虚二次域Q((1-4k~n)~(1/2))类数整除性的例外情况

设d是无平方因子正整数,h_K是虚二次域K=Q((-d)~(1/2))的类数.又设d满足1+da~2=4k~n,其中a,k,n是适合k1,n2的正整数.运用初等数论方法给出了数组(d,a,k,n)可使n|h_K成立的必要条件.     

虚二次域Q(√1-4kn)类数整除性的例外情况

设d是无平方因子正整数,hK是虚二次域K=Q(√-d)的类数.又设d满足1+ da2=4kn,其中a,k,n是适合k＞1,n＞2的正整数.运用初等数论方法给出了数组(d,a,k,n)可使n|hK成立的必要条件.     

一个课本例题结论的推广

高中代数下册 P2 52上 ,利用 ( 1 - 1 ) n =0 ,左边用二项式定理展开 ,推得结论( C0n C2n … ) - ( C1n C3n … ) =0 ( 1 )即 C0n- C1n C2n- C3n … ( - 1 ) n Cnn=0 ( 2 )笔者经探索研究 ,发现 ( 2 )式有如下的推广形式 .定理　设 m、n是非负整数 ,且 m 相似文献   

实二次城 Q(■)类数的可除性

设 d 是无平方因子正整数,h(d)是实二次域 Q(d~(1/2))的类数.本文证明了:如果 da~2=1+4k~(2n),a、k、n 是正整数,k>1,n>1,n 的奇素因子 p和 k 的素因子 q 都适合 gcd(p,(q-1)q)=1,而且 2k~n+ad~(1/2)是 Pell 方程u′~2-dv′~2=-1 的基本解,则除了(a,d,k,n)=(5,41,2,4) 以及 n=2,k=P_mP_(m+1) 或者 2Q_mQ_(m+1) 以外,h(d)=0(modn),这里 m 是正整数,P_m=1/2((1+2~(1/2))~m+(1-2~(1/2))~m),Q_m=1/22~(1/2)((1+2~(1/2))~m-(1-2~(1/2))~m).由此可推得:对于任何正整数 n,存在无限多个实二次域,可使 n 整除其类数.     

实二次城 Q(■)类数的可除性

设 d 是无平方因子正整数,h(d)是实二次域 Q(d~(1/2))的类数.本文证明了:如果 da~2=1+4k~(2n),a、k、n 是正整数,k>1,n>1,n 的奇素因子 p和 k 的素因子 q 都适合 gcd(p,(q-1)q)=1,而且 2k~n+ad~(1/2)是 Pell 方程u′~2-dv′~2=-1 的基本解,则除了(a,d,k,n)=(5,41,2,4) 以及 n=2,k=P_mP_(m+1) 或者 2Q_mQ_(m+1) 以外,h(d)=0(modn),这里 m 是正整数,P_m=1/2((1+2~(1/2))~m+(1-2~(1/2))~m),Q_m=1/22~(1/2)((1+2~(1/2))~m-(1-2~(1/2))~m).由此可推得:对于任何正整数 n,存在无限多个实二次域,可使 n 整除其类数.     

带弦圈的最小2宽直径

设k为正整数,G是简单k连通图.图G的k宽直径,dk(G),是指最小的整数ι使得对任意两不同顶点x,y∈V(G),都存在k条长至多为ι的内部不交的连接x和y的路.用C(n,t)表示在圈Gn上增加t条边所得的图.定义h(n,t):min{d2(C(n,t))}.本文给出了h(n,2)=[n/2].而且,给出了当t较大时h(n,t)的界.     

局部时的Cauchy主值的精确完全收敛性

设{X,Xn;n≥1}为i.i.d.的随机变量序列,其均值为0且EX2=1.令s={Sn}n＞0为一维随机游动,其中S0=0,Sn=n∑k=1 Xk,对n≥1.定义G(n)为随机游动局部时的Cauchy主值.本文得到了,若存在某δ1＞0,E|X|2r/(3p-4)+δ1＜∞成立,那么对4/3＜p＜2及r＞p,有limε→02(r-p)/2-p∞Σn=1nr-2/p{│G(n)│εn1/p}=2p/(r-p)πE│N│2(R-P)/2-P∞ΣK=O(-1)K(2/2K+1)2(R-P)/2-P+1.     

等差数列的等比累进和

设公差为d的等差数列{an}的前k1,k2,…,kn项的和,依次为Sk1,Sk2,…,Skn.当k1,k2,…,kn是公比为q(|q|≠1)的等比数列时,则称Sk1 Sk2 … Skn为等差数列的等比累进和,并记为SSn.若令m=k1(1-qn)1-q,m′=k1(1 qn)1 q,则有如下的定理SSn=ma1 12m(m′-1)d.证∵公差为d的等差数列{an}的前ki项和为Ski=kia1 12ki(ki-1)d=12(2a1-d)ki 12dki2,令i=1,2,…,n,得n个等式,把这n个等式的两边分别相加,并整理得SSn=Sk1 Sk2 … Skn=12(2a1-d)(k1 k2 … kn) 12d(k12 k22 … kn2).由k1,k2,…,kn是公比为q(|q|≠1)的等比数列,可知k12,k22,…,kn2是公比为q2…     

虚二次域类数的可除性

设正整数d1,d2满足gcd(d1,d2)=1,d=d1d2＞3且d1无平方因子,h(d)为虚二次域Q(√-d)的类数,这里d1,d2满足下列等式d1a2+d2b2=4kn, gcd(d1a,d2b)=1, a,b,k,n∈N.k＞1,n＞1,b |* d2,其中符号b |* d2表示b的每个素因子整除d2.本文应用Bilu,Hanrot和Voutier关于本原因子的一个新结果,给出了这类类数问题的完整的解答.同时还给出了广义Ramanujan-Nagell方程的一般性结果.     

数学问题解答

20 0 0年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 4 1 .求函数 y=sinnx cosnx ( n∈ N )的最值 .解　 ( 1 )当 n=1时 ,y=sinx cosx=2 sin( x π4)∴　 ymax=2 ,ymin=- 2 .( 2 )当 n=2 k 1 ( k∈N)时 ,| y| =| sinnx cosnx|≤ | sinnx| | cosnx|≤ | sinx| 2 | cosx| 2 =1∴　 - 1≤y≤ 1∴　 ymax=1 ,ymin=- 1 .( 3)当 n=2 k( k∈N)时 ,y=sinnx cosnx≤sin2 x cos2 x=1 ,∴　ymax=1 ;∵　 sin2 x cos2 x=2× 12 ,∴　设 sin2 x=12 - d,cos2 x=12 d.∴　 y =sinnx cosnx=( sin2 x) k ( cos2 x) k=( 12 - d) k ( 12 d…     

不等式研究成果集锦(17)

20 2　设 xi >0 ,i =1,2 ,… ,n,n≥ 2 ,∑ni= 1xi =1,记 Ek(x) =Ek(x1 ,x2 ,… ,xn) =∑1≤ i1 <… 0 )时 ,有Ek(1x1 - m,… ,1xn - m)≥ Ckn(n - m) k.(续铁权 .2 0 0 1,1)2 0 3　设 Ai >0 ,λk>0　 (i =1,2 ,… ,n;k = 1,2 ,… ,n) ,∑ni=1Ai ≤π,n∈ N.(1)若 0≤λ≤ 1,有C2n(1-λ21 λ2 ) 2 (λπ) 2 ≤ (n - 1 cosλπ) .∑nk= 1cos2 λAk - cosλπ(∑ni=1cosλAi) 2 ≤ C2n(λπ) 2 ,等号同时成立当且仅当λ=0 .(2 )若 0≤λ≤ 1,有4λ2 C2ncos2 λ2 π≤ (n - 1 cosλ…     

R^(1)上莫朗测度关于几何平均误差的最优Voronoi分划北大核心CSCD

设E是R^(1)上由有界闭区间J,(nk)_(k)=1∝和C_(k)=(ck,j)j=1nk1)k≥1确定的莫朗集.μ是E上由正概率向量序列(P_(k))k≥1所确定的一个莫朗测度.μ关于几何平均误差的所有n-最优集组成的集簇记为Cn(μ).设αn∈Cn(μ)及αn对应的任一Voronoi分划{Pa(αn)}a∈αn.证明了■对于每个aαn,Pa(αn)包含一个以a为中心,半径为d2|Pa(αn)∩E|的闭区间,其中d2是一个常数,|B|是集合B?R^(1)的直径.记en(μ)是μ上的n-级几何平均误差及ên(μ):=logen(μ),证明了ên(μ)-ên+1(μ)■n-1.     

关于群中乘积元素的阶

讨论群中两个元素a,b的阶不相等时其乘积ab的阶的一类计算问题.设ㄧaㄧ=m,ㄧ bㄧ=n,若(m,n)=1,且存在k∈N使a=bk,则有ㄧabㄧ=mn/d1d2,其中d1=(m,k+1),d2=(n,k+1).若m≠n,ab=ba,且(m,n)ㄧm/(m,n),或(m,n)ㄧn/(m,n),则有ㄧabㄧ=[m,n].     

加法表示函数的若干性质

令A={a_1,a_2,…}(a_1≤a_2≤…)是一个无限非负整数序列.设k≥2是固定的正整数,对n∈N,令R_k(A,n)表示方程a_i_1+…+a_i_k=n解的个数.令R_k~((1))(A,n)及R_k~((2))(A,n)分别表示上述方程带限制条件i_1…i_k及i_1≤…≤i_k时解的个数.最近,陈永高和本文作者证明了如下结果:设d是一个正整数,若对充分大的所有n皆有R_k(A,n)≥d,则R_k(A,n)≥d+2[k/2]!d~(1/2)+([k/2]!)~2对无穷多个n成立.本文获得了R_k~((1))(A,n)及R_k~((2))(A,n)的相关结果.     

关于一个素数和一个素数的k次方和问题

设k≥2,Hk表示一个正整数n的集合,使对任意的正整数q,同余方程a+b2三n(modq)在模q的既约剩余系中有解a,b.Dk(N)表示n≤N,n∈Hk,但不能表成p1+p22=n的数的个数,其中p1,p2表示素数.则在GRH下,Dk(N)<<N1-1/k(h(k)+1)+ε,这里k=2,3;h(2)=2,h(3)=8.     

关于一对不等式的推广

文[1]证明了一对有趣的不等式:设a,b,c为正数,且a b c=1,则有(b1 c-a)(c 1a-b)(a1 b-c)≥(67)3,(b1 c a)(c 1a b)(a1 b c)≥(161)3.为了推广这两个不等式,文[1]提出下面四个命题,要求证明或否定之.设a1,a2,…,an为正数且其和为1.命题1∏ni=1(ai 1ai 1-ai 2)≥(2n-1n)n.命题2∏ni=1(ai 1ai 1 ai 2)≥(2n 1n)n.命题3∏n-1i=0(∑K1j=1ai j-∑nj=k 1ai j)≥(kn nk-1)n.命题4∏n-1i=0(∑K1j=1ai j ∑nj=k 1ai j)≥(kn-nk 1)n.其中an i=ai(i=1,2,…,n-1),k为小于n的正整数.本文先证明命题3为真,然后对其余三个命题给出反例.令f(x)=ln(1-1x-x),0相似文献   

一道二项式证明题的证法研究与改造

在二项式内容中曾做到这样一题:例题证明C1n 2C2n 3C3n … nCnn=n·2n-1(n∈N*).1例题的证法研究本题一般常见的证明方法有3种.证明1(数学归纳法)n=1时,左边=C11=1,右边=1·21-1=1,等式成立;假设n=k(k≥1)时等式也成立,即C1k 2C2k 3C3k … kCkk=k·2k-1,则n=k 1时,C1k 1 2C2k 1     

关于独立同分布正态随机变量部分和尾概率的注(英文)

设{X,Xn,n≥1}是独立同分布正态随机变量序列,EX=0且EX2=σ2>0,Sn=sum (Xk) form k=1 to n,λ(ε) =sum form (P(|Sn|≥ nε)) form n=1 to ∞.在本文中,我们证明了存在正常数C1和C2,使得对足够小的ε>0,成立下列不等式C1ε3 ≤ε2λ(ε)-σ2+ε2 /2 ≤ C2ε3.     

数学奥林匹克问题选登

1991年7月号问题解答 (解答由问题提供人给出) 3.设ABCDEF是内接于半径为r的圆的六边形,AB=CD=EF=R,则BC、DE、FA的中点G、H、K是某个等边三角形的顶点。证明设ABCDEF内接于以0为圆心,以r为半径的圆,顶点按逆时针方向排列,对应复数依次设为a、b、c、d、e、f,因|AB|=r,所以△0AB是等边△,因此b=aω,其中ω=e(x)/3,同理,d=cω,f=eω,又设G、H、K对应复数为g、h、k,则g=b c/2,h=d e/2,k=f a/2,于是,h、k,则g=b c/2,h=d e/2,k=f a/2,于是,     

含正元个数最少的本原矩阵

设(n,d)={A|A是含d个正对角元的n阶本原矩阵,r(A)=k}.对d=1,2,…,n,k=2,3,…,n-2,本文分别刻划了(n,d)中含正元个数最少的矩阵.