Explicit Determination of Torsion Subgroups of Elliptic Curves Over Multi-Quadratic Fields

LotKbeanalgebraicnUmberfield,EanellipticcurveoverK.Thewell-knownMordelLWeiltheOemassertsthattheK-rationalpointsE(K)ofEisafinitelygeneratedabeliangroup(MordelgrouP):E(K)2E(K)torsxZ,whereE(K)torsisthetorsionsubgroup,ristherank(anonnegativeinteger),Zistheadditivegroupofrationalintegers.TheaboveisomorphismsometimesisaIsowrittellasequality:E(K)=E(K)torsxZ".TherearemanyliteraturesstudyingthetorsionsubgrouPE(K)tors'EspeciallyL.Merelrecenilyprovedthe"uniformb0undednessconjecture":F0ranyp…     

四次循环域的相对整基

本文解决了四次循环数域在其二次子域上的相对整基问题.给出相对整基存在的充分必要条件;各型这种域中,具有相对整基的域的个数;并明显构作出了相对整基(当存在时).Narkiewicz,Edgar 和 Peterson 近年来的有关结果(参见[J.of Number Theory,12(1980),77—83])是本文结果的一些特别情形.     

分圆域的Zeta函数若干特殊值的计算公式

设K=Q(ζm)为m次分圆域,K+为其最大实子域,ζK(s)和ζK+(s)为K和K+的DedekindZeta函数.对于m=ps和pq(其中p,q为奇素数),本文分别得到了Zeta函数值ζK+(1-n)和ζK(1-n)/ζK+(1-n)的计算公式,其中n为任意正整数.这发展了F.Hazama最近的关于p次分圆域的结果,还纠正了其一处系数错误.     

(l,l,…,l)型数域

设K~n是Abel数域,Gal(Kⁿ/Q)≌(Z/lZ)ⁿ。本文对一般素数l,一般n刻画了Kⁿ的结构。特别是完全解决了Kⁿ的判别式密度问题,即明显给出ⅰ)Kⁿ的判别式。ⅱ)判别式为D的Kⁿ的个数J(D)。ⅲ)判别式小于X的Kⁿ的个数N(X)～,C是明显给出常数(l=2情形引作者另文)。Hasse,Cohn,Baily等的结果作为特殊情形含于本文结果之中。     

Continued Fractions of Functions Connected With Real Quadratic Function Fields

The theory of continued fractions is very useful in studying real quadratic number fields(see [2-5]). E. Artin in [1] introduced continued fractions of functions to study quadratic function fields, using formal Laurent expansions, which is essentially the theory of completion ofthe function fields at the infinite valuation. Here we first re-develop the theory of continuedfractions of functions in a more elementary and manipulable manner mainly using long divisionof polynomials; and then study …     

决定类数为一的(2,2,…,2)型代数函数域

设k=F_q(t)为F_q上以t为变元的有理函数域,F_q为q元域,特征不是2。设L=k(√D₁,…,√D_n~(1/2))是k的2ⁿ次扩张,常数域为F_q,D_i∈F_q[t],n>1。本文证明了:(1)除子类数为1的域L恰为k(√P₁,√P₂)和k(√P₁P₂,√P₁P₃),其中P_i∈F_q[t]为互异一次多项式。(2)理想类数为1的虚域L=k(√D₁,√D₂)(即L的整数环是唯一析因环)必是D₁=t;而D₂=t³-t-1(q=3),t²-t-1(q=3),t~2+2(q=5),或t+c,c∈F_q(或其在变换下的变形)。     

实二次域类群的启发式论据与结果

对一些类型实二次域的类数h经常含一个固定素数因子p的现象进行了研究 .发现是由于存在一种素理想 ,其p次幂为主理想 .由此给出了Cohen Lenstra启发式论据对此情形的改进 ,即预言理想类数h是素数p的倍的概率为1 - ( 1 -p^-1) ( 1 -p^-2 )… .用同样的想法 ,进而预言所考虑的素理想代表的类P的阶确实为p的概率为1 /p.所得到的这两种概率与计算结果都有很好的符合.     

(l,l,…,l)型数域的相对整基和单位

设K是代数数域,k是其任一子域.Artin和Frohlich曾提出和研究过这一问题:何时K/k具有相对整基?即何时K的整数环O_K是自由O_k-模?当K为双循环双二次域时,此问题至1976年为Washington,Bird和Parry等最终解决.作者曾就四次循环域解决了此问题本文设K为(l,l,…,l)(n重)型数域(即Gal(K/Q)≌(Z/lZ)~n,K/Q为Galois扩张),将对一般的n和素数l完全回答这一问题.特别此结果包含上述双循环双二次域的结果为特别情形.本文还得到这种域的单位的若干结果,这些结果推广了Wada以及在一定意义上,Cohn的结果;包含Kubo(?)a等人关于单位的一些经典结果.     

素数幂次Abel数域的结构和素分解律与相对扩张 *

设L为有理数域Q的Abel扩张 ,其Galois群Gal(L)为q -群 ,q为任意素数 .给出了任一素数p在L中的明显素分解律、惯性群、剩余类次数和L的判别式等 .并将域L分为 6或 8类 (当q奇或偶 ) ,给出了数论结构 .继而研究了相对扩张L/K ,证明了在简单条件下L/K具有相对整基 ;给出了相对判别式D(L/K) ;得出了D(L/K)是由一有理数平方所生成的主理想的充分必要条件 ,以及D(L/K)为有理数生成的主理想的充分必要条件 .特别地 ,证明了 :记x* 为Gal(L)的指数 ,若 [L∶K]≥x* 或x *+ 1 (依q奇或偶 ) ,则L/K有相对整基 ,且D(L/K)是由一有理数平方生成的主理想 .这些结果包含了已有的许多相关结果 .