点P处的切线不同于过点P的切线

教材第三册 (选修Ⅱ )“导数的概念”一节 ,讲到导数的几何意义时 ,给出了两个例题 (例 3、例 4 ,P114— 115 ) ,都是利用导数求曲线上某一点P处的切线 ,也就是求以P为切点的切线 ,这样的切线只有一条 .如果求过点P的切线 ,就得另当别论 ,点P处的切线当然是过点P的切线 ,但过P点的切线却未必是点P处的切线 ,因为P点可能不是切点 ,从而这样的切线可能不只一条 .为了便于比较 ,我们把教材中例 3(P114)的 (2 )求点P处的切线 ,改为求过点P的切线作为例题 .图 1　例题图例题　如图 1,已知曲线 y =13x3 上一点P 2 ,83,求过点P的切线方程 .解…     

曲线中的切线问题

导数是解决函数的单调性、最值、不等式证明等问题的有力工具,其应用相当广泛,因而是每年高考考查的重点与热点,但考生在这里失分较多,利用导数求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,本文对此问题进行探索研究,归纳总结出了几种常见问题,供广大教师和同学们参考.1.给定切点的曲线切线问题例1求曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程.解因为点(0,1)在曲线y=xex+2x+1     

微积分基本定理的一个证明和理解

Newton- Leibniz公式 (微积分基本定理 )在微积分学中占有极为重要的地位 ,它第一次在定积分(和式的极限 )计算和微分的逆运算 (求导数的原函数过程 )这两个似乎毫不相干的概念之间发现了内在联系 ,并且建立了精确的数学关系 ,从根本上超越了自公元前三世纪至公元十七世纪中叶以来几乎一直沿用的阿基米德 (Archimedes,2 87- 2 1 2 B.C.)时代的“分割求和”的方法 (method ofexhaustion) [6,2 - 3] ,从而把定积分的计算极为简便地转化为求原函数的运算 ,因此 ,微积分基本定理在微积分学的理论发展和实际应用中都有极为重大的贡献和意义 .值…     

微积分学

微积分学是微分学和积分学的总称。它是以极限理论为基础来研究函数的导数、积分、级数的性质和应用的一门学科,它在数学发展中的地位十分重要。十七世纪,由于航海,天文学、力学等科学问题发展的需要,如求运动在某一时刻的瞬时速度、求曲线在某一点的切线,求函数的最大(小)值、求曲线的弧长、曲线围成的面积、曲面围成的体积等亟待解决的问题,促使了微积分的产生。当时许多著名的数学家、天文学家,物理学家为解决这些问题作了大量的研究工作,如法国的费尔马、笛卡尔、笛沙格、英国的巴罗、瓦里士,德国的开普勒等人为微积分的创立都作出了贡献。十七世纪下半叶,英国的牛顿(公元1642-1727     

数形结合的方法在微积分证题教学中的应用

在微积分教学中 ,证明题是一个难点 ,经常会有学生反映对证明题不知如何下手 .常用的证明方法很多 ,其中数形结合的方法是一种简单有效、易学易用的方法 .微积分的许多概念都来源于实际 ,都有其几何或物理意义 ,不少结论也反映了某种几何关系或性质 .如导数与曲线的切线密切相关 ;定积分表示曲边梯形的面积 ;积分中值定理反映了图形的面积之间的关系等 .数形结合的方法就是借助几何直观找出解题思路的方法 .图 11　利用图形的对称性证题例 1　证明 :∫π20dx1 + ( tanx) √ 2 =π4.证　因为被积函数的原函数不是初等函数 ,所以它不能用一般…     

利用初等函数的图象发现不等式

高中代数(甲种本)第一册讲述了初等函数的图象与性质;又在《微积分初步》介绍了利用一阶导数求过曲线y=f(x)上点的切线方程及利用二阶导数判定曲线y=f(x)在定义区间内凸向的方法。利用这些知识,我们可以通过作初等函数的图象发现一些不等式。     

瞄向新高考 把握微积分

微积分(导数与定积分)作为新课标课程的基本内容,07年山东、广东、海南、宁夏四省率先将定积分内容纳入高考.导数的引入为解决函数的性质(单调、极值、最值等)开辟了新的途径,定积分纳入新课程为求中学数学中曲线围成封闭图形的面积带来了生机,拓广了高中数学领域,为数学问题带     

关于导数的复习

导数在高考中具有工具性的作用 ,主要表现在两个方面 :1)应用导数探索函数的单调、极值等性质及其在实际中的应用 ;2 )应用导数确定曲线的切线斜率 .这样一来 ,原来用初等方法难以解决的问题显得轻松 ,从而使函数、曲线这两大考查重点的命题范围得以拓展 .比如 ,在解析几何中 ,我们一般只求圆的切线 ,有了导数 ,我们会很方便地求曲线 y =x3-a ,y =1-axx 在点M (x1,f(x1) )处的切线 (参见2 0 0 2年高考题 ) ;仅从不等式的内部考虑 ,我们很难证明当x >1时 ,不等式x >ln(1+x)成立 ,有了导数 ,我们就可以利用函数 f(x) =x -ln(1+x)的单调性来证…     

关于∫_0~1(ln(1+x)/(1+x~2))dx计算的历史注记

我们在数学分析或高等数学课本中常常遇到定积分∫10ln( 1 +x)1 +x2 dx ,所用方法是将其转化为含参变量积分∫10ln( 1 +αx)1 +x2 dx .美国数学家和数学史家 M·克莱因说得好 ,学生在课堂上遇到的困难 ,历史上的数学家也同样会遇到 [1] .而今天 ,这个定积分的历史已经鲜为人知 .本文对此作一考察 ,以供教学参考 .1　 1 8世纪的积分技术1 8世纪 ,数学家们所用基本积分技术是将被积函数展开成无穷幂级数 ,然后逐项积分 ,但并不考虑幂级数的收敛与一致收敛性 .瑞士大数学家欧拉 ( L.Euler,1 70 7-1 783 )就是利用这样的技术获得自然数平方倒…     

台湾高中数学教材中初等微积分内容的处理和思考

初等微积分在世界各地基本上都已成为高中教学内容 ,在处理方法上则各有千秋 .美国是作为选修内容 ,考的学分可以带到大学 (也有的进了大学 ,经过考试 ,免修部分学分 ) ,因此 ,基本上是大学微积分的一个部分 .前苏联的教材 ,把初等微积分作为讲清初等函数的“工具”,分散到函数教学的各个部分 ,起到了减轻学生负担的作用 .台湾高中数学教材中 ,高三文理教材不同 .其中《理科数学 (上 )》就是全部的初等微积分内容 .1　总安排1 .1　全书分四章 :极限与导数 ,导数的应用 ,积分及其应用 ,其它的初等函数 .前三章介绍微分与积分的内容 ,其求导、…     

高中生对导数概念理解情况的调查研究——兼与大学生的比较

1 调查目的 "导数是微积分的核心概念.理解导数概念的实质、把握导数概念的生成所反映的思想和方法,是学习微积分的重中之重."[1]为了体现"强调本质,注意适度形式化"、"发展学生的数学应用意识"、"注重提高学生的数学思维能力"的基本理念,<普通高中数学课程标准(实验)>(以下简称"标准")在微积分课程设计方面逾越了形式化极限概念的学习,"导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引入的.……经历由平均变化率到瞬时变化率的过程,……"[2]这是数学家、数学教育专家所倡导的理论层面的课程,具体落实到教学实践中,学生对导数概念理解的怎样?是否符合"标准"的要求?如果以数学专业本科生作为参照,我们希望了解高中生对导数概念理解的程度以及高中生和大学生在导数概念学习中存在的问题,以期更好的促进导数的教学与课程的建设.     

一道高考试题的多种解法赏析

<正>1试题再现(2020年新高考数学全国Ⅰ卷第21题)已知函数f(x)=ae^(x-1)-lnx+lna.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.问(1)易得,下面给出问(2)解法.2隐零点法隐零点法是处理导函数零点不能直接求出的情况下常用的方法,借助隐零点,可以进一步研究原函数的单调性和极最值,给解决导数问题带来极大帮助.     

函数的切线综合探究

研究函数切线问题是高考热点之一,导数与函数的切线有缘,因为f(′x0)的几何意义是曲线y=(fx)在点(x0,(fx0))处的切线的斜率.因此,利用导数求解函数问题,几乎是新课程高考每年必考的内容.在这类问题中,导数所肩负的任务是求切线的斜率,这类问题的核心部分是考查函数的思想方法和解析几何的基本思想方法,真正体现出函数、导数既是研究的对象又是研究的工具.     

椭圆积分在中国的一个历史注记

考察中国清代数学家在椭圆弧长问题上的方法与成果,以及晚清微积分译著中传入的椭圆积分知识.晚清数学家的知识构成影响着他们方法的选择和微积分的吸收程度.     

试谈通用高中《数学》第四册一元微积分的教学

通用高中“数学”第四册安排了一元微积分的初步知识。微积分是人们认识客观世界中量的运动变化规律的有力工具,它既是高等数学的基础,又直接应用于实际。中学教材编人微积分对于学生毕业后直接参加工作或者继续学习都有好处。在普通中学如何讲授微积分初步知识还缺少经验。本文就如何理解教材以及一些教学设想谈些粗浅看法。一、教学的目的与要求、重点、难点教学的目的与要求是: 1.使学生初步了解导数、微分和积分的概念及其产生的背景。 2.使学生初步掌握基本的微分法和积分法。 3.使学生能解决微积分应用中的几则最基本的问题;了解微积分在实际中有广泛应用,同时也是研究传统数学的有力工具。 4.使学生初步了解微积分的基本思想,并通过它对学生进行辩证唯物主义方面的教育。导数,微分,原函数,不定积分,定积分是最基本的概念;导数及积分的四则运算,复合函数求导法,换元积分法以及基本初等函数的微分表和基本积     

导数与解析几何问题

导数是新教材中加入的内容 ,学生对这部分知识的掌握程度往往只局限于教材上的方法 ,如利用导数求切线、判断函数在给定区间上的单调性以及求极值和最值 .但如果我们对导数的意义作更深入的分析研究 ,就会发现一个新的天地 ,运用导数方法可以比其他方法更简便地解决有关问题 .例 1在x2 =2 y上求一点P ,使P到直线y =x -4的距离最短 .方法 1设点P(x0 ,y0 ) ,则P到直线距离d =|x0 -y0 -4 |2 =x0 -12 x20 -42=12 (x0 -1) 2 + 722 =12 (x0 -1) 2 + 722 ,可知 ,x0 =1时 ,d的最小值为724.∴　P点为 (1,12 ) .方法 2　平移直线y =x -4 ,使它与抛物…     

“在”与“过”的差别

<正>《数学课程标准》及《高考考试说明》中要求学生能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,会用导数函数的最值和极值.作为基础知识的导数的几何意义中,求曲线"在"某点处的切线和"过"某点的切线一类问题,让学生陷入了迷糊状态.下面举例来说明.例1曲线y=x³+x+1在点P(1,3)处的切线方程为___.解因为P(1,3)在曲线上,在该点处的切     

例说导数的工具价值

当前中学数学中导数的工具性和应用主要表现在三个方面:切线的斜率(导数的几何意义);函数的单调性;函数的极值和最大、小值. 1优化了综合性问题的解法导数为有效地解决一些传统的初等数学问题提供了一般性的方法.如求曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的最大、小值、不等式的证明及     

数学课堂教学中的"历史重演"

几个月前,笔者在教"导数与切线"时(高中数学新教材第三册选修Ⅱ),设置了如下问题:已知曲线f(x)=x2,求在点(1,1)处曲线切线的斜率.通过引导学生用计算机探究,发现了切线可看作是割线的极限位置.鉴于学生已学过极限的运算,我当时认为学生接着求切线斜率该是水到渠成之事,于是,经过简单启发后就在黑板上写下了:……     

综合题新编选登

题 8　设函数ｆ(ｘ) =2ｘ -ｘ2 - 1 (ｘ≥ 1 ) ,试解答下列问题 :1 )解不等式ｆ(ｘ) ≥ 2 ;2 )求出使ｆ(ｘ) 在Ｉ上是递增函数的最大的区间Ｉ ;3 )求出最大的实数ａ ,使得ｆ(ｘ) ≥ａ·ｘ恒成立 .解　 1 )把 ｆ(ｘ) ≥ 2写为 2 (ｘ - 1 )≥(ｘ - 1 ) (ｘ 1 ) ,显然ｘ =1是该不等式的一个解 ;当ｘ >1时 ,两边可约去ｘ - 1得 :2·ｘ - 1≥ｘ 1 ,即 4(ｘ - 1 )≥ｘ 1 ,解得ｘ≥53 ,因此原不等式的解为 :ｘ =1或ｘ≥53 .2 ) [方法 1 ]　 (导数法 ,供学习过简单微积分课程的高中老师和高中同学参考 ) :求导数得ｆ′(ｘ) =2 -12 ·2ｘｘ2 - 1 =…