例说三角代换若干特点

例说三角代换若干特点樊友年（湖北省公安县第一中学４３４３００）三角代换是中学数学一个重要的解题技巧，它涉及的问题类型较多，处理方法灵活．下面举例说明三角代换的若干特点．１．直接对题设条件等式施行三角代换．例１点（ｘ，ｙ）在曲线上变动时，代数式所取到的...     

巧用偶函数的一个重要性质解题

性质妙用 偶函数有一个重要性质：若ｆ（ｘ）是偶函数,则下面巧用这一重要性质,简化一类求参数问题的讨论． 例１ 设偶函数ｆ（ｘ）在区间上单调递增,且满足试求实数ａ的取值范围． 解 由ｆ（ｘ）为偶函数知上单调递增, 例２ 已知偶函数ｆ（ｘ）在是增函数,且满足ｆ（２ｍ＋５）＜ｆ（ｍ２＋２）,试求实数ｍ的范围． 解偶函数上是增函数, 例３ 已知定义在上偶函数在区间［０,２］ 上单调递减,且求实数ｍ的范围． 解 由ｆ（ｘ）是偶函数知 例４ 若偶函数ｆ（ｘ）在上单调递增且,试求不等式的解集．０,又由ｆ（ｘ）为偶函数知上单…     

无理方程的验根问题

解无理方程的最后步骤是验根，这一点毫无疑问．那么，究竟如何验根却存在一些问题．让我们首先观察下面的例题，然后追根问底．例　解无理方程２ｘ＋ｘ－１＝５．解法１　移项得２ｘ－５＝－ｘ－１，两边平方得　４ｘ２－２０ｘ＋２５＝ｘ－１，４ｘ２－２１ｘ＋２６＝０，（ｘ－２）（４ｘ－１３）＝０，解得　　　ｘ１＝２，　ｘ２＝１３４．检验：把ｘ１＝２，ｘ２＝１３４代入ｘ－１，都有意义．故　ｘ１＝２和ｘ２＝１３４都是原方程的根．解法２　２ｘ＋ｘ－１＝５，　　２ｘ＋ｘ－１－５＝０，　　２（ｘ－１）＋ｘ－１－３＝０．令…     

关于丢番图方程x^2±2^m=y^n

本文证明了：方程ｘ２＋２ｍ＝ｙｎ，ｘ，ｙ，ｍ，ｎ∈Ｎ，ｇｃｄ（ｘ，ｙ）＝１，ｎ＞２仅有有限多组解（ｘ，ｙ，ｍ，ｎ），而且当（ｘ，ｙ，ｍ，ｎ）≠（５，３，１，３），（１１，５，２，３），（７，３，５，４）时，ｎ是适合ｎ≡７（ｍｏｄ８）以及２３≤ｎ＜８．５·１０６的奇素数，ｍａｘ（ｘ，ｙ，ｍ）＜Ｃ１；方程ｘ２－２ｍ＝ｙｎ，ｘ，ｙ，ｍ，ｎ∈Ｎ，ｇｃｄ（ｘ，ｙ）＝１，ｙ＞１；ｎ＞２仅有有限多组解（ｘ，ｙ，ｍ，ｎ），而且这些解都满足ｎ＜２·１０９炉以及ｍａｘ（ｘ，ｙ，ｍ）＜Ｃ２，这里Ｃ１，Ｃ２是可有效计算的绝对常数．     

一类具周期系数的Riccati型方程的周期解

给出Ｒｉｃｃａｔｉ型方程ｘ＾&;#183;＝Ａ（ｔ）ｘ＾２ｍ＋Ｂ（ｔ）ｘ＾２ｋ－１＋Ｃ（ｔ）（Ａ（ｔ），Ｂ（ｔ），Ｃ（ｔ）是周期为Ｔ的连续函数，ｍ，ｋ∈Ｎ且ｍ≥ｋ）无周期解及存在周期解的充分条件。     

错题·错解两例

错题·错解两例万兴灿（湖北省宜昌市第一中学４４３０００）１错题贵刊１９９７．１．Ｐ２５例３［１］中给出：若正数ｘ，ｙ满足ｘ＋ｙ＝ｍ（定值），则函数ｆ（ｘ，ｙ）＝（ｘ＋１ｘ）（ｙ＋１ｙ）取得最小值（ｍ２＋２ｍ）２（当ｘ＝ｙ＝ｍ２时）此题最小值是不对的．...     

关于分圆多项式的Schinzel等式

对一无平方因子的奇数ｎ＞１，　分圆多项式φｎ（ｘ）　　满足Ｓｃｈｉｎｚｅｌ等式，　φｎ（ｘ）＝Ｐ２ｎ，ｍ（ｘ）－（－１／ｍ）ｍｘＱ２ｎ，ｍ（ｘ），　　这里Ｐｎ，ｍ（ｘ）和　Ｑｎ，ｍ（ｘ）是整系数多项式且　ｍ｜ｎ．本文给出两个简明的公式来计算　Ｐｎ，ｍ（ｘ）　和　Ｑｎ，ｍ（ｘ）　　．     

关于Thue方程的解数

设ｍ是正整数，ｆ（Ｘ，Ｙ）＝ａ０Ｘｎ＋ａ１Ｘ（ｎ－１）Ｙ＋．．．＋ａｎＹｎ∈Ｚ［Ｘ，Ｙ］是Ｑ上不可约化的叫ｎ（ｎ≥３）次齐次多项式。本文证明了：当ｇｃｄ（ｍ，ａ０）＝１，ｎ≥４００且ｍ≥１０（３５）时，方程｜ｆ（ｘ，ｙ）｜＝ｍ，ｘ，ｙ∈ｚ，ｇｃｄ（ｘ，ｙ）＝１，至多有６ｎｖ（ｍ）组解（ｘ，ｙ），其中ｖ（ｍ）是同余式Ｆ（ｚ）＝ｆ（ｚ，１）≡０（ｍｏｄｍ）的解数。特别是当ｇｃｄ（ｍ，ＤＦ）＝１时，该方程至多有６ｎ（ω（ｍ）＋１）组解（ｘ，ｙ），其中ＤＦ是多项式Ｆ的判别式，ω（ｍ）是ｍ的不同素因数的个数．     

微分方程的三角变换解法

在求积分时，当被积函数有形如：等形式时，完全可通过三角代换法来求解。类似地，在微分方程中，遇到此类形式的问题时，也可考虑三角代换方法。例1车比雪夫方程；解于是，方程化为此问题若用别的方法解，则比较麻烦，甚至很难求出解。于是，方程化为：类似，可解文〔1」例3方程（l）：其解为：例3（文「Zj例1）解先作变换y—Z（x）小。。。则方程化为：此时，令x—arctgu，则方程又化为：微分方程的三角变换解法@赵临龙$陕西安康师专[1]吴檀、李光健 关于三阶线性微分方程的可积新类型 数学的实践与认识 1995 4:77～85 [2] 徐瑞 一类…     

On Euler’s Equationφ(x)=k

本文研究了Ｅｕｌｅｒ方程（ｘ）＝ｋ的解，我们用Ｓｅｌｂｅｒｇ筛法证明了下述定理：设ｍ，ｋ是任意的正整数，则使方程ｍｐｋ＝（ｙ）有解的不超过ｘ的素数ｐ的个数为Ｏ（ｘ／ｌｏｇ２ｘ）．     

关于Euler方程φ（x）=k

本文研究了Ｅｕｌｅｒ方程φ（ｘ）＝ｋ的解，我们用Ｓｅｌｂｅｒｇ筛法证明了下述定理，设ｍ，ｋ是任意的正整数，则使方程ｍｐ＾ｋ＝φ（ｙ）有解的不超过ｘ的素数ｐ的个数为Ｏ（ｘ／ｌｏｇ＾２ｘ）。     

一类超椭圆方程的整数解

设ｍ，ｎ∈Ｎ；ｍ≥２，ｎ≥２，ｍｎ≥６，ｆ（ｘ）＝ｘｍ＋ａ１ｘｍ－１＋…＋ａｍ∈Ｚ［ｘ］，Ｈ＝ｍａｘ（｜ａ１｜，…，｜ａｍ｜）．本文运用组合分析方法证明了：当ｍ≡０（ｍｏｄｎ），ａ１，…，ａｍ不全为零，而且其中第一个非零系数ａｓ与ｎ互素时，方程ｆ（ｘ）＝ｙｎ，ｘ，ｙ∈Ｚ，仅有有限多组解（ｘ，ｙ），而且这些解都满足｜ｘ｜＜（４ｍＨ）２ｍ／ｎ＋１以及｜ｙ｜＜（４ｍＨ）４ｍ２／ｎ２＋ｍ／ｎ＋１     

对合重特征边值问题的奇性反射

设ΩＲ（ｎ＋１），其边界　Ω在ｘ０∈　Ω附近局部为｛ｔ＝０｝，且对ｍ阶偏微分算子Ｐ（ｘ，ｔ，Ｄｘ，Ｄｔ）是非特征的．令σｍ（Ｐ）（ｘ，ｔ，ζ，Ｔ）＝０关于Ｔ有ｍ个实根（包括重根）λｊ（ｘ，ｔ，ζ），（ｊ＝１，．．．，ｍ），且它们是对合组．在Ｐ（ｘ，ｔ，Ｄｘ，Ｄｔ）满足Ｌｅｖｉ条件下，则其Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ边值问题的解ｕ的Ｃ∞奇性在边界的反射锥族中是不变的．     

一类Pointaré差分方程解的渐近性质

以二阶的情形讨论了Ｐｏｉｎｃａｒ差分方程ｙ（ｎ＋ｍ）十（ａ１＋ｐ１（ｍ））ｙ（ｎ＋ｍ－１）＋…＋（ａｎ＋ｐｎ（ｍ））ｙ（ｍ）＝０当其常系数部分ｘ（ｎ＋ｍ）＋ａ１ｘ（ｎ＋ｍ－１）＋…＋ａｎｘ（ｍ）＝０的特征方程有相同的根时，解的渐近性质．通过不动点方法给出了Ｐｏｉｎｃａｒ差分方程的解渐近于其常系数方程解的条件，并给出了渐近式高阶项的估计．     

非强制性Kirchhoff方程

本文讨论下述非齐次Ｋｉｒｃｈｈｏｆ方程的Ｃａｕｃｈｙ问题ｕｔｔ－ｍ∫Ｒｎ｜Δｕ｜２ｄｘΔｕ＝ｆ（ｔ，ｘ），ｕ（０，ｘ）＝ｕ０（ｘ），ｕｔ（０，ｘ）＝ｕ１（ｘ），其中ｍ（ｒ）∈Ｃ１［０，＋∞）且ｍ（ｒ）＞０．在初值和右端项“小”的条件下，我们获得了此问题整体解的存在唯一性     

一例错解的剖析

一例错解的剖析２３８３００安徽无为职业中学周邦云有这样一题：这是一道关于ｘ的有理三角函数分式，求此类函数的值域，常规方法有两种：方法１原式去分母并整理变形，化成ｓｉｎ（ｘ＋θ）＝ｆ（ｙ）形，由｜ｆ（ｙ）｜≤１，求出ｙ的取值范围．方法２对原式作万能代换...     

三角变换要突出一个“变”字

三角变换要突出一个“变”字黄坪（江苏南通市第一中学２２６００１）三角函数的恒等变形或用三角式代换代数式称为三角变换．利用三角变换来化简三角函数式、求三角函数值、证明三角恒等式、解三角方程、求解或证明三角不等式时，要突出一个“变”字．本文结合教学实际，...     

利用分式代换法证明一类不等式

利用分式代换法证明一类不等式２７６００５山东临沂地区劳动技校刘久松对于含有约束条件的某些不等式，通过作代换可使问题便于解决．举例说明如下：例１设ｘ、ｙ∈Ｒ＋，且ｘ＋ｙ＋１，求证：（第三届ｍ拿大数学竞赛题）。，。。，。ａｇ证明谩Ｘ一了：万，ｙ一７于下，...     

探求一类无理方程的解法得到的启示

无理方程在初中代数课本中仅仅介绍了一般解法(即方程两边同时平方)和换元法两种。但在实际解无理方程时,单用这两种方法往往无济于事,或是繁琐冗长。近两年来,各地出版的中学数学杂志和资料中,介绍了用三角变换解一类无理方程的方法。它拓广了解题的思路,沟通了各科知识的联系,也培养了学生灵活运用知识的能力。遗憾的是它还不能为初中学生所用。为了“抓好基础”,有必要对这类无理方程,寻求适合中学生所能用的解法。本文试图通过对这类无理方程的非三角变换解法,来说明加强初中基础课教学,对“培养能力,发展智力”的重要意义。     

关于广义Thue－Mahler方程的解数

设ａ，ｂ是非零整数，ｐ１，…，ｐｒ是不同的素数，Ｐ＝｛±｜ｍ１，…，ｍｒ是非负整数｝．设Ｋ是ｎ（ｎ≥３）次代数数域，α１，…，αｍ∈ｋ（１＜ｍ＜ｎ），△（α１，…，αｍ）是α１，…，αｍ的判别式，ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）＝αＮｋ／Ｑ（α１ｘ１＋…＋αｍｘｍ）∈ｚ［ｘ１，…，ｘｍ］．本文证明了：当ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）非退化且Ｐｉ△（α１，…，αｍ）（ｉ＝１，…，ｒ）时，方程ｆ（ｘ１，…，ｘｍ）＝ｂｙ，ｘ１，…，ｘｍ∈ｚ，ｇｃｄ（ｘ１，…，ｘｍ）＝１，ｙ∈Ｐ至多有（４Ｓｄ２）（Ｓｄ）组解（ｘ１，…，ｘｍ，ｙ），其中ｄ＝ｎ！，Ｓ＝ｒ＋ω是ｂ的不同素因数的个数，ｈＡ是Ｋ的类数．