应用初等变换解决向量的线性表出问题

应用初等变换解决向量的线性表出问题雷英果（福州大学）由于向量的加、减、数乘运算是线性代数的基本运算。初等变换在线性代数中起着重要的作用。我们可以用初等变换计算行列式，求矩阵的逆，计算矩阵的秩，解线性方程组，化矩阵为对角形，．．．等等。但是，在求解把向...     

M矩阵的一些性质

设A=(a_(ij))n×n为n阶实矩阵,若a_(ij)≥0(a_(ij)>0),i,j=1,2,…,n。则称A为非负(正)矩阵。类似地,一个向量,若其分量皆为正(非负),则叫做正(非负)向量。若a_(ii)>0,a_(ij)≤0,i≠j,i,j=1,2,…,n,则A叫做L矩阵,记为A∈L。我们知道,若A∈L,则下述诸条件是等价的:     

关于用初等变换求A^—1

线性代数中,矩阵的初等变换是非常重要的运算手段。在求矩阵的秩、逆矩阵、向量的线性相关性及求解线性方程组等方向却用到了行(列)的初等变换。一般的教材在介绍逆矩阵的初等变换求法时都强凋了仅用行初等变换。实     

极大线性无关向量组与初等变换

<正> 向量组的线性相关性是线性代数中的一个重要基本概念。假设已给m个n元向量a_1,a_2…a_m,这里a_i=(ai_1,ai_2,…ai_n),i=1,2…m。判别向量组a_1,a_2…a_m的线性相关性;求此向量组的极大线性无关组和向量组的秩;将此向量组中任一向量用极大线性无关组线性     

基础解系与初等变换

<正> 胡乃洁在“极大线性无关向量组与初等变换”(工科数学1988年第1期)一文中,介绍了用矩阵的初等行变换的方法,判别向量组线性相关性及求向量组秩等问题。一般地讲,设n个m维向量:     

正交变换及其反问题

一、引言在数值分析中,矩阵变换起着重要作用,特别在求解线性方程组的直接法以及特征值计算的方法中,矩阵变换是基本的。不同特点的变换矩阵将构造出不同特点的数值方法。如稳定的初等变换,Givens 变换(即平面旋转变换)以及 Householder 变换等,其中后两种是正交变换。设 R~(n×n)为所有 n 阶实方阵的全体,R~n 为 n 维稚实欧氏空间,||·||表示欧氏模,S 为     

约束极值的一个可行方向法

<正> 引言我们讨论下面的约束极值问题(NP):(?)f(x_1,x_2,…,x_n) (1)(NP)R={x|a_j~Tx≤b_j,x∈E~n,j∈I},I={1,2,…,m}.(2)其中 a_j=(a~(j_1),a_(j_2),…a_(j_n))~T,x~T=(x_1,x_2,…,x_n)是 n 维向量,b_j 是标量,f(x_1,x_2,…,x_n)是一阶连续可微的凸函数.     

初等变换的应用

在本文中 ,我们首先给出用初等变换求极大无关组这种方法的理论证明 ,同时得到一个向量组的其余向量由极大无关组线性表示的方法。其次阐述了用初等变换化二次型为标准形以及用初等变换解矩阵方程的理论依据 .1　初等变换求极大无关组在《线性代数》课程中 ,初等变换是一种很重要的手段 .用它可求矩阵的秩 ,矩阵的逆 ,线性方程组的通解 .其实它的用途远不止这些 .在同济大学数学教研室编的《线性代数》(第二版 ) 80 - 81页例题 1 0 ;赵树源主编的《线性代数》1 35页的例题 1及杨子胥编的《高等代数习题解》上册的 381 - 382页都用同一种方法…     

矩阵的块初等变换及其应用

<正> 矩阵的初等变换是矩阵变换的一个基本方法,在线性代数这门基础课程中占有一定的地位,有不少的应用。作为这一方法的推广,矩阵的块初等变换在应用十分广泛的分块矩阵中同样起着重要作用,可以方便地解决其他方法难以解决的问题。     

范例集锦

<正> 行列式的计算.逆矩阵的计算,矩阵秩的计算,线性方程组求解、二次型化为标准型、二次型正定性的判别等是线性代数中的重要计算问题,其中初等变换、高斯消去法起着重要作用,线性代数中有关基本理论和基本概念的证明,如向量组的线性相关性、秩的等式与不等式,判别线性空间等等,都涉及到很强的概念,下面我们通过例题,给出这些计算和证明的基本方法.     

善用初等变换展开线性代数理论教学

初等变换是线性代数的基本变换,在线性代数课程中常常被用来计算,例如求解线性方程组、计算方阵的行列式、矩阵的求逆以及更一般的矩阵方程AX=B的求解、计算整数矩阵和域上多项式矩阵的Smith标准形、以及计算对称阵的相合标准形等.本文说明如何灵活利用初等变换,给出线性代数课程中一些重要理论结果的系统而又简洁的证明.     

共轭对角占优矩阵的特征值分布

<正> 设 A=(a_(rs)_(n×n)为 n 阶复矩阵.记μ_r=sum from s≠r |a_(rs)|,N={1,2,…,n},J(A)={r∈N||a_(rr)>μ_r}.我们引入下述定义:定义1 若对r=1,2,…,n 皆有|a_(rr)|>μ_r,则称 A 为按行严格对角占优矩阵,记为 A∈D.若对 r=1,2,…,n 皆有|a_(rr)|≥μ_r,J(A)非空集,且对任一 k(?)J(A),有a_(ks_1)a_(s_1s_2)…a_(s_m)l≠0,l∈J(A),则称 A 为按行准严格对角占优矩阵,记为 A∈SC.若 A为此二类矩阵之一,则记为 A∈D∪SC.     

几类非自治系统的指数渐近稳定性

§1.预备知识对向量及矩阵引进模的概念如下:向量x的模记为||x|| ||X|| sum from i=1 to n |x_i|矩阵A的模记为||A|| ||A||sum from i.j=1 to n |a_(ij)|引理1设A为n×n阶常数矩阵,且它的所有特征根λ_k(k=1,2,…,n)均具有负     

关于极大线性无关组求法的一个问题

<正> 在近几年出版的某些高等代数题解中,给出过一种求向量组的秩与极大线性无关组的方法,具体如:a_1,a_2…,a_t是P~n中的一组向量,依次将a_1,a_2,…a_t写成行,得-s×n矩阵(若为一般n维空间的向量,则取它们在某一基下的坐标向量来作)。然后利用初等行变换将其变化为阶梯形,阶梯形矩阵中非零行的行数即此向量组的秩,与非零行相应的向量即构成该向量组的一个极大线性无关组。此法因为上了本本,教学中有些教师盲目取用,在学     

非线性复差分方程亚纯解的振荡性质

该文主要研究以下两类非线性复差分方程a_n(z)f(z+n)~(j_n)+…+a_1(z)f(z+1)~(j_1)+a_0(z)f(z)~(j_0)=b(z),a_n(z)f(q~nz)~(j_n)+…+a_1(z)f(qz)~(j_1)+a_0(z)f(z)~(j_0)=b(z),其中,a_i(z)(i=0,1,…,n)与b(z)为非零有理函数,j_i(i=0,1,…,n)为正整数,q为非零复常数.当上述方程的亚纯解的超级小于1并且极点较少时,对解的零点分布进行了估计.此外,当亚纯解具有无穷多个极点时,也对极点收敛指数给出下界.     

人工智能中的数学基础之一(线性代数篇)

<正>人工智能技术是建立在数学模型之上,包含有许多数学基础知识,其中线性代数研究的是以向量和矩阵的形式来研究抽象化的万事万物的变化规律.来看两个问题:(1)特征值和特征向量的意义;(2)范数的意义.可以这样来描述向量和矩阵:向量x是n维线性空间中的静止点;线性变换描述了向量的变化,用矩阵     

关于求解实对称非负定矩阵之g—逆的一个算法

我们约定,若对矩阵A=(a_(i.i)n×n进行T_h变换的累计次数为奇数,则称对a_(k.k)进行了有效变换,否则称对a_(k.k)进行了无效变换。若已对个m不同的对角元分别进行了有效变换,则称已对A进行了m次有效变换。若对A进行了一系列变换后,结果矩阵仍存在没有进行有效变换的非零对角元,则称此时消去变换是“可继续的”。选择一个尚未进行有效变换的主对角元进行消去变换,称为选择一个可行方向。若对A沿某可行方向进行了一系列有效变换后,结果矩阵中所有非零主对角元均已进行了有效变换,则称此时巳对A沿此可行方向进行了“无后续的变换”。     

《代数与几何基础》(张肇炽教授主编)一书评析

数学是研究现实事物的数量关系与空间形式的一门科学 .分析学、代数学与几何学是数学的三大基础 ,分析与代数侧重于数学中的“数”,而几何则侧重于数学中的“形”.坐标、向量、矩阵等概念的建立 ,将代数和几何紧密地结合在一起 ,代数为几何提供了研究方法 ,而几何也为代数提供了直观的几何背景 .事实上 ,线性代数中所讨论的“线性”概念来源欧氏几何、线性方程组理论和解析几何 ,线性空间的概念是几何空间的一种代数抽象 .变换的理论 ,如正交变换、仿射变换、射影变换等都是从几何中产生的 .线性代数中的很多重要概念 ,如矩阵的等价、相合、…     

不变性在线性代数中应用两例

本文介绍数学中“不变性”思想，讨论了线性代数中某种条件下秩数不变、特征多项式、特征值不变；对称性、半正定、正定性不变；以及度量性不变．以初等变换为首要方法，解决线性代数中一类重要问题．阐述了矩阵或线性方程组线性变换的本质     

用矩阵的初等行变换求欧氏环中元素的最大公因子

本文给出了欧氏环中多个元素的最大公因子的矩阵求法,解决了求欧氏环上的n元一次不定方程的所有解问题。设R为欧氏环,a_i∈R(i=1,2,…,),则a_1,a_2,…,a_n的最大公因子d=(a_1,a_2,…,a_n)—