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d=0（a≠0），由代数基本定理知道，它至少有一个实数根；若有虚根，则它总是成对出现的（即两虚根一定互为共轭复数）．尽管有三次方程的求根公式（即著名的卡丹公式），但使用起来还是比较麻烦的．该方程何时有虚根，仍不易判断．     

函数性质中的一对姊妹花——对称性和周期性

我们知道，奇、偶函数具有如下重要性质：“函数f（x）的图象关于原点（0，0）对称”的充要条件是“对于f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（x）＋f（-x）=0成立”；“函数f（x）的图象关于直线x=0（即y轴）对称”的充要条件是“对于f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（x）-f（-x）=0成立”．函数的奇偶性是函数对称性的最基本、最特殊的体现，现将其推广．     

点圆解题一“点”通

在平面直角坐标系中，以（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程是（x—a）^2＋（y-b）^2=r^2．若r=0，则上述标准方程变为（x-a）^2＋（y-b）^2=0．此式表示的图形是平面直角坐标系中一个孤立的点C（a，b），常称该图形为“点圆”．应用点圆可简洁、巧妙地解决与直线和圆有关的问题．     

两个对称轴问题的辩析与推广

两个对称轴问题的辩析与推广６４４１００四川南溪一中黄以民常见一些资料上出现以下两个问题：１．设ｆ（ｘ）满足ｆ（ａ—ｘ）＝ｆ（ａ＋ｘ），求曲线ｆ（ｘ）的对称轴方程．２．求曲线ｆ（ａ—ｘ）与ｆ（ａ＋ｘ）的对称轴方程．不少同学不知道怎样解答这两个问题，还有...     

带有不等式约束的生长曲线模型中回归系数线性估计的泛容许性

对于带有不等式约束的生长曲线模型：Y=XBZ＋ε，ε^→～（0，σ^2V×I），tr（NB）≥0，本文在矩阵损失函数（d—KBL）（d—KBL）＇下，给出了可估函数KBL的线性估计的泛（西）容许性定义，分别得到了DYF和DYF＋C在齐次估计类LH和非齐次估计类LI中是KBL的泛容许性估计的充要条件．     

一道高考试题的商榷

2005年福建省高考数学理科第12题：f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（ ）（A）2．（B）3．（C）4．（D）5．这是一道考查函数的奇偶性、周期性的综合题．眼下网上的一些试题和市面上许多复习资料都选用此题，给出的答案都和标准答案一致，选（D）．     

一类非线性方程分歧点的存在性

讨论多参数非线性方程F（λ，x）=0的分歧问题，给出了（λ0，0）是F（λ，x）=0的分歧点的一个充分条件．     

无界区域上基于自然边界归化的双调和方程的一种重叠型区域分解法

1．引言双调和方程边值问题的一个力学背景是薄板弯曲问题．对于有界区域上的双调和方程，可以直接利用协调元和非协调元求解18，10］．我们考虑双调和方程Dirichlet外边值问题其中0是充分光滑闭曲线ro之外的无界区域，naro关于0的单位外法向量．引理1．且卜］．若。0EH’／‘（几），gEH‘／‘（fo），则问题（1．1）在W0z（fi）中有唯一解·这里由迹定理，可找到一个具有紧支集的函数识。。，g）E护（炉）满足可。0；g）【F。＝。0和则问题（1．1）等价于如下齐次边值问题其中f—一面‘B有紧支集．边值问题（工．2）又可转化为变分问…