在共振点的非线性振动

考虑微分方程d²x/dt²+g(s)=p(t),其中g(x)∈C¹(R);P(t)∈C(R)是2π周期函数。本文在假定g(0)=0,m²≤g′(x)≤(m+1)²,m为非负整数的情形下,比较完整地解决了方程(1.1)的2π周期解的存在问题。     

箱样条的局部逼近阶

设△是由平面R²={(x₁,x₂):x₁,x₂∈R}上三族直线 x₁=n,x₂=n,x₂-x₁=n,n∈Z所构成的分划。R²上的函数s称为是关于分划△的一个k次样条函数,如果s在R~2\△的各连通分支上与一个全次数≤k的多项式相一致。全体k次样条函数所成的空间记为π_k,△。令π_k,△^ρ=π_k,△∩C^ρ。以φ_k,ρ表示由π_k,△^ρ内所有箱样条组成的集合,以m(k,ρ)表示φ_k,ρ所具有的局部逼近阶。迄今为止,关于m(k,ρ)仅有deBoor与Hollig,及Dahmen与Micchelli的少量结果。本文完全确定了m(k,ρ)的值,其结果如下: (1)m(k,ρ)=2k-2ρ,如果2k-3ρ=2, (2)m(k,ρ)=2k-2ρ-1,如果2k-3ρ=3或4, (3)m(k,ρ)=k+1,如果ρ=0, (4)m(k,ρ)=min{2k-2ρ-2,k},如果2k-3ρ≥5且ρ≥1。     

关于高次多项式插值样条的最优误差界

设记称为f(x)的(Γ,)型(2m—1)次插值样条,如果类似地称为f(x)的型2m次插值样条,如果1.本文讨论了不同的(Γ,)型插值误差界间的内在联系,得出了等距分划下任意次插值样条的最优误差界,主要结果是: 定理1.设N≥2m—1,f∈C^2m[0,1],则当γ_j,≤2j,θ_j≤2j时 定理3.设N≥2m,f∈C^2m+1[0,1],则当γ_j,≤2j—1,θ_j,≤2j-1时,其中E_k是第K个Euler数。     

从属过程的样本轨道的填充测度函数

设随机过程x(t)(t∈[0,∞))是一个从属过程,X[0,1]=|x∈R:t∈[0,1],X(t)=x}.通过对x(t)的指标函数g(u)(u≥0)的细致分析得到了关于X[0,1]填充测度函数的判别准则.事实上,若φ(s)(s∈(0,1))为任一测度函数,记h(s)=φ(s)/g(1/s),则有:h-p(x|0,1|= 相应于∫¹₀φ²(s)/s ds{<+∞ =+∞     

辛流形M×R2n中的Hofer-Zehnder辛容量及应用

本文讨论辛流形(M×R²ⁿ,ωσ)中的 Hofer-Zehnder辛容量,定义 l₁(M,ω)=:inf{〈ω,α〉|〈ω,α〉>0,α∈π₂(M)}.证明若l₁(M,ω)>0,πr²<1/2l₁(M,ω),则C_HZ(M×B(r))=C_HZ(M×Z(r))=πr².当M等于点{P}时,就得到目前已知的结论.设CPⁿ是复投影空间,ω是CPⁿ上的辛形式,满足∫_cp¹ω=n+1,那么当πr²<1/2(n+1)时,C_HZ(CPⁿ×B(r))=C_HZ(M×Z(r))=πr².作为应用,还将证明M×Z((l₁(M,ω)/2π)^1/2)中的 Weinstein猜想成立.     

Reinhardt域的Bergman核函数(Ⅱ)

若D为Reinhardt域 D={Z∈Cⁿ:‖z‖_α=sum from j=1 to n(|z_j|^2/α_j<1)},这里0<α_j,j=1,2,…,n.证明了:若K_D(z,)为D的Bergman核函数,则存在两个正的常数m与M,不依赖于z,而只依赖于α=(α₁,…,α_n)及n,使得 mF(z,)≤K_D(z,)≤MF(z,z)对任一z∈D都成立,这里 F(z,)=(-r(z))^-n-1 multiply from j=1 to n ((-r(z)+|z_j|~(2/α_j))^1-α_j),而r(z)=‖z‖_α-1为D的定义函数.     

不动点集为常余维数的带有对合的流形

本文决定了协边类α∈J_n^2k(2k≤40),β∈J_n^2t+1(2t+1≤19)的充要条件。     

关于多重富氏积分球形和的局部化与收敛问题

本文讨论了多重富氏积分的Riesz球形平均 σ_R^α(f)(x)=∫_|y|≤R(1-|y|²/R²)^αf(y)e^2πix·ydy(x∈Rⁿ),当α<((n-1)/2)时的局部化与收敛性问题。证明了当维数n≥2m-1时,若α>(n-2(m+1))/2,f∈ L_m¹(Rⁿ),则关于α阶的Riesz球形和的局部化定理成立。文中还给出了σ_R^α(f)(x)在一点处收敛的充分条件。 当以α>((n-3)/2)为特殊情形时,对于σ_R^α(f)更一般的φ平均∫Rⁿ φ(εy)f(y)×e^2πix·ydy也得到相应的结果。     

齐次乘子算子的交换子

记H^l={w∈C^∞(R^k\{0}):w是l次齐次函数),R^_(-a)(m)是Taylor级数余项算子的n重叠合:m=(m₁,…,m_n)∈Zⁿ,Z记非负整数的集,α∈(R^k)ⁿ,定义 其中a=(a₁,…,a_n),a_i,f∈(R^k), 主要结果如下: 1.证明了几个介于算子T_^R(-a)^{(m)_w(ξ)),(a,f})的类与多线性奇异积分算子的类之间的对等定理; 2.作为应用,算子及 的某些有界性结果被给出,其中Ω∈H⁰,|β|≤|m|,且,m_i≥1。     

对称凸集上初等对称函数为Schur-凹的充要条件

设x,y∈Rⁿ,x被y所控制记作x(?)y。又w∈Rⁿ,令S_k(x)为第k个初等对称函数。Q_m,n为前n个自然数取m个的严格增序列的集合。对于β∈Q_m,n写w_β=(W_{^β(1),…,WB(m)}∈R^m。本文主要证明了下面的结论:(1)S_k(x)在(?)_w上是Schur-凹的充要条件是(2)S_k(x)≥0,(?)x∈(?)_w的充要条件是S_k(w)≥0且S_k(x)在(?)_w上是Schur-凹的(3)S_k(x)≥0,(?)x∈(?)的充要条件是     

亚纯函数的幅角分布与增长性

设 f(z)为下级μ<+∞的平面内的亚纯函数,argz=θ_k(k=1,2,…,m;1≤m <+∞;0≤θ₁<θ₂<…<θ_m<2π,θ_m+1=θ_1+2π为平面内m条射线,使得对任意的ε>0及X=0,∞有 这里ρ为一任意给定的非负实数.如果f⁽¹⁾(z)(l≥0)具有一个有穷非零亏值 a,则f(z)的级λ≥max(π/ωρ)其中ω=min (θ_k+1-θ_k).     

无限长信号中值滤波列的收敛性

若x ={x(n) }_n∈Z是一实数列 ,对每一正整数 p ,x^(p) ={x^(p) (n) }_n∈Z表示x通过p次窗为 2k + 1的中值滤波后的序列 .证明了{x^{( 2p)} }p≥ 1和 {x^{( 2p -1)} }p≥ 1皆收敛 ,从而完全解决了无限长信号中值滤波的收敛性问题 .     

Ricci曲率具负下界的紧Riemann流形第一特征值估计

本文主要证明丘成桐教授的如下猜测:若M为紧致的m维Riemann流形,直径为d,Ricci曲率具负下界—R,R>0。设λ₁为M的第一特征值,则存在仅与m有关的常数C_m>0,使得λ₁≥π²/d² exp(-C_m(d²)^1/2)。在本文中,Cm=max((m-1)^1/2,2^1/2)。     

关于F2n中的和集

设F₂为两个元素组成的有限域, F₂ⁿ 为F₂上的n维向量空间. 对于集合A, B ⊆ F₂ⁿ , 它们的和集定义为所有两两互异的和a+b所组成的集合, 其中a∈A, b∈B. Green 和Tao 证明了: 设K > 1,如果A, B ? F₂ⁿ 且|A + B|≤K|A|^1/2|B|^1/2, 则存在一个子空间H?F₂ⁿ 满足
|H|>>exp(-O(√KlogK))|A|
以及x,y∈F₂ⁿ, 使得
|A∩(x+H)|^1/2|B∩(y+H)|^1/2≥1/2K|H|.
本文我们将使用Green 和Tao 的方法并作一些修改, 证明如果|H|>>exp(-O(√K))|A|,
则以上的结论仍然成立.     

Brouwer不动点定理与顶点在曲面上的四边形

设D是Euclid平面R² 中的一个半径为r的圆盘 ,F是D上Lipschitz连续的实值函数 ,A₁A₂ A₃ A₄是边长不超过r的等腰梯形 ,∠A₁A₂ A₃ =α≤π/ 2 .借助于Brouwer不动点定理证明了 :若F有一个Lipschitz常数λ≤min{1 ,tgα},则在曲面M ={(x ,y ,F(x ,y) )∈R³ ∶(x ,y)∈D}上存在共平面的四个点 ,它们张成一个与A₁A₂ A₃ A₄全等的四边形 .此外 ,还作了一些进一步的讨论 .     

决定类数为一的(2,2,…,2)型代数函数域

设k=F_q(t)为F_q上以t为变元的有理函数域,F_q为q元域,特征不是2。设L=k(√D₁,…,√D_n~(1/2))是k的2ⁿ次扩张,常数域为F_q,D_i∈F_q[t],n>1。本文证明了:(1)除子类数为1的域L恰为k(√P₁,√P₂)和k(√P₁P₂,√P₁P₃),其中P_i∈F_q[t]为互异一次多项式。(2)理想类数为1的虚域L=k(√D₁,√D₂)(即L的整数环是唯一析因环)必是D₁=t;而D₂=t³-t-1(q=3),t²-t-1(q=3),t~2+2(q=5),或t+c,c∈F_q(或其在变换下的变形)。     

关于有界函数的Fourier部分和

本文研究了正整数那样的序列{n_j},对之,存在f∈L^∞(T),使得|s_ⁿj,(0,f)|→∞(此时说{n_j}属于类P);或者对之,我们有(1/m sum from j=1 to m|S_nj(0,f)|^p)^1/p≤C||f||∞,其中C不依赖于m∈z⁺与f∈L^∞(T)(1≤P<固定)(此时说{n_j}属于类p-SF)。对凸序列,我们证明了{n_j}∈p—SFlog n_j≤cj^min(1/2,1/p),其中C只依赖于{n_j}与P。     

可平行流形和球的同伦群

本文最主要的结果是:对于可平行的连通闭微分流形Mⁿ,如果n=3或7,则有1)M上所有切标架场产生的球的稳定同伦群π_n⁵中的元素,恰为π_n⁵中所有奇元素或所有偶元素,其奇偶性与M的模2半Euler示性数x^*(M)的奇偶性相同;2)对于Mⁿ在R²ⁿ⁺¹中的一个固定的嵌入,其切标架产生的π_2n+1(Sⁿ⁺¹)中的元素集合与Hopf不变量为偶[奇]的元素集合相同,如果x^*(M)≡0[≡1]mod2。     

超线性Duffing方程的Mather集

本文把近年来出现的关于单调扭转映射的Aubry-Mather 理论应用到超线性Duffing方程 x+g(x)=p(t)的研究,这里p(t)∈C⁰(R) 以1为周期,g(x)∈C⁰(R)具有超线性增长性:lim g(x)/x=+∞.其结果可以对缺乏高阶光滑性的大量方程仍给出其整体行为,特别是周期解和拟周期解的刻划.     

神经网络及其在系统识别应用中的逼近问题

本文讨论神经网络的能力问题及其在系统识别中的一些逼近问题。文中证明了:(1)函数g∈L_Loc^P(R¹)∩S′(R′)为—L^P-Tauber-Wiener函数的充要条件为g不是一个多项式;(2)当g∈(L^PTW)时,Σ _i=1^N c_ig(y_i·x+θ_i)全体在L^P(K)中稠密;(3)证明了用一元函数的复合可以逼近定义在L^P(K)上的连续(线性或非线性)泛函及L^P1K₁)到L^P2(K₂)中的连续(线性或非张性)算子。上述结果表明任一非多项式的L_LocP∩S′(R′)中的函数可以作为神经网络隐层中的非线性元,以及神经网络算法可以以任意精度识别一个系统。