新常数μ,θ和新公式π=(1/2)e~θ的含义与应用

作者在文献[1]和[2]中提出了新常数μ,θ和新公式π=1/2 e~θ.在此说明它的深层含义:新常数μ是隐藏在欧拉常数γ后面的常数;新常数θ是μ和γ的完美组合.新公式给出了π和e之间的实数关系,它不同于欧拉公式e~(πi)=-1的虚数关系.新公式的典型应用是π和e之间的转换,以及μ和γ之间的转换.本文利用μ的计算公式,进行计算机求解,通过新公式,能很快求出欧拉常数γ.本文对概率统计中很多常用公式,用e~(θ/2)号代替(2π)~(1/2),极大简化了这些公式.     

限定Borel点的亚纯函数

设E是任意一个非空的闭实数集(mod 2π),ρ(θ)是E上一个上半连续的有界正值函数(0<ρ(θ)相似文献   

复数与初等几何变換

一、引言复数是用来表达平面上点的位置的数:z=x++(-1)~(1/2)y,x,y是实数,(x,y)即是点的笛儿直角坐标,或z=ρe~(iθ),ρ,θ是实数(i-(-1)~(1/2),(ρ,O)乃是点的极坐标。把一个数乘上z=ρe~(iθ),就是把这个数所表达的点沿这点与坐标原点的联线伸縮ρ倍,并从这联线起按反时針方向旋轉一个角度θ;把一个数加上复数z=x+iy,就是把这个数所表达的点沿横軸移动有向距离x,沿纵軸移动有向距离y。这样,利用复数的运算,初等平面几何上的許多定理可以化简其証明。同时,通过复数的运用可以对初等平面几何作概括的叙述,如全等形的理論是討論簡单图形在刚体运动(平移和旋轉)z→az+b(这里|a|=1)下不变的性貭,相似形的理論是討論在变換z→az+b(a,b是任意复数) 下不变的性貭。掌握了这些变換,不但能对初等平面几何学以簡叙繁,而且对复数的了解也更深刻。二、初等几何变換簡介变換理論是几伺作图的主要依据。如果借助于任何規則或规律对于某个图形,的每一个点A,在某个图形F＇有一个确定的点B与之对应,那么我們說,图形F被变換到图形F＇。Ⅰ.合同变換 假設有一个图形F,經过某种变換而变为与自己合同的图形F＇,那么这个变換叫做合同变換。合同变換分下列三种:     

二项式定理的概率论证法

应用广泛的二项式定理除了可用数学归纳法证明外,还可用组合分析或数学分析等方法分别证明之。本文给出一个完全只用初等概率论的知识的方法来证明二项式定理。 定理:设a,b里任意实数,n是正整数,     

一个奇素數定理

定理:如果2n+1是一个素數,那么,它必定是2~n+1或2~n-1的約數;当[n+(1/2)]是奇數時取正号,反之取負号。 証明:我們只要作出一个整係數方程,滿足下面三个条件,問題就解决了。 1) 2n+1是方程的根。 2) 常數項有約數2~n+1(或2~n-1)。 3) 常數項其他素約數与2n+1互素。 現在我們就來作这个整係數方程。当[(n+1)/2]是奇數時,我們給出方程:(x-2)(x-4)…(x-2n)= =-(x-4)(x-8)…(x-4n)。方程的常數項等於士2~n(2~n+1)n!,条件2),3)顯然滿足。以2n+1代入,我們还需要証明等式 multiply from k=1 to n (2n+1-2k)=-multiply from i=1 to n (2n+1-4i)对应於k的偶數值,我們取i=k/2,就有     

一类指数函数的高阶导数

在微积分学中,指数函数f(x)=e~(-x)~(-2)(x≠0)是一个非常简单而十分重要的初等偶函数,尤其是在函数的幂级数展开中,需要研究这个指数函数的有限形式的高阶导数及其性质.本文对此问题进行了研究,并得到如下结果:设f(x)=e~(-x)~(-2)(x≠0)的n阶导数为f_n(x)=fn(x)e~(-x)~(-2),则f_n(x)=sum from i=1 to n(-1)~(n+i)C_i(n)x~(-n-2i),其中C_1(n)=(n+1)!,C_i(n)=2sum from j=i to n(n+2i-1)!/(j+2i-1)!C_(i-1)(j-1),(1i≤n).     

Fermat数的Smarandache函数值的下界

对于正整数n,设F_n=2~2~n+1是第n个Fermat数,又设S(F_n)是F_n的Smarandache函数.运用初等的方法证明了:当n≥4时S(F_n)≥4·2~n(4n+9)+1.     

关于Euler公式的证明

药在1740年左右。Euler在研究用级数方法解微分方程时发现了公式 e~(iy)=cosy+ising (1) 这里i=(-1)~(1/2)为虚数单位而y为任一实数。现在Euler公式已是中学与中等技术学校的数学教学的重要内容,但在中学里要严格地讲授它即使是学了初等微积分也是有困难的,因为(1)式的推导通常是在复变指数函数e~z的     

Γ函数的特性

在一般的数学分析教程中証明了Γ函数Γ(α)=integral from n=1 to ∞ x~(a-1)e~(-x)dx (α>0)对任意α>0具有連續导数,它作为函数Φ(α)还滿足 (1)Φ(α+1)=αΦ(α), (2)Φ(α)Φ(α+1/2)=(2(π~(1/2))/4~α)Φ(2α), (3)Φ(α)Φ(1-α)=π/sinαπ。现在,让我們反过来考虑这样一个問題:具备这些性貭的函数Φ(α)     

数列{(1+1/n)~n}极限存在性的另一种证法

证明数列{(1+1/n)~n}的极限存在,只要证明数列{(1+1/n)~n}单调且有界.为此在一般的微积分教材中,是采用按牛顿二项公式将(1+1/n)~n展开的方法,这种方法思路自然且直观易懂,为拓宽思路下面给出另一种证法.     

高维Pedoe不等式的一个加强

设Ω(A_n),Ω(A'_n)是n维欧氏空间E~n(n≥3)中的两个n维单形,棱长分别为a_i,a'_i(i=1,2,…,C_(n+1)~2),体积为V_n,V'_n,各棱长的乘积分别为P_n,P'_n对θ∈(0,2],本文证明 sum from i=1 to C_(n+1)~2 (a'_i~θ(sum from j=1 to C_(n+1)~2 (a_i~θ-2a_i~θ))≥((n(n+1)(n~2+n-47))/8)·[2~n(n!)~2/n+1]~(θ/n)[(P'_n/P_n)~(2θ/n(n+1))V_n~(2θ/n)+(P_n/P'_n)~(2θ/n(n+1))V'_n~(2θ/n)]等号成立当且仅当n(A_n),n(A'_n)均为正则单形。     

关于Darvenport的一个定理

H.Darvenport 利用 Vinogradov 方法证明了如下结果:对任意给定的 H>0,■(n)e(nα)=O(N(logN)~H)对所有实数α一致成立,这里μ是 Mobius 函数,e(αn)=e~(2xian)我们利用 Vaughan 的方法,将上述结果推广至算术级数中,证明了:定理1.若(α,q)=1,则对任意的 N≥1■这里(f,d)=1.定理2.对任给的 H>0,若(d,f)=1,则:■     

避免对棣莫弗公式的错误理解

中学数学教师从事复数棣莫弗公式 [r(cosθ i sinθ)]~n=r~n(cosθ十i sinθ) (1)的教学,一般利用它进行计算是不会发生错误的。但是,我们仍应避免对它可能产生的错误理解。 在某些中学数学读物上对(1)式是这样解释的:“复数n(n ∈N)次幂的模等于这个复数的     

ρ-混合序列部分和乘积的几乎处处极限定理

设{X_n,n≥1}是一严平稳的ρ-混合的正的随机变量序列,且EX_1=μ＞0, Var(X_1)=σ~2,记S_n=Σ_(i=1)~n X_i和γ=σ/μ,在较弱的条件下,证明了对任意的x,,其中σ_1~2=1+2/(σ~2)∑_(j=2)~∞Cov(X_1,X_j),F(·)是随机变量e~(2~(1/2)N)的分布函数,N是标准正态随机变量,我们的结果推广了i．i．d时的情形．     

小区间上的素变数三角和估计

设A(n)为von Mangoldt函数且实数θ=95-83~(1/2)/121.当xθ+ε≤y≤x时,本文对于所有的α∈[0,1]给出了指数和S2(x,y;α)=∑x0,估计式∑x相似文献   

布尼雅可夫斯基不等式的推广

定理:不等式 (sum from i=1 to m(a_(1i) a_(2i)…a_(ni)))~n≤≤sum from i=1 to m(a_(1i))~n sum from i=1 to m(a_(2i))~n…sum from i=1 to m(a_(ni))~n對於任意自然數n都成立,其中a_(ki)為正數(K=1,2,…,n,i=1,2,…,m). 證明: 設 A_K~n=sum from i=1 to m(a_(Ki))~n (K=1,2,…,n), x_(Ki)=a_(Ki)/A_K,(K=1,2,…,n i=1,2,…,m)則從n侗正數的幾何平均值小於或等於其算術平均值這個結果可得 x_(1i)x_(2i)…x_(ni)≤((x_(1i))~n+(x_(2i))~n+…+(x_(ni))~n)/n由此更推得a_(1i)a_(2i)…a_(ni)=A_1A_2…A_n(x_(1i)x_(2i)…x_(ni)≤     

自然数方幂和的通项公式

用初等方法证明sum from i=1 to n i2k+1为n2(n+1)2与n(n+1)的(k-1)次有理多项式的乘积,sum from i=1 to ni2k为n(n+1)(2n+1)与n(n+1)的(k-1)次有理多项式的乘积,提出关于上述公式系数符号的一个猜想.     

预给二面角的单形嵌入E~n的充分必要条件的一个应用

本文利用预给二面角的单形嵌入 E~n 的充分必要条件,得到如下的定理 设 T 为 E~n 中的一个单形,它的任意两个侧面 f(?),f_j 所成的内角为(?)=θ_(ij)(1≤i相似文献   

关于k次加法补函数的因子函数的均值公式

对于任意正整数n,如果m n是完全k次方数,称最小非负整数m是n的k次加法补.为了研究m的性质及变化规律,这里运用初等数论和分析数论的方法,得到了d(n ak(n))的一个有趣的均值公式,从而得到了更一般的加法补函数的计算公式,完善了加法补函数在数论中的研究和应用.     

求解逆特征值问题的牛顿类方法的收敛判据

<正>1引言多年来,众多数学工作者在推导和分析如下定义的逆特征值问题(IEP)的理论和算法上表现出了相当大的兴趣.以下我们设c=(c_1,c_2,….c_n)~T E R~n,{A_i}_(i=1)~n是n个实对称的n×n矩阵.定义A(c)=∑ni=1c_iA_i.(1)设A(c)的特征值为{λ_i(c)}_(i=1)~n且λ_1(c)≤λ_2(c)≤…≤λ_n(c).设{λ_i~*)_(i=1)~n为任意给定的n个数并且满足λ_1~*≤λ_2~*≤…≤λ_n~*.我们这里考虑的IEP就是寻找向量c~*∈R~n使得λ_i(c~*)=λ_i~*对任意的i=1,2,…,n.(2)