递推法求数列通项的几种简单类型

在数列教学中引入等差数列和等比数列的线性递推式 ,可以为求数列的通项公式提供一些灵活多变的方法 .由递推法求数列的通项有一定的技巧 ,本文介绍通过递推式的变换转化成等差、等比数列求解的几种简单递推数列通项的求法 .1　 an+ 1=pan+q型 (其中 p,q为常数 )在此类型中 1当 p =1时是等差数列 ;2当 p≠ 0且 q =0时是等比数列 .在一般情况下 ( p≠ 1 ,q≠ 0 )可向这两种特殊情况转化 .注意到递推式是关于 an+ 1,an 的一次式 ,要想消去 q,可类似解析几何中的坐标平移变换 ,只须令 bn =an + k( k为任意常数 )代入递推式 ,给 k一个适当值即可…     

递推数列寻找特根(续)——从2010年全国卷Ⅰ第22(1)说起

下题由2010年全国1卷第22(1)题改编,求数列{bn}改成了求数列{an}的通项公式. 题3 已知数列{an}中,a1=1,an+1=5/2-1/an.求数列{an}的通项公式. 求根 设递推式an+1=5/2-1/an的特征方程s=5/2-1/s,解之得s1=2或s2=1/2.     

一道高考题的另一解法

2007年高考全国卷(Ⅰ)理科第22(Ⅱ)题也可以用“辅助数列法”求出通项bn,然后证明.题:已知数列{an}中a1=2,an 1=(2-1)(an 2),n=1,2,3,….(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}中b1=2,bn 1=23bbnn 34,n=1,2,3,….证明:2相似文献   

用待定系数法求解一类数列的通项

2005年重庆高考数学卷第22题,原题为:数列{an}满足a1=1且8an+1an-16an+1+2an+5=0(n≥1),记bn=1/an-1/2,要求根据计算b1,b2,b3,b4的值再求数列{bn}的通项公式.……     

利用构造法巧解一道高考题

(1998年全国理科试题)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1 b2 … b10=145. (1)求数列{bn}的通项bn;(2)设数列{bn}的通项an=loga(1 1/b)(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和.试比较Sn与1/3logabn 1的大小,并证明你的结论. 解(1)易求得bn=3n-2. (2)由(1)可得     

用累乘法求递推数列的通项公式

给出数列{an}的递推公式和首项a1,求数列{an}的通项公式,往往可以将所给出的递推公式进行变形,使问题转化为所熟知的bn 1=f(n)bn的形式,当bn≠0时,变形得到(bn 1)/(bn)=f(n),则由累乘法可得     

新题征展(109)

A 题组新编 　　1.已知数列{an}的前n项和Sn=1/2n(n-1),且an是bn与1的等差中项. 　　(1)求数列an和数列bn的通项公式; 　　(2)若cn=(1)/(nan)(n≥2),求c2+c3+c4+…+cn;……     

构造新数列求通项

构造思想的实质是根据已知条件的特征 ,创造一个新的数学对象 ,从而实现问题的转化 .显然 ,它对培养学生的创新意识和创新能力有很重要的作用 .本文举例探讨如何构造新数列来解决求数列通项的问题 .许多数列问题中的通项主要是由递推关系给出的 .如果这个递推关系正好是 an 1=an d(d是常数 )或 an 1=qan(q是常数 ,q≠0 ) ,则非常简单 ,前者是等差数列 ,后者是等比数列 .如果是其他递推关系 ,则可以考虑转化为上述两种基本的数列 .例 1　已知 a1=1 ,an 1=2 an 1 ,求 an.分析　在递推关系 an 1=2 an 1中 ,如果没有后面的“ 1”,则此数列…     

求一类数列通项公式的思路

学习数列知识以后 ,如何求数列的通项公式是学生必须掌握的内容 .求数列的通项公式主要有以下三种类型 :一是给出数列的前几项 ,求通项公式 ;二是给出了数列的前n项和Sn 和通项an 的关系求通项公式 ;三是由递推关系求通项公式 .尤其是第二类成为考查求通项公式的主流 ,这类题目的解决办法是充分利用化归的数学思想 ,实现项an 与和Sn 的有机转化 ,最终求出数列 {an}的通项公式 .例 1　在数列 {an}中 ,已知Sn=3+2an,求an.解　当n =1时 ,由a1=S1=3+ 2a1,得a1=- 3.思路 1 :把已知条件中的项an 转化成和Sn.利用an=Sn-Sn -1(n≥ 2 ) ,则条件变…     

也谈加强不等式在解题中的应用

题目 设数列{an}满足:a1=1,an+1=1/16(1+4an+√1+24an)(n∈N*).(1)求a2,a3;(2)令bn=√1+24an,求数列{bn}的通项公式;(3)已知f(n)=6an+1-3an,求证f(1)·f(2)·…·f(n)＞1/2.     

常见的数列递推关系及通项

在数列学习中 ,常常见到数列是由其递推关系确定的 ,根据递推关系求解通项 ,除用计算—猜想—证明的思路外 ,通常还可以对某些递推关系进行变换 ,转化成熟知的等差、等比数列或易于求出通项表达式的数列的问题来解决 ,下面举例说明几种常见的转化思路 .型 1　数列递推关系形如an +1=an+d(d为常数 ) .显然有an +1-an=d ,这就得到 {an}是等差数列 ,于是an=a1+ (n - 1)d .型 2　数列递推关系形如an +1=qan(q为非零常数 ) .显然有 an +1an=q(常数 ) ,即 {an}是等比数列 ,于是an=a1qn- 1.型 3　数列递推关系由an 与Sn 给出 ,可利用an=S1　　　　…     

等差等比递归数列性质初探

1问题的提出观察数列一般地,我们给出：定义1若数列{an}满足递推关系其中u．v（v=0)为常数，则称{an}为一型等差等比速归数列．称u为为公差，v为公比．定义2若数列{an}满足递推关系其中u，v（v=0）为常数，则称{an}为二型等差等比递归数列．称u为公差，v为公比．显然，非军常数列是以上两型数列当公差为年同时公比为1的特例．由定义可得定理1若｛an｝为互型数列，则{an 1}:为Ⅱ型数列；若{an}为Ⅲ型数列，则{an＋1}为I型数列．21型数列的性质定理ZI型数列｛a。｝的通项公式为证明由递推关系（互）可得由此递推式得将上面诸式相加得；从而…     

多元递归数列问题

递归数列问题是高中数学竞赛的热点问题之一.一般地,我们对一元递归数列问题探讨得较多,而对于多元递归数列的解法则研究得不多.事实上,多元递归数列问题也是考查学生逻辑思维能力与创造性思维能力的较好素材,因此它逐渐成为近年来活跃在各类竞赛中的新宠.从总体上来看,多元递归数列问题的解答策略是借助方程的思想,化多元为一元,逐个击破,从细微处来看,解答奥妙又各有千秋,需要细细品味,本文加以简单介绍,仅当抛砖引玉.1配凑法例1设数列{an},{bn}满足a1=2,b1=1且bn 1=3an 5bn,n=1,2,3,…,求通项an,bn.an 1=5an 3bn 7,解∵an 1=5an 3bn 7,bn…     

一个数列求解通项中的数学思想及知识的蕴含

本人兴之所致,探讨这样一个数列1,2,2,3,3,3,…m,m,mm个,…(1)曾编程输出过它.问:数列(1)的通项是什么?把(1)排成数表:12 23 3 3…………m m m…m…………那么,处于方框内的数,其所在·位·置形成的数列:1,2,4,7,11,16,22,…(2)其通项如何表示呢?(2)是“二阶等差数列”.应用“待定系数法”,不难解得其通项为an=n2-n2 1.n∈N*(3)这样,把问题反过来,an还原为位置n,(3)中的n即为数表中方框内的值bn=x,须知它为所在行同样值的代表,则由(3)变形:n=x2-x2 1,x2-x-2(n-1)=0.由x>0,解得x=1 1 8(n-1)2.这就是(1)的通项公式:bn=1 8n-72 n∈N*记号[k]表…     

由线性递推关系求数列的通项公式

在学习数列的过程中,根据递推关系求数列通项是常见的一类问题.这些递推关系除了等差等比外,还有an+1=-ban/can+d,an+1+an=f(n),Sn=f(an),an+2=pan+1+qan等几个典型类型.其中最后一个类型是线性表达式,即递推公式中涉及到的项都是一次的,著名的斐波那契数列an+2=an+1+an(1)就属于这种类型.一些考题也属于这个类型,例如,an+2+an+1=6an(2009宁夏高考),an+2=2an+1-an(2014河西区一模),等等.这个类型的一般形式是r0an+ r1an+1+r2an+2+…+rkan+k=0(2),其中k是正整数,r0,r1,…,rk是固定常数,且r0≠0,r1,r2,…,rk不全为0.对于k=2的情形,求通项公式也可以用累加法等进行尝试,但是对于k≥3的情形,这些办法就有限制.笔者发现可以利用“平移作用”和“因式分解”得到一种通用的求通项的简单方法,在此阐述.     

综合题新编选登

题162在数列{an}中,已知an≥1,a1=1,且an 1-an=an 1 2an-1,n∈N*.1)记bn=(an-21)2,n∈N*,求证:数列{bn}是等差数列;2)求an的通项公式;3)对于任意的正整数k,是否存在m∈N*,使得am=k若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.解1)∵an 1-an=an 1 2an-1(n∈N*),∴an 12-an2-an 1 an=2     

新题征展(116)

A 题组新编 1.(胡寅年)设{an}是首项为1的正项数列,且n+1a2n+1-na2n+an+1an=0. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=(ln(1+an))/(an),证明:①bn≤bn+1;②ln2≤bn相似文献   

由递推式a_(n+1)=pa_n+f(n)求通项的方法

一、引子 线性递推式an+1=pan+q(p,q为常数)的启示. 常见线性递推公式an+1=pan+q(p,q为常数)求数列通项公式的基本思路是由待定系数法构造等比数列,令an+1+a=p(an+a),得a=q/p-1(p≠1),从而有an+1+q/p-1=p(an+q/p-1),数列{an+q/p-1}为等比数列,则数列通.项公式易得. 受以上解题启发,我们可以求以下相关数     

递推数列的通项公式求解方法探究

<正>根据数列所满足的递推关系,用累加或累乘的方法求出通项公式;或用转化与化归的数学思想及方程的思想构造出新的等差或等比数列,通过求得新数列的通项公式进而求出递推数列的通项公式.1.型如an+1=an+f(n)可作差累加求通项.若递推公式为a_(n+1)=a_n+f(n)型,则只需将原递推公式化为a_(n+1)-a_n=f(n),再以累加法可知a_n-a_1=g(n),于是a_n=a_1+g(n).     

我为高考设计题目

题83已知数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列.(1)若a1+a2+a3=-12,b1·b2·b3=27,且a1+b1,a2+b2,a3+b3是各项均为正整数的等比数列的前3项,求数列{an},{bn}的通项;