关于正态随机变量的独立性与相关性

众所周知．两个随机变量(向量)独立，则一定不相关，而不相关不一定独立；但不少初学者却误以为两个正态随机变量(向量)的独立性与不相关性是等价的，并由此导出一些理论上的错误．产生上述错误的根源也许在于对如下多元正态分布的性质了解不透彻：     

关于正态随机变量的线性函数的分布

<正> 关于正态随机向量有结论:一个n维正态随机向量(ξ_1,ξ_2,…,ξ_n)的线性函数a_1ξ_1+a_2ξ_2+…+a_nξ_n是一维正态随机变量,其中a_i,i=1,2,…,n是不全为0的实数。n个相互独立正态随机变量是n维联合正态的,故n个独立正态随机变量之线性函数是一维正态的。     

数字时间序列分析(Ⅱ)——第一讲 随机数据分析基础(Ⅱ)

2-2.正态分布重要性质 正态分布有许多独有的重要性质,仅介绍常用到的几个 Ⅰ.独立性和相关性等价 如果一个正态分布向量的各分量之间不相关,即cov(x(i),x(j))=0,i≠j,i,j= 1,2,…,s, var x(i)=σi2,这时协方差阵R=(), x的概率密度可写成量x(i)的边缘概率密度,此式表明,对于正态随机向量,其各分量两两相互独立的充分必要条件是它们两两不相关.同样可以证明,两个有联合正态密度的随机向量相互独立的充分必要条件是它们不相关。 Ⅱ.正态分布的条件密度保持正态性不变 我们先对二维正态分布情形证明这个性质的正确性 设(x(1),x(2))服从二维正…     

离散型随机变量的几种独立性及相互关系

随机变量的独立性在概率论中有着十分重要的意义.本文给出了离散型随机变量与离散型随机向量相互独立的概念,条件独立的概念,以及几种独立性的相互关系.     

例说独立性与不相关性的关系——兼说高等数学与概率统计的关系

本文讨论独立性与不相关性的关系,除了随机变量之间的独立性必定导致二个随机变量之间的不相关性外,以几个服从二元二点分布、二元均匀分布、二元指数分布、二元正态分布的二个随机变量之间的独立性与不相关性作为例子:说明独立性与不相关性之间的其他三种情形;不难发现,刻划独立性的是函数关系,刻划不相关性的是数字关系;由此,同时讨论高等数学与概率统计的关系,也列出了高等数学与概率统计之间的四种情形.     

条件期望与三变量独立性的两个充要条件

随机事件的独立性、随机变量的独立性是概率统计中的重要概念,不少学者都在这方面有所讨论.本文作者讨论了三维连续型随机变量（X,Y,Z）中三个分量X,Y,Z的相互独立性、条件独立性,得到三个引理.利用条件期望及三个引理作者给出了三变量相互独立的两个充要条件.     

二元Freund型指数分布的独立性和不相关性

本文讨论二元Freund型指数分布的独立性和不相关性,分别获得了两个服从二元Freund型指数分布随机变量相互独立及不相关的充分必要条件;并得到了其相关系数的精确表达式,证明了在对称情形其相关系数落入负三分之一与一之间,文末证明了X,Y之间的渐近独立性.     

二维正态分布的假设检验

将二维随机向量分解成互不相关的主成分,通过对两主成分的正态独立性检验达到二维随机向量正态性检验的目的.     

正态向量的函数与线性型之间的独立性

本文通过讨论正态向量X的函数f(X)与线性型AX之间的独立性，把已知的正态向量的二次型与线性型的独立性问题作了推广，并得出了一系列推论。     

条件数学期望与随机变量独立性的一个充要条件

随机试验的独立性、随机事件的独立性、随机变量的独立性均是概率统计中的重要概念,不少学者都在这些方面有所讨论.本文作者就二维离散形随机向量(ξ,η)中两个分量ξ与η的相互独立性展开讨论.先是证明了三个引理,其中引理1在一般概率论教科书中均有介绍,但为使读者方便,作者也作了证明.利用三个引理,作者找到随机变量独立性的一个充要条件.     

关于正态随机变量线性组合的分布

本文用不同于Rosenberg例的方法构造了两个正态随机变量之和不是正态随机变量的例子,并给出了任意n(≥2)个正态随机变量之和不是正态随机变量的例子。     

两种独立性定义的等价性

随机变量独立性的定义,一般由随机变量的分布函数来刻画.但在实际应用中,却通常使用其等价条件来判断随机变量是否独立.本文分别针对连续型和离散型两类随机变量,论证了这两种独立性概念之间的等价性.     

渐近正态随机变量函数的极限分布

基于渐近正态随机变量,导出随机变量函数极限分布的两个一般性理论结果.作为应用,证明了渐近正态随机变量一系列具体函数的极限分布,其中包括泊松随机变量平方根的渐近正态性,以及随机变量部分和在正则化常数是随机变量情况下的渐近正态性.     

一个半参数可加模型中渐近性的一点注记

假设是一组光滑未知的函数，β＝（β１，…，βｐ）τｐ×１待估向量，ε是具有均值为０，方差为σ２的随机变量，基于模型我们构造了β的渐近正态估计以及具有收敛速度１／３的ｇ的估计．     

Gram行列式的一个改进不等式及其在随机变量相关度量上的应用

设Ｘ为ｎ维列向量组成的矩阵，本文证明了关于Ｇｒａｍ行列式ｄｅｔ（Ｘ，Ｘ）的一个不等式，这一结果改进并推广了Ｓｚａｓｚ不等式。对于一组随机向量或随机变量，若它们的联合方差矩阵的元素不完全知道，则它们的相关性未知，这时利用本文得到的不等式可以求得它们的相磁系数的一个下界。     

Fourier变换在连续随机变量之和分布中的应用

本文给出了Fourier变换在求解相互独立的连续随机变量之和分布中的应用，证明了正态随机变量的可加性，方法简便、快速.这些充分显示了此工具的实用性.     

关于正态随机变量比值分布的一个注记

探讨了独立且均值为0的两个正态随机变量的比值分布,给出一个理论结果并将其推广至更一般的对称分布情形,讨论了该结论在概率统计教学中的几个应用.     

多维指数分布

本文讨论了服从多维指数分布的随机向量的各分量间的独立性与相关性，证明了诸分量相互独立的充分必要条件是它们两两无关；并证明了多维指数分布类在弱收敛下的封闭性．     

阵列代数与高阶矩

阵列代数与高阶矩李作发，罗玉芳（武汉测绘科技大学，武汉４３００７０）在概率中，ｎ维随机变量的协方差阵表达了各分量围绕它们的数学期望的疏散程度，以及各分量间相关程度的一组数字特征．我们将利用阵列代数引进ｔ个ｎ维随机向量的各分量间相关程度的ｔ阶相关中心矩...     

连续随机变量的随机独立性与回归独立性

回归独立性是指给定随机变量 X时 ,随机变量 Y的条件期望 E( Y|X)不依赖于 X.前人讨论了离散型随机变量回归独立性与随机独立性的关系 ,得到了二者等价的充分必要条件 .对连续型随机变量的情形加以讨论 ,获到了二者等价的几个充分必要条件 ,并说明在统计分析中的应用 .