一道竞赛几何题的证明及变式

<正>题目(2014年中国西部数学邀请赛第2题)如图1,已知AB为半圆⊙O的直径,C、D为AB上的两点,P、Q分别为△OAC、△OBD的外心(两个外心都在各自三角形内).证明:CP·CQ=DP·DQ.证明法一如图2,分别连接AP,OP,AD,BQ,OQ,BC.∵C在AB上,∴OA=OC,且BC⊥AC(AB为半圆⊙O的直径).∵P为△OAC的外心,∴AP=CP=OP,且OP⊥AC.∴OP∥BC,     

2007年全国高中数学联赛平几题的其它证法

2007年全国高中联赛二试第1题是一道平面几何题:如图,在锐角△ABC中,AB相似文献   

巧用欧拉线解题一例

文[1]中对2005年全国卷的一道向量题的解法进行了探究,原题如下:△ABC的外接圆圆心为O,两条边上的高的交点为H,OH=m(OA+OB+OC),则实数m=.图1由于该题涉及到三角形的外心和垂心,我们知道三角形的外心、重心、垂心,依次位于同一直线上,这条直线就叫三角形的欧拉线.这里笔者尝试想通过欧拉线来解决这道高考连A与BC中点D交OH于G,因为△ABC的重心既在中线AD上,又在欧拉线OH上,故G为△ABC的重心.又因为点O为外心,点H为垂心,所以OD⊥BC,AH⊥BC,则OD∥AH,所以△DOG∽△AHG.则AHOD=AGOG=2.所以OH=OA+AH=OA+2OD=OA+OB+O…     

闭折线一条性质的应用

易证 ,对于一组闭折线A1A2 A3 …An,总有A1A2 +A2 A3 +A3 A4+… +An -1An+AnA1=0 .这条性质简明 ,应用却很广泛 .1　简化向量式例 1　化简AB -AC +BD -CD .解　原式 =AB +CA +BD +DC =AB +BD +DC +CA =0 .例 2　如图 1,在△ABC中 ,A′ ,B′ ,C′分别为BC ,CA ,AB的中点 ,O为△ABC所在平面内任一点 ,求证 :OA +OB +OC =OA′+OB′+OC′ .图 1　例 2图解　易知 ,B′A =12CA ,C′B =12 AB ,A′C =12BC .∵OB′ +B′A =OB′ +12 CA =OA ,OC′ +C′B =OC′ +12 AB =OB ,OA′ +A′C =OA′ +12 BC =OC …     

诡辩一则--任意三角形均为等腰三角形

命题　如图 1 ,已知△ ABC是任意三角形 ,∠ A的平分线与 BC的垂直平分线交于点 O,则△ ABC是等腰三角形 .证明　如图 1 ,过 O作 OE⊥ AB,OF⊥ AC.∵　 AO为∠ A的平分线 ,∴　 OE =OF,又　 OA =OA,∴　 Rt△ AOE≌ Rt△ AOF.∴　 AE =AF.连结 OB、OC.∵　 O在 BC的垂直平分线上 .∴　 OB =OC.　又　 OE =OF,∴　 Rt△ BOE≌ Rt△ COF.∴　 BE =FC.又　 AE =AF,∴　 AB =AC.故△ ABC为等腰三角形 .诡辩揭密 :我们知道 ,准确作图是欧氏几何的特点之一 ,忽视规范作图是多数人常犯的通病 ,由此而得到错误结论…     

三角形“外心圆”的几条性质

<正>定义以三角形外心为圆心,任意长为半径的圆,称为三角形的外心圆.注三角形的外接圆即为三角形的一个外心圆.性质1如图1,O是任意△ABC的外心,⊙O是小于△ABC外接圆的外心圆,过顶点A、B、C分别向⊙O作切线,D_1、D_2、E_1、E_2、F_1、F_2均为切点,则AD_1=AD_2=BE_1=BE_2=CF_1=CF_2;且∠D_1AB=∠E_2BA,∠D_2AC=∠F_1CA,∠E_1BC=∠F_2CB.     

一道几何题的两种求解法

<正>题如图1,在矩形ABCD中,AD=3^(1/2),AB=7,点E在边AB上,∠DEC=120°.求AE的长.解法一(构造外接圆法)作△DEC的外接圆⊙O,过点O作OG⊥AB于点G,交DC于点F.连结OC,OD,OE(如图2所示).     

一道习题的两个结论及其推广

<正>请看这样一道习题.题目如图1,∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O,过O作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E.结论 (1)∠BOC=90°+1/2∠A.(2)DE=BD+CE.证明(1)∵OB平分∠ABC,∴∠2=1/2∠ABC.又∵OC平分∠ACB,∴∠4=1/2∠ACB,     

三角形内外心连线的性质及推广

<正>性质如图1,I、O分别是△ABC的内心、外心、AD、BE、CF是三条高,直线OI分别交AD、BE、CF于点A′、B′、C′.则IA′/AA′=IB′/BB′=IC′/CC′.证明连结OA、OB、OC、IA、IB、IC,∵O是△ABC的外心,∴OA=OB=OC,于是∠OAB=∠OBA,∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°,∴∠OAB=90°-(1/2)∠AOB,而∠AOB=2∠ACB,     

三角形重心的向量形式及应用

定理 1　点O是三角形ABC的重心的充要条件是OA→ +OB→ +OC→ =0 .证　必要性 :若O是三角形ABC的重心 ,则OA→ =23(12 CB→ +BA→ ) =13 CB→ +23 BA→ ,OB→ =23(12 AC→ +CB→) =13 AC→ +23 CB→ ,OC→ =23(12 BA→ +AC→ ) =13 BA→ +23 AC→ ,故OA→ +OB→ +OC→ =CB→ +BA→ +AC→ =0充分性 :若OA→ +OB→ +OC→ =0 ,由向量加法原理 ,知过O且与OA→ +OB→ 平行的直线必平分线段AB ,而OA→ +OB→ 与OC→ 是共线的 ,故直线OC平分线段AB .同理 ,可以证明直线OA ,OB分别平分BC ,AC .从而知点O是三角…     

2001年全国高中数学联赛加试第一题另解

题目如图,△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF 交于点H,百线ED和AB交于点M,FD与AC交于点N.求证:(1)OB⊥DF,OC⊥DE;(2)OH⊥MN. 证明(1)如图建立坐标系,设A、B、C坐标分别为(0,α)、(b,0)、(c,0). ∴ CF方程为y=b/α(x-c) ①     

从三角形的垂心谈起--向量方法的一个应用

本文将三角形的垂心概念推广到圆内接四边形和圆内接五边形当中去 ,并且同时给出关于垂心的一条重要性质 .本文主要应用向量方法 .首先给出两条简易的引理 ,本文不加证明 .引理 1　设M是线段AB的中点 ,O为任意一点 ,则有OM =12 (OA+ OB) .引理 2　设G是△ABC的重心 ,O为任意一点 (在或不在△ABC所决定的平面上 ) ,则有OG=13(OA+ OB+ OC) .现在从三角形的垂心谈起 .图 1设O是△ABC的外心 ,OP⊥BC ,P是BC的中点 ,AQ是BC边上的高 (图 1 ) .在高AQ所在直线上取一点H ,使AH =2 OP ,则有OH =OA +AH=OA + 2OP=OA+ OB+ OC…     

2006年上海市初中学业考试模拟试卷

一、填空题(本大题共12题,每小题3分,满分36分)1.一个数的立方等于8,这个数是2.因式分解:2x2 4x=3.函数y=3x--x1的定义域为4.如果点P(1,m)在一次函数y=x-6的图像上,那么m=5.请写出8的一个同类二次根式6.方程组xxy =y1=27的解为7.某汽车经过两次降价,由每辆10万元降至每辆8.1万元,那么这辆汽车平均每次降价的百分率为8.如图,在△ABC中,DE∥BC,∠BDE=135°,∠A=80°,那么∠C=度9.在△ABC中,若D、E分别是边AB、AC上的点,且DE∥BC,AD=1,DB=2,则△ADE与△ABC的面积之比为10.已知⊙O1和⊙O2外切,且⊙O1的半径为3cm,两圆的圆心距为…     

数学诡辩一例

求证:任意三角形为等腰三角形.已知:在△ABC中,求证:AB=AC.证明　如图1,作∠A的平分线AN,再作BC的垂直平分线OH交AN于O,作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E、F,连接OB、OC.∠1=∠2AO=AO∠AEO=∠AFO=90°　△AEO≌△AFO　　AE=AFOE=OFO在BC的垂直平分线上　OB=OC　　　　　1     

一道联赛试题的解法探讨

<正>题目如图1,PA为⊙O的切线,PBC为⊙O的割线,AD⊥OP于点D,△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明:∠BAE=∠ACB.这是2012年全国初中数学联合竞赛第二试(B)第二题,是一道内涵丰富、不落俗套、颇具启发性的好题,本文就此题的解法作以下探讨.1.试题原证回放如图2,连接OA、OB、OC.因为AD⊥OP,OA⊥AP,     

2001年全国高中数学联赛一道平几题的几种证法

20 0 1年全国高中数学联赛加试第一题是 :如图 1 ,△ ABC中 ,O为外心 ,三条高 AD、图 1BE、CF交于点 H ,直线ED和 AB交于点 M,FD和 AC交于点 N.求证 :(1 ) OB⊥ DF,OC⊥ DE;(2 ) OH⊥ MN.由于第 (1 )小题比较容易 ,本文将略去其证明 ,而重点介绍第 (2 )小题的证明方法 .证法 1　 (解析法 )以直线 BC为 x轴 ,AD为 y轴建立直角坐标系 ,设 A(0 ,a) ,B(b,0 ) ,C(c,0 ) ,H (0 ,h)由 CH⊥ AB,得　 h- c. a- b=- 1∴　 h =- bca,即 H (0 ,- bca) .又设⊙ O的方程为x2 y2 Dx Ey F =0 ,则　a2 Ea F =0b2 Db F =0c2 Dc…     

一道平面几何题的向量论证

《数学通报》第 1 2 1 2问题如下 :如图 1设图 1　三角形△ABC的一边AB上有P1,P2 两点 ,另一边AC上有Q1,Q2 两点 ,若 ABAP1+ ACAQ1=ABAP2 + ACAQ2 =3,则P1Q1与P2 Q2 的交点G是△ABC的重心 .上述问题可概述为 :P ,Q为△ABC的两边AB ,AC上的两点 ,则PQ过△ABC的重心G的充要条件是ABAP+ ACAQ=3,本文将利用向量给出它的证明 .图 2　结论 1图结论 1　设OA ,OB ,OC为平面上不共线的三个非零向量 ,则A ,B ,C三点共线的充要条件是存在实数λ ,μ ,使得 OA =λOB + μOC ,其中λ + μ =1 .证　不妨设A在BC之间 ,若A ,…     

构造辅助线解几何题两例

<正>在解几何题中,有时候恰当地构造辅助线,可以有效地打开思维,化繁为简,起到很好的解题效果.下面以两道题为例来进行说明.例1如图1,在△ABC中,以BC为直径的⊙O交AB于D、交AC于E,且BD=EC.求证:AB=AC.证法1如图2,连接OD、OE.∵OB=OC,OD=OE且BD=CE,∴△OBD≌△OCE(SSS),∴∠B=∠C,∴AB=AC.证法2如图2,连接OD、OE.∵BD=EC,     

一道全国高中联赛加试题的另法证明

2001年全国高中数学联赛加试的第一题：“如图1,在△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N．求证：(I)OB⊥DF,OC⊥DE；(Ⅱ)OH⊥MN．此题已经有若干种解法见诸报端．本文再给出一种简单的解法,只     

一条似是而非的“定理”

在一本学生用书《几何》(第二册)课堂练习册(上海教育出版社)上有这样两道题 1.如图,要使DE∥BC,那么必须是( )。 (A)AD/DB=DE/BC (B)AD/DB=AE/AC (C)AD/AB=AE/EC (D)AE/AC=DE/BC 2.一条直线交△ABC的边AB于D,交边AC于E,根据下列条件能否判断DE和BC平行。