共线向量定理和共面向量定理的理解与教学

命题1 如果点O为空间任意一点，OP=αOA＋βOB（α，β∈R），其中α＋β=1是A，B，P三点共线的充分不必要条件．     

争鸣

问题问题91对空间任一点O和不共线的三点A,B,C,OP=xOA yOB zOC(x y z=1)是四点P,A,B,C共面的什么条件?观点1是充要条件.证必要性:由四点P,A,B,C共面,得AP=yAB zAC,则对空间任一点O,有OP-OA=y(OB-OA) z(OC-OA),OP=(1-y-z)OA yOB zOC,令x=1-y-z,则x y z=1.充分性:由OP=xOA yOB zO     

空间向量基本定理教学价值新探

高中《数学》教材[1]中对空间向量基本定理有如下推论:推论设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x,y,z,使OP=xOA yOB zOC①对以上推论进行进一步探讨,我们得出:引理1设O、A、B、C是不共面四点,对空间任一点P,有OP=xOA yOB zOC,则P点在平面ABC(由     

共面向量定理及其推论在立体几何中的应用初探

共面向量定理如果两个向量a,b不共线,则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的实数对x,y,使p=xa yb.推论空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在唯一的实数对x,y,使MP=xMA yMB.运用上述定理及其推论可以巧妙地解决立体几何中的许多问题.1证线面平行例1已知P是正方形AB     

巧用三点共线 妙解向量问题

<正>若两个向量OA、OB不共线,根据平面向量基本定理我们知道,向量OP与向量OA、OB共面的充要条件是:存在唯一实数对λ、u,使OP=λOA+μOB,在这个定理中,如果规定λ+u=1,则我们就有如下定理及推论成立.定理如果两个向量OA、OB不共线,并且向量OP=λOA+μOB,则P、A、B三点共线的充要条件是λ+u=1.     

两角和与差的三角函数

问题91 对空间任一点O和不共线的三点A、B、C、^→OP=x^→OA y^→OB x^→OC（x y z）=1是四点P，A，B，C共面的什么条件？     

利用三点共线定理解竞赛题

<正>人教社B版必修4第97页例2:已知A,B是直线l上任意两点,O是l外一点,求证:对直线l上任意一点P,存在实数t,使OP关于基底{OA,OB}的分解式OP=(1-t)OA+tOB①,并且,满足①式的点P一定在l上.对这道例题经过梳理,可以得到平面向量中三点共线定理:     

直线向量的参数形式在解题中的运用

全日制普通高级中学数学教科书(实验修订本·必修)第二册(下B,P_(28))(人民教育出版社, 2003)给出共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a =λb.其中介绍一个推论:如果L为经过点A且平行于已知非零向量a的直线,那么对于任一点     

平面向量等和线应用举隅

<正>本文通过呈现用等和线解决平面向量相关问题的几种视角,试图使同学们能够充分体会到运用等和线解题的广泛性和灵活性,领略到学习平面向量的乐趣.平面向量中存在一个三点共线的定理:在平面中,A、B、C三点共线的充要条件是:■(O是平面ABC内任意一点),其中x+y=1.     

结构式x_1y_2-x_2y_1的几何意义及其应用

1定理及推论定理设直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（O，0）、A（x1，y1）、B（x2，y2），且点O、H、B按适时针方向排列，记∠AOB=θ（下同），那么证明在直角坐标系中，以坐标原点O为顶点，射线Ox为始过，OA、OB为终边的角分别记为θ1、θ2，不失一般性，设，记由上述证明过程可见，若点O、A、B按顺时针方向排列，则有特别地，当点O、A、B在同一直线上时，即当θ=0或θ=π时，由三点共线易得x1y2-x2y1=0，故仍然成立．于是有推论如果直角坐标系中，任意三点O、2若干导出结果上述定理与推论不仅仅揭示了直角坐标系中三角形…     

用一个向量式解一组高考试题

向量是数学中的重要概念之一 .新的《全日制普通高级中学数学教学大纲》(试验修订版 )已将《平面向量》纳入教学计划 ,编入高中数学教材 .本文拟利用高中数学 (试验修订本.必修 )第一册 (下 ) P1 0 7例 5所得结论 ,即直线上的游动点公式解一组高考试题 .直线上的游动点公式 :设 O是点 A和 B的连线外一点 ,则点 P和 A、B共线的充要条件是存在实数λ,使得OP =λ OA ( 1 -λ) OB(如图 1 ) .图 1　　　　　　图 2例 1　已知两点 P( - 2 ,2 ) ,Q( 0 ,2 )以及一条直线 l:y =x,设长为 2的线段 AB在直线 l上移动 ,如图 2 .求直线 PA与 QB…     

角平分线的一个充要条件及其应用

定理:已知点P是角XOY内一点,过P的任意直线AB交OX于A,交OY于B,则OP是角XOY的平分线的充要条件是1/OA+1/OB为定值。证:(必要性)作PQ∥OA交OB于Q,则∠OPQ=∠AOP=∠BOP 故 OQ=QP= OP/2cos∠AOP为定     

一组有趣的圆锥曲线轨迹方程

文[1]的结论令人赏心悦目,颇有趣味,现将该文中条件“|OA|2 |OB|2=|OP|2”改成“1/|OA|2 1/|OB|2=1/|OP|2”与“|OP|2=|OA||OB|”之后,结论同样喜人.定理1设椭圆C1:Ax2 By2=1(0相似文献   

三角形重心向量性质的进一步推广

文[1]给出了三角形重心的一个向量性质:命题1已知G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=x AB,AN=y AC,则图2命题2图1x 1y=3.并把上述结论推广到三棱锥:命题2过三棱锥P-ABC的重心G的平面分别与三条侧棱相交于A1,B1,C1,且PA1=x PA,PB1=yPB,PC1=z PC,则1x 1y 1z=4.文[2]将上述结论推广到空间任意有限点的重心上,得到:图3定理1图定理1设P,A1,A2,…,An是空间任意n 1个点,G是这n 1个点构成的有限点集V(V={P,A1,A2,…,An})的重心,平面π过G且与直线PAi(i=1,2,…,n)相交于Bi,P不在平面π上,且有PBi=λi…     

关于圆锥曲线的一类轨迹

文[1]给出了圆锥曲线与等差数列的一个性质,文[2]给出了圆锥曲线与等比数列的一个性质,本文给出圆锥曲线的一类轨迹问题,其中|OA|,|OB|,|OP|构成以|OP|为斜边的直角三角形的三边长.图1定理1图定理1设椭圆C1:xa22 yb22=1(a>b>0),椭圆C2:mx22 ny22=1(m>n>0),过原点O引射线分别交C1,C2于A,B两点,P为射线上的一点,则|OA2| |OB|2=|OP|2的充要条件是P点的轨迹为C3:1x2a2 by22 mx221 yn22=1.证设直线AB的参数方程为:x=tcosθ,y=tsinθ,其中θ(0≤θ≤π)为直线AB的倾斜角,t为参数,|t|的几何意义为原点O到直线上相应的距离(下同).设A,B…     

一道经典高考题的多角度思考

题目 已知O为坐标原点,F为椭圆C:x2+y2/2=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为-√2的直线l与C交于A,B两点,点P满足→OA+→OB+→OP=0.     

用向量判定四点共面的一种方法

全日制<数学>第二册(下B)指出:空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y,使→MP=x→MA y→MB,或者对空间任一点O,有 →OP=→OA x→MA y→MB.     

直线的向量参数方程的推广及应用

新人教必修4第二章平面向量：已知A、B是直线L上任意两点,O是L外一点,则对直线L上任意一点P,存在实数t,使O→P关于基底{O→A,O→B}的分解式为O→P=（1-t）O→A＋tOB→,此向量等式叫做直线L的向量参数方程式,其中实数t叫做参数,并且满足A→P=tAB→.若点P是平面内任意一点,向量O→P关于基底{O→A,O→B}的分解式为O→P=→λOA＋B→μO,当λ＋μ=1时,点P在直线L上,当λ＋μ≠1时,点P在哪？就这个问题做一下探讨,供参考.     

直线的向量参数方程的推广及应用

<正>新人教必修4第二章平面向量:已知A、B是直线L上任意两点,O是L外一点,则对直线L上任意一点P,存在实数t,使O→P关于基底{O→A,O→B}的分解式为O→P=(1-t)O→A+tOB→,此向量等式叫做直线L的向量参数方程式,其中实数t叫做参数,并且满足A→P=tAB→.若点P是平面内任意一点,向量O→P关于基底{O→A,O→B}的分解式为O→P=→λOA+B→μO,当λ+μ=1时,点P在直线L上,当λ+μ≠1时,点P在哪?就这个问题做一下探讨,供参考.     

2003年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及参考答案

一、填空题(本大题满分48分)1.已知函数,(z)一、/,了+1,则,一z(3)=●__-____●—‘-‘●-。一。 2.直线y=1与直线y=~/3 z+3的夹角为_________——●。。一● 3.已知点P(tga.cosa)在第三象限,则角口的终边在第——象限. 4.直线Y=z一1被抛物线Y。=4x截得线段的中点坐标是——. 5.已知集合A={zj IzI≤2,z∈R},B={zlz≥a),且A∈B.则实数n的取值范围是——. 6.已知z为复数,则z十三>2的一个充要条件是z满足——. 7.若过两点A(一1.O)、B(0,2)的直线f与圆(z一1)。+(y一口)。一1相切,则a:——. 8.不等式(1g20)。。“>l (z∈(0,Ⅱ))的解为......…