调和级数与P级数敛散性的简单证法

关于p级数sum from n=1 to ∞ (1/n~p)的敛散性,Cohen和Knight于1979年在(Mathematic Magazine)(Vol.52(1979),No 3)中给出了一个简单的证法;本文则给出又一个简单的证法,同时本文还给出调和级数发散的一个更为简洁的证     

重要极限■(1+(1/n))~n=e 的简洁证明与e的估计式

本文利用柯西不等式(a_1…a_n)~(1/2)(a_1+…+a_n)/n (a_i>0,1≤i≤n),给出极限(?)(1+1/n)=e 存在的一个相当简洁的证明.同时给出计算 e 的近似值及其误差估计的一个简易方法.     

2—距离空间中C._Lipschitz映象的不动点定理

本文在2-距离空间中引入了包涵广泛的一类C.-Lipschitz映象,研究了这类映象具有不动点的充要条件或充分条件。     

微积分基本定理的一个证明和理解

Newton- Leibniz公式 (微积分基本定理 )在微积分学中占有极为重要的地位 ,它第一次在定积分(和式的极限 )计算和微分的逆运算 (求导数的原函数过程 )这两个似乎毫不相干的概念之间发现了内在联系 ,并且建立了精确的数学关系 ,从根本上超越了自公元前三世纪至公元十七世纪中叶以来几乎一直沿用的阿基米德 (Archimedes,2 87- 2 1 2 B.C.)时代的“分割求和”的方法 (method ofexhaustion) [6,2 - 3] ,从而把定积分的计算极为简便地转化为求原函数的运算 ,因此 ,微积分基本定理在微积分学的理论发展和实际应用中都有极为重大的贡献和意义 .值…     

调和级数和p-级数敛散性证明的一次性简单证法

对国内外流行的研究生或本科教材以及有关文献中关于调和级数和 p-级数剑散性证明的处理方法 ,本文作了概述和利弊分析 ,并且给出了比 Cohn和 Knight的方法 [10 ]以及作者 1 992年的方法 [11]更为优美的一种证明方法 .本文的方法非常初等 ,不依赖比较判别法 ,一次性整个地证明了 p-级数 (包括调和级数 )早敛法 ,而且给出了收敛 p-级数和的一个比 [5]中更精确的上界和一个新的下界 .     

罗尔定理的一个证明

本文利用连续函数的极值原理、介值定理以及极限的两边夹定理,给出了罗尔(Rolle)中值定理一个简洁证明。由于该方法迴避了运用(未被编入工科高等数学教程中的)区间套原理,从而比《美国数学月刊1979(86)》发表的Hans Samelson[1]和Alexander Abian[2]的两个新证明,在我国理工科数学有关的教学实践中更为通用。特别地,本文的方法还避免了使用文[1]所引用的P.Lévy平行弦定理[3]。     

也谈关于微分中值定理的教学

《通报》83年第8期发表了陆俊杰干同志“关于微分中值定理教学的一点看法”的文章,提出了用演绎、推理的方法,求所需的辅助函数,但从另一个角度,学生很自然的想到微分中值定理与洛尔定理仅是区间端点函数值相等与不相等的区别,能否通过旋转变换去解决这个问题呢?!我们从旋转变换的图形不变性可知:通过旋转变换满足洛尔定理的条件的,而且旋转的坐标轴显然是平行于直线y=(f(b)-f(a)/b-a)x的,因此,得出微分中值定理的又一证明。     

一元三次方程x~3+px+q=0的一个解法

对于一元三次方程x~3+px+q=0,(q(?)0)的求解,只引入一个参数y,令x=y-q~(1/3)+-y~(1/3)代入方程消掉常数项q,利用因式分解就可达到降次求解的目的。这种解法是从待定方法的角度来考虑的。令x=k+l,代入x~3+px+q=0,得 (1) k~3+l~3+3kl(k+l)+p(k+1)+q=0应当注意到k、l是可以按需要加以适当选取的。如果存在关于k、l的这样一对选择,使在(1)中的入k~3+l~3+q为零,那么,(1) 最终可以通过提取公因式k+l的方法而降次求解。可以看出,满足这种要求的k、l的选择有很多种,但为了方便,我们在这里只选择这样的一对k、l,使其满足