一个不等式的初等证明

文[1]证明了这样一个不等式：若xi〉0,i=1,2,3，且3↑∑↑i=1xi=1，则1/1＋x1^2＋1/1＋x2^2＋1/1＋x3^2≤27/10。本文现给出一个较为简单的证明．     

构造“零件不等式”证明一类条件不等式

文[1]用初等方法证明了不等式：若xi〉0，i=1，2，3，且x1＋x2＋x3—1，则1/（1＋x1^2）＋1/（1＋x2^2）＋1/（1＋x3^2）≤27/10     

一个不等式的初等证明

文[1]介绍了这样一个不等式的证明:若xi>0,i=1,2,3,且∑3i=1xi=1,则1 1x21 1 1x22 1 1x23≤1207.该文作者给出了一个较为复杂的证明.本人现给出一个简单的初等证明.证明先证明:对任意0相似文献   

Diophantine inequality involving binary forms

Let r =2^d-1 ＋ 1. We investigate the diophantine inequality
｜∑i=1^r λiФi（xi,yi）＋η｜〈（max 1≤i≤r{｜xi｜,｜yi｜}）^-δ,
where Фi（x,y）∈X[x,y]（1≤i≤r） are nondegenerate forms of degree d = 3 or 4.     

2008年上海市高考数学（理）第11题赏析

上海市2008年高考数学（理）第11题为：题目方程x^2＋√2x-1=0的解可视为函数y=x＋√2的图像与函数y=1/x的图像交点的横坐标，若方程x^4＋ax-4=0的各个实根x1,x2,…,xk（k≤4）所对应的点（xi,4/xi）（i=1,2,…,k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是______.     

一个不等式的加强及其推广

笔者在翻阅文[1]时,看到如下问题问题1已知x12 x22 … x2100=300,求证:x1 x2 … x100≤200.文[1]指出,可以构造多项式x2-2x 1=(x-1)2≥0进行证明.读完文[1],笔者就想,既然可以构造(x-1)2≥0和(x-3)2≥0来进行证明,那么用其他形如(x-a)2≥0的表达式进行证明行吗?经过试验可知,取a=12时达不到目的,只能得出i1∑=001xi≤325;而当取a=2时,得到了不等式∑100i=1xi≤7400<200,这不仅证明了问题1,而且还把所要证明的不等式∑100i=1xi≤200进一步加强为∑100i=1xi≤7400.因此,我们有理由猜想,在所有不等式1∑00i=1xi≤Bt中,只要选择适当的a,利用(x-…     

初等证明不初等

文[1]用初等方法证明了不等式：若xi〉0,i=1,2,3,且^3∑i=1xi=1,则1/1＋x^21＋1/1＋x^22＋1/1＋x^23≤27/10.     

On the weighted elliptic problems involving multi-singular potentials and multi-critical exponents

Suppose Ω belong to R^N（N≥3） is a smooth bounded domain,ξi∈Ω,0〈ai〈√μ,μ：=（（N-1）/2）^2,0≤μi〈（√μ-ai）^2,ai〈bi〈ai＋1 and pi：=2N/N-2（1＋ai-bi）are the weighted critical Hardy-Sobolev exponents, i = 1, 2,..., k, k ≥ 2. We deal with the conditions that ensure the existence of positive solutions to the multi-singular and multi-critical elliptic problem ∑i=1^k（-div（｜x-ξi｜^-2ai△↓u）-μiu/｜x-ξi｜^2（1＋ai）-u^pi-1/｜x-ξi｜^bipi）=0with Dirichlet boundary condition, which involves the weighted Hardy inequality and the weighted Hardy-Sobolev inequality. The results depend crucially on the parameters ai, bi and #i, i -- 1, 2,..., k.     

兔子是这样从帽子里面抓出来的

数学问题1785 设0≤xi≤1,n∈N,n≥3,且n∑i=1xi=1,求f(x1,x2…,xn)=n∑i=1 xi/1+x2i的最大值. 命题人用下面的引理给出了该问题解答.引理 0≤x≤1时,有不等式x/1+x2≤(n/n2+1)2[(3+n2)x-2nx2](*),当且仅当x=1/n时等号成立. 文[1]将上述引理调侃为“就象从一顶帽子里抓出一只兔子的戏法一样令人感到意外,根本不具备什么启发性”.笔者认为这种说法有失偏颇,不能把自己没有看透的东西说成不自然的东西,现在我们来看引理是怎样被发现的.     

探究一类条件不等式的源与流

文[1]对不等式"若x_i>0,i=1,2,3,且sum from 3 to i=1x_i= 1,则1/(1 x_1~2) 1/(1 x_2~2) 1/(1 x_3~2)≤(27)/(10)"给出了一个较为简单的证明.其证明思路是:先证明对任意0相似文献   

一个不等式的推广及猜想

文[1]介绍了如下一个不等式:若xi>0,i=1,2,3,且∑3i=1xi=1,则11 x12 1 1x22 1 1x32≤1170(1)文[1]给出了(1)的一个初等证明·今推广(1)如下:若xi>0,i=1,2,3,4,且∑4i=1xi=1,则1x13 1 1x32 1 1x33 1 1x43≤26556(2)证明先证明:对任意0相似文献   

对一组容易混淆问题的剖析

问题已知函数f（x）=（x-1）^2，g（x）=x^3-3x^2-6x＋m． 1）若对于任意的x1∈[-2，2]，x2∈[-2，2]，都有f（x1）≤g（x2）成立，求实数优的取值范围；     

巧用等比性质证不等式

题目 已知xi,yi∈R^＋（i=1,2,…,n）,且x1/y1〈x2/y2〈…〈xn/yn,求证：x1/y1〈x1＋x2＋…＋xn/y1＋y2＋…＋yn〈xn/yn.     

Precise Rates in the Law of Iterated Logarithm for the Moment of I.I.D. Random Variables

Let{X,Xn;n≥1} be a sequence of i,i.d, random variables, E X = 0, E X^2 = σ^2 〈 ∞.Set Sn=X1＋X2＋…＋Xn,Mn=max k≤n│Sk│,n≥1.Let an=O（1/loglogn）.In this paper,we prove that,for b〉-1,lim ε→0 →^2（b＋1）∑n=1^∞ （loglogn）^b/nlogn n^1/2 E{Mn-σ（ε＋an）√2nloglogn}＋σ2^-b/（b＋1）（2b＋3）E│N│^2b＋3∑k=0^∞ （-1）k/（2k＋1）^2b＋3 holds if and only if EX=0 and EX^2=σ^2〈∞.     

一类条件不等式证明方法的改进

文[1]对“在xi＞0,i=1,2,3…,n,且∑i=1^n xi=m的条件下，欲证不等式∑i=1^ng（xi）≤k（≥k）成立”这类不等式的证明给出一个通用证法，读罢此文，颇受启发！     

包含三角形的最小圆

遇到下面一道习题：已知集合P＝{（x,y）│{3x-4y＋3≥0 4x＋3y-6≤0 y≥0},Q={（x,y）│（x-a）^2＋（y-b）^2≤r^2},     

一个不等式推广的简证及修补

文[1]给出了下列命题已知x12 x22 … x1002=300,求证:x1 x2 … x100≤200.文[2]沿用文[1]的方法,利用探究的手段加强并推广了上述命题得到了下列两个命题:命题1若∑100i=1xi2=300,则∑100i=1xi≤100 3,当且仅当x1=x2=…=x100=3时,等号成立.命题2若∑ni=1xi2=m则∑ni=1xi≤mn.当且仅当x1=x2=…=xn=mn时,等号成立.进而通过联想,并用同样的手段又给出了下列两个命题:命题3若∑ni=1kixi=A,且∑ni=1ki=S0,其中ki>0(i=1,2,…,n),A与S0都是常数,则∑ni=1kixi2≥A2S0.当且仅当x1=x2=…xn=AS0时,等号成立.命题4若∑ni=1kixi2=m,且∑ni=1ki=S0,其…     

一类二次方程组的一个定理及其运用

定理　在方程组∑ni=1xi=A∑ni=1x2i=B中 ,A、B是实数 ,记Δ=n B-A2 .若 xi∈ R( i=1,2 ,… ,n) ,则Δ≥ 0 ,当且仅当x1 =x2 =… =xn=An时 Δ=0 .证明　 ∑1≤ i相似文献   

一个函数最值问题的探究

文[1]给出了这样一个不等式： 已知x，y∈R^＋，且x＋y=1，则 （x-1/x）（y-1/y）≤9/4 设x＋y=S， f（x,y）=（x-1/x）（y-1/y）。     

关于一个不等式猜想的否定

本刊文[1]对文[2]中的第一个不等式给予推广，对第二个不等式的推广提出一个猜想：设xi〉0（i=1，2，3，…，n），n∑i=1xi=1.则n∏i=1（1/1-xi＋xi）≥（n/n-1＋1/n）^n.