多项时间分数阶扩散方程各向异性线性三角元的高精度分析

在各向异性网格下,针对具有Caputo导数的二维多项时间分数阶扩散方程,给出了线性三角形元的高精度分析.首先,基于线性三角形元和改进的L1格式,建立了一个全离散逼近格式,并证明了其无条件稳定性;其次,利用有限元插值算子与Riesz投影算子之间的关系及相关的高精度结果,导出了超逼近性质.进而,借助于插值后处理技术得到了超收敛估计.值得指出的是,单独利用插值算子或Riesz投影都无法得到上述超逼近和超收敛结果.最后,利用数值算例验证了理论分析的正确性.此外,对一些常见的有限单元在该方程的数值逼近方面,作了进一步探讨.     

非线性四阶双曲方程低阶混合元方法的超收敛分析

对一类非线性四阶双曲方程利用双线性元Q_(11)及Q_(01)×Q_(10)元给出了一个低阶混合元格式.基于上述两个单元的高精度结果,采用插值和投影相结合的方法,利用对时间t的导数转移技巧,借助插值后处理技术,在半离散格式下导出了原始变量u和中间变量u=-△u在H~1模意义下及流量p=-▽u在(L~2)~2模意义下具有O(h~2)阶的超逼近和超收敛结果.与此同时,在全离散格式下,证明了u和v在H~1模意义下及p在(L~2)~2模意义下单独利用插值或投影所无法得到的具有O(h~2+(△t)~2)阶的超逼近和超收敛结果.     

分布阶波方程全离散有限元方法的高精度分析新途径

本文研究了时间分布阶波方程的全离散有限元数值逼近及其高精度误差分析的新途径.首先,基于L1公式离散Caputo时间分数阶导数,构造了时间分布阶波方程的有限元全离散格式,证明了格式的无条件稳定性.然后,利用双线性元的Ritz投影算子R_h和插值算子I_h之间的高精度误差估计,再借助于插值后处理技术得到了在全离散格式下单独利用插值或投影所无法得到的超逼近和超收敛结果.进一步地,将该方法应用于变系数分布阶波方程,也证明了格式的无条件稳定性和超收敛性.最后,对一些常见的单元作了进一步探讨.     

非线性sine-Gordon方程的双线性元分析及外推

研究双线性元对一类非线性sine-Gordon方程的有限元逼近.利用该元的高精度结果和对时间t的导数转移技巧,得到了H~1模意义下的超逼近性.进一步地,通过运用插值后处理技术,给出了H~1模意义下的超收敛结果.与此同时,通过构造一个新的外推格式,导出了与线性问题情形相同的三阶外推解.最后给出了一种全离散逼近格式下的最优误差估计.     

一类非线性四阶双曲方程一个低阶混合元方法的超收敛分析

对一类非线性四阶双曲方程利用双线性元Q_(11)给出一个低阶混合元逼近格式.利用双线性元的高精度结果,关于时间t的导数转移技巧,插值与投影相结合的思想及分裂技术,在半离散格和全离散式下,分别导出原始变量u和中间变量v=-?u在H~1模意义下具有O(h~2)/O(h~2+τ~2)阶的超逼近性质.与此同时,借助插值后处理技术,证明在H1模意义下具有O(h~2)/O(h~2+τ~2)阶的整体超收敛结果.这里,h和τ分别表示空间剖分参数和时间剖分参数.     

非线性Schrdinger方程新混合元方法的高精度分析

基于双线性元及其梯度所属空间,建立了非线性Schrdinger方程的自由度少且易满足B-B条件的新混合元格式.首先,利用双线性元的高精度分析和导数转移技巧,在半离散格式下,导出了原始变量在H~1模及流量在L~2模意义下的超逼近性质,进而,借助于插值后处理算子,得到了整体超收敛结果.最后,对向后:Euler和Crank-Nicolson-Galerkin全离散格式分别给出了原始变量的H~1模及L~2模和流量的L~2模误差分析,并通过数值算例,表明逼近格式是高效的.     

一类非线性四阶双曲方程扩展的混合元方法的超收敛分析

对一类非线性四阶双曲方程利用双线性元Q_(1)及Nedelec's元建立一个扩展的协调混合元逼近格式.首先证明了逼近解的存在唯一性.其次,基于上述两个单元的高精度结果,给出了插值和投影之间的误差估计,再利用对时间t的导数转移技巧和插值后处理技术,在半离散和全离散格式下分别导出了原始变量u和中间变量v=-△u在H~1模及中间变量q=▽u,σ=-▽(△u)在(L~2)~2模意义下单独利用插值和投影所无法得到的具有O(h~2)和O(h~2+τ~2)阶的超收敛结果.最后通过数值算例,表明逼近格式是行之有效的.这里,h和τ分别表示空间剖分参数及时间步长.     

二维时间分数阶扩散方程的Hermite型矩形元的超收敛分析

基于经典的L1逼近,针对二维时间分数阶扩散方程给出Hermite型矩形元的全离散格式.首先,证明其逼近格式的无条件稳定性.其次,基于Hermite型矩形元的积分恒等式结果,建立插值与Ritz投影之间在H1模意义下的超收敛估计.进而,通过利用插值与投影的关系及巧妙地处理分数阶导数,得到单独利用插值或Ritz投影所无法得到的超逼近及超收敛结果.最后,借助于插值后处理技术导出了整体超收敛结果.     

非线性Sine-Gordon方程的一个新非协调混合元格式

针对非线性sine-Gordon方程利用EQrot1和零阶Raviart-Thomas元建立一个自然满足Brezzi-Babuka条件的新非协调混合元逼近格式.基于EQrot1非协调元的两个特殊性质:(i)当精确解属于H3(Ω)时,其相容误差为O(h2)阶,比它的插值误差O(h)高一阶;(ii)插值算子与Riesz投影算子等价,再结合零阶Raviart-Thomas元的高精度分析结果和插值后处理技术,针对半离散逼近格式导出原始变量u和流量p分别在H1模和L2模意义下的超逼近性及超收敛结果.同时,对于提出的一个具有二阶精度全离散逼近格式,得到相应的最优误差估计.     

非线性双相滞热传导方程的新混合元超收敛分析

针对非线性双相滞热传导方程,建立了一种自由度少且自然满足B-B条件的新混合元逼近格式.在半离散格式下,基于双线性元的高精度结果,分别导出了原始变量的H~1模及中间变量的L~2模的超逼近性质,进而,借助于插值后处理算子,得到了原始及中间变量比传统误差高一阶的整体超收敛结果.     

拟线性双曲方程类Wilson非协调元的高精度分析

主要研究类Wilson元对拟线性双曲方程的逼近.首先证明了当问题的解u∈H~3(Ω)或u∈H~4(Ω)时,u与其双线性插值之差的梯度与类Wilson元空间任意元素的梯度,在分片意义下的内积可以达到O(h~2)这一重要结论.其次运用能量模意义下该元的非协调误差可以分别达到O(h~2)/O(h~3),即比插值误差高一阶/二阶这一性质,并利用对时间t的导数转移技巧,结合双线性元的高精度结果及插值后处理技术,获得了O(h~2)阶的超逼近性和整体超收敛性,从而进一步拓广了该元的应用范围.     

广义神经传播方程的低阶H~1-Galerkin混合元方法

讨论了广义神经传播方程的低阶H~1-Galerkin混合元方法.其逼近空间不需要满足LBB条件,并且在不需要采用Ritz投影的情况下,通过插值算子,平均值技巧和高精度分析结果得到了超逼近性质,进而通过插值后处理技术导出了H~1-模的整体超收敛结果.     

非对称不定问题双线性元的超收敛和外推

本文主要讨论非对称不定问题的双线性有限元逼近.在不需要引入Ritz投影的前提下直接利用单元上的插值并借助于该元已有的高精度分析和平均值技巧,得到在H1模意义下O(h2 )阶的超逼近和整体超收敛结果.同时给出两个新的误差渐近展开式,导出比传统有限元误差高两阶的O(h3)阶的外推解.     

非线性粘弹性波动方程的非协调混合元超收敛分析和外推

研究了非线性粘弹性波动方程在新混合元格式下非协调混合有限元方法.利用插值理论、高精度分析、平均值理论和对时间t的导数转移的技巧,借助于EQ_1~(rot)元所具有的两个性质:(a)其相容误差为O(h~2)阶比它的插值误差高一阶;(b)插值算子与Ritz投影等价,以及插值后处理技术,分别导出了原始变量u的H~1模和中间变量p的L~2模下O(h~2)阶超逼近性质和整体超收敛.进一步,通过构造适当的辅助问题,运用Richordson外推格式,得到了更高精度O(h~3)阶外推结果.     

时间分数阶扩散方程线性三角形元的高精度分析

该文基于线性三角形元和改进的L1格式,对具有α阶Caputo导数的时间分数阶扩散方程建立了一个全离散逼近格式.首先,证明了该格式的无条件稳定性.其次,利用该单元及Ritz投影算子的性质,导出了关于投影算子具有O(h~2+τ~(2-α))阶的超逼近性质.再结合插值算子和投影算子的关系,进一步导出了关于插值算子具有O(h~2+τ~(2-α))阶的超逼近性质.然后,借助插值后处理技术得到了整体超收敛估计.最后,利用数值算例验证了理论分析的正确性.     

抛物型积分微分方程新混合元格式的超逼近分析

基于双二次元及其梯度空间,建立了抛物型积分微分方程的一种新混合有限元逼近格式.在不需要Ritz-Volterra投影的前提下,直接利用双二次元插值的高精度结果及关于时间变量的导数转移技巧,在半离散格式下,得到了原始变量u和中间变量p=▽u+integral from n=0 to t▽u(s)ds分别关于H~1模和L~2模的O(h~4)阶超逼近结果,相比插值误差估计,提高了二阶精度.与此同时,对向后Euler格式,导出了u和p分别在H~1模与L~2模意义下的O(h~4+τ)阶超逼近;对Crank-Nicolson-Galerkin格式,在L~2模意义下证明了u和p分别具有O(h~4+τ~2)和O(h~3+τ~2)阶的超逼近性质.其中,h,τ分别表示空间剖分参数和时间步长,t代表时间变量.     

一类四阶抛物方程一个低阶非协调混合元方法的超收敛分析

对一类四阶抛物方程利用EQ_1~(rot)元和零阶Raviart-Thomas元提出一个低阶非协调混合元逼近格式.首先证明半离散格式逼近解的存在唯一性.其次,基于上述两个单元的高精度分析,利用对时间变量的导数转移技巧并借助插值后处理技术,在半离散格式下得到了原始变量u,中间变量v=—△u的H~1-模意义下以及流量=—▽u的L~2-模意义下O(h~2)阶的超逼近性质和超收敛结果.最后,证明向后Euler全离散格式逼近解的存在唯一性,并通过采用一个新的分裂技巧,导出u和v在H~1-模意义下以及在L~2-模意义下关于h的无条件的O(h~2+τ)阶的超逼近性质和超收敛结果.这里,h及τ分别表示空间剖分参数和时间步长.     

二阶双曲方程一个新的非协调混合元超收敛性分析

研究了一类二阶双曲型方程在新混合元格式下的非协调混合有限元方法.在抛弃传统有限元分析的必要工具-Ritz投影算子的前提下,直接利用单元的插值性质,运用高精度分析和对时间t的导数转移技巧,借助于插值后处理技术,分别导出了关于原始变量u的H~1-模和通量=-▽u在L~2-模下的O(h~2)阶超逼近性质和整体超收敛结果.进一步,给出了一些数值算例验证了理论分析的正确性.     

一类四阶抛物积分微分方程混合元方法的超收敛分析

本文的主要目的是利用双线性元Q_(11)及Q_(01)×Q_(10)元研究一类非线性四阶抛物积分微分方程的混合有限元方法.一方面,利用上述两种元的高精度结果以及对时间t的导数转移技巧,在半离散格式下,导出原始变量u和中间变量w=-?u在H~1-模意义下及流量p(向量)=-?u在(L~2)~2-模意义下具有O(h~2)阶的超逼近性质.进一步地,借助插值后处理技术,得到上述变量的整体超收敛结果.另一方面,建立一个新的向后Euler全离散格式.通过采取新的分裂技术,得到u和w在H~1-模意义下及p在(L~2)~2-模意义下具有O(h~2+?t)阶的超逼近和超收敛结果.这里,h和?t分别表示空间剖分参数和时间步长.最后,给出一个数值算例,计算结果验证了理论分析的正确性.     

各向异性EQrot1非协调元高精度分析的一般格式

本文在各向异性网格下讨论了一般二阶椭圆方程的EQrot1非协调有限元逼近.利用Taylor展开,积分恒等式和平均值技巧导出了一些关于该元新的高精度估计.再结合该元所具有的二个特殊性质:(a)当精确解属于H3(Ω)时,其相容误差为O(h2)阶比它的插值误差高一阶;(b)插值算子与Ritz投影算子等价,得到了在能量模意义下O(h2)阶的超逼近性质.进而,借助于插值后处理技术给出了整体超收敛的一般估计式.