二维时间分数阶扩散方程的Hermite型矩形元的超收敛分析

基于经典的L1逼近,针对二维时间分数阶扩散方程给出Hermite型矩形元的全离散格式.首先,证明其逼近格式的无条件稳定性.其次,基于Hermite型矩形元的积分恒等式结果,建立插值与Ritz投影之间在H1模意义下的超收敛估计.进而,通过利用插值与投影的关系及巧妙地处理分数阶导数,得到单独利用插值或Ritz投影所无法得到的超逼近及超收敛结果.最后,借助于插值后处理技术导出了整体超收敛结果.     

非线性Sine-Gordon方程Hermite型有限元新的超收敛分析及外推

在半离散格式下讨论了一类非线性Sine-Gordon方程的Hermite型矩形元逼近.利用该元的高精度分析和对时间t的导数转移技巧,得到了H1模意义下O(h2)阶的最优误差估计和O(h3)阶的超逼近性.进一步地,通过运用插值后处理方法,给出了超收敛结果.与此同时,借助于构造一个新的外推格式,导出了与线性情形相同的O(h4)阶外推解.     

时间分数阶扩散方程线性三角形元的高精度分析

该文基于线性三角形元和改进的L1格式,对具有α阶Caputo导数的时间分数阶扩散方程建立了一个全离散逼近格式.首先,证明了该格式的无条件稳定性.其次,利用该单元及Ritz投影算子的性质,导出了关于投影算子具有O(h~2+τ~(2-α))阶的超逼近性质.再结合插值算子和投影算子的关系,进一步导出了关于插值算子具有O(h~2+τ~(2-α))阶的超逼近性质.然后,借助插值后处理技术得到了整体超收敛估计.最后,利用数值算例验证了理论分析的正确性.     

多项时间分数阶扩散方程各向异性线性三角元的高精度分析

在各向异性网格下,针对具有Caputo导数的二维多项时间分数阶扩散方程,给出了线性三角形元的高精度分析.首先,基于线性三角形元和改进的L1格式,建立了一个全离散逼近格式,并证明了其无条件稳定性;其次,利用有限元插值算子与Riesz投影算子之间的关系及相关的高精度结果,导出了超逼近性质.进而,借助于插值后处理技术得到了超收敛估计.值得指出的是,单独利用插值算子或Riesz投影都无法得到上述超逼近和超收敛结果.最后,利用数值算例验证了理论分析的正确性.此外,对一些常见的有限单元在该方程的数值逼近方面,作了进一步探讨.     

电报方程的类Wilson非协调有限元分析

本文在矩形网格上讨论了半离散和全离散格式下电报方程的类Wilson非协调有限元逼近.利用该元在H1模意义下O(h2)阶的相容误差结果,平均值理论和关于时间t的导数转移技巧得到了超逼近性.进而,借助于插值后处理方法导出了超收敛结果.又由于该元在H1模意义下的相容误差可以达到O(h3)阶,构造了新的外推格式,给出了比传统误差估计高两阶的外推估计.最后,对于给出的全离散逼近格式得到了最优误差估计.     

一类非线性双曲积分微分方程的类Carey元超收敛和外推

利用非协调三角形类Carey元对一类非线性双曲积分微分方程进行了超收敛分析和外推.基于单元的特殊性质,线性三角形元的高精度分析结果,平均值和导数转移技巧,以及插值后处理技术,得到了半离散格式能量模意义下具有O(h~2)阶的超逼近性质和整体超收敛结果.同时,通过构造一个合适的辅助问题,运用Richordson外推格式,导出了具有O(h~4)阶的外推结果.     

带有阻尼项的非线性抛物积分微分方程的非协调混合有限元方法

研究带有阻尼项的非线性抛物积分微分方程的非协调混合有限元(EQ_1~(rot)+Q_(10)×Q_(01))方法,直接利用单元插值的性质,运用高精度分析和导数转移技巧,导出了半离散格式的超逼近性质,同时利用插值后处理技术,导出了相应的O(h~2)阶整体超收敛结果,并通过构造一个合适的外推格式得到了O(h~3)阶的外推解.     

分数阶Caputo导数的三点逼近格式（英文）

推导了分数阶积分的梯形逼近格式以及Caputo导数的L1逼近格式的四阶展开公式.并利用L1格式的展开式得到了Caputo导数的具有3-α阶精度的三点逼近格式,该逼近格式被应用于数值求解分数阶松弛方程和时间分数阶次扩散方程.     

时间分数阶扩散方程双线性元的高精度分析

针对具有Caputo导数的二维时间分数阶扩散方程进行高精度有限元分析.首先,基于双线性元和L1逼近建立了一个全离散格式,并证明其在H~1模意义下的无条件稳定性;其次,借助Riesz投影和分数阶导数的技巧得到了L~2模意义下的最优误差估计,结合该元插值算子与Riesz投影算子之间的高精度结果和插值后处理技术,导出了H~1意义下的超逼近性质和超收敛结果.该结果是单独利用双线性插值算子和Riesz投影算子均无法得到的.最后,利用数值算例验证了理论分析的正确性.     

一类四阶抛物方程一个低阶非协调混合元方法的超收敛分析

对一类四阶抛物方程利用EQ_1~(rot)元和零阶Raviart-Thomas元提出一个低阶非协调混合元逼近格式.首先证明半离散格式逼近解的存在唯一性.其次,基于上述两个单元的高精度分析,利用对时间变量的导数转移技巧并借助插值后处理技术,在半离散格式下得到了原始变量u,中间变量v=—△u的H~1-模意义下以及流量=—▽u的L~2-模意义下O(h~2)阶的超逼近性质和超收敛结果.最后,证明向后Euler全离散格式逼近解的存在唯一性,并通过采用一个新的分裂技巧,导出u和v在H~1-模意义下以及在L~2-模意义下关于h的无条件的O(h~2+τ)阶的超逼近性质和超收敛结果.这里,h及τ分别表示空间剖分参数和时间步长.     

非线性四阶双曲方程低阶混合元方法的超收敛分析

对一类非线性四阶双曲方程利用双线性元Q_(11)及Q_(01)×Q_(10)元给出了一个低阶混合元格式.基于上述两个单元的高精度结果,采用插值和投影相结合的方法,利用对时间t的导数转移技巧,借助插值后处理技术,在半离散格式下导出了原始变量u和中间变量u=-△u在H~1模意义下及流量p=-▽u在(L~2)~2模意义下具有O(h~2)阶的超逼近和超收敛结果.与此同时,在全离散格式下,证明了u和v在H~1模意义下及p在(L~2)~2模意义下单独利用插值或投影所无法得到的具有O(h~2+(△t)~2)阶的超逼近和超收敛结果.     

非线性sine-Gordon方程的双线性元分析及外推

研究双线性元对一类非线性sine-Gordon方程的有限元逼近.利用该元的高精度结果和对时间t的导数转移技巧,得到了H~1模意义下的超逼近性.进一步地,通过运用插值后处理技术,给出了H~1模意义下的超收敛结果.与此同时,通过构造一个新的外推格式,导出了与线性问题情形相同的三阶外推解.最后给出了一种全离散逼近格式下的最优误差估计.     

分布阶波方程全离散有限元方法的高精度分析新途径

本文研究了时间分布阶波方程的全离散有限元数值逼近及其高精度误差分析的新途径.首先,基于L1公式离散Caputo时间分数阶导数,构造了时间分布阶波方程的有限元全离散格式,证明了格式的无条件稳定性.然后,利用双线性元的Ritz投影算子R_h和插值算子I_h之间的高精度误差估计,再借助于插值后处理技术得到了在全离散格式下单独利用插值或投影所无法得到的超逼近和超收敛结果.进一步地,将该方法应用于变系数分布阶波方程,也证明了格式的无条件稳定性和超收敛性.最后,对一些常见的单元作了进一步探讨.     

非线性粘弹性方程的EQrot1非协调有限元分析

针对非线性粘弹性方程,在半离散和全离散格式下给出EQrot1非协调有限元逼近.由于该单元的相容误差(O(h2)阶)比插值误差(O(h)阶)高一阶,可得到在H1模意义下的O(h2)阶超逼近结果,并利用插值后处理技术导出整体超收敛.进而,基于该单元的渐近展开式,构造新的插值后处理算子和外推格式,给出O(h4)阶的外推结果.最后,运用与以往文献不同的方法得到全离散逼近格式的最优误差估计.     

四阶强阻尼波动方程新混合元模式的高精度分析

本文针对四阶强阻尼波动方程研究一种新混合元逼近格式.基于双线性元Q11及其梯度空间Q01×Q10的高精度分析,并借助于插值后处理技术,在半离散和全离散格式下,分别导出原始变量u在H1模和中间变量p珝在L2模意义下相应的超逼近性质及超收敛结果.     

一类变系数四阶抛物方程一个低阶非协调混合元方法的超收敛分析

对一类变系数四阶抛物方程利用EQ_1~(rot)及Q_(10)×Q_(01)元给出一个新的扩展的低阶非协调混合元格式.首先,证明逼近解的存在唯一性.其次,基于上述两个单元的高精度结果,利用对时间t的导数转移技巧,在半离散格式下,导出了原始变量u和扩散项v=-?·(a(t)?u)在H~1模及流量=-a(t)?u在L~2模意义下均具有O(h~2)阶的超逼近性质.进一步地,借助插值后处理技术,得到整体超收敛性.最后,通过构造一个适当的辅助问题,得到具有O(h~3)阶的外推解.     

非线性抛物积分微分方程的类Wilson非协调元分析

在半离散和全离散格式下讨论非线性抛物积分微分方程的类Wilson非协调有限元逼近.当问题的精确解u∈H3(Ω)/H4(Ω)时,利用该元的相容误差在能量模意义下可以达到O(h2)/O(h3)比其插值误差高一阶和二阶的特殊性质,再结合协调部分的高精度分析及插值后处理技术,并借助于双线性插值代替传统有限元分析中不可缺少的Ritz-Volterra投影导出了半离散格式下的O(h2)阶超逼近和超收敛结果.同时分别得到了向后Euler全离散格式下的超逼近性和Crank-Nicolson全离散格式下的最优误差估计.     

非线性Sine-Gordon方程的一个新非协调混合元格式

针对非线性sine-Gordon方程利用EQrot1和零阶Raviart-Thomas元建立一个自然满足Brezzi-Babuka条件的新非协调混合元逼近格式.基于EQrot1非协调元的两个特殊性质:(i)当精确解属于H3(Ω)时,其相容误差为O(h2)阶,比它的插值误差O(h)高一阶;(ii)插值算子与Riesz投影算子等价,再结合零阶Raviart-Thomas元的高精度分析结果和插值后处理技术,针对半离散逼近格式导出原始变量u和流量p分别在H1模和L2模意义下的超逼近性及超收敛结果.同时,对于提出的一个具有二阶精度全离散逼近格式,得到相应的最优误差估计.     

非线性粘弹性方程的EQ1rot非协调有限元分析

针对非线性粘弹性方程,在半离散和全离散格式下给出EQ1rot非协调有限元逼近.由于该单元的相容误差 (O(h2)阶)比插值误差 (O(h)阶)高一阶,可得到在H1模意义下的O(h2)阶超逼近结果,并利用插值后处理技术导出整体超收敛.进而,基于该单元的渐近展开式,构造新的插值后处理算子和外推格式,给出O(h4)阶的外推结果.最后,运用与以往文献不同的方法得到全离散逼近格式的最优误差估计.     

二阶双曲方程一个新的非协调混合元超收敛性分析

研究了一类二阶双曲型方程在新混合元格式下的非协调混合有限元方法.在抛弃传统有限元分析的必要工具-Ritz投影算子的前提下,直接利用单元的插值性质,运用高精度分析和对时间t的导数转移技巧,借助于插值后处理技术,分别导出了关于原始变量u的H~1-模和通量=-▽u在L~2-模下的O(h~2)阶超逼近性质和整体超收敛结果.进一步,给出了一些数值算例验证了理论分析的正确性.