整数剩余类在高中数学中的应用举隅

整数剩余类就是把全体整数去被m(m∈N )除,然后按余数(0,1,2,…,m-1)将整数分为m类,且每个整数属于且仅属于其中的一类.例如,当m=2时,整数分为两类:余数为0称偶数,余数为1称奇数;当m=3时,整数分为三类,可记为{3k},{3k 1},{3k 2}(k∈Z)等.整数剩余类在高中数学中应用较为广泛,利     

3的剩余类及应用

在82年数学通报第10期上,我曾建议中学生学习点初等数论基本知识。在此,我们介绍一些具体有趣的整数问题,这对于熟悉整数问题的思想方法是有益的。我们知道,整数被m除按余数可以分为m类,当m=2时,即分为{2k}(偶数)和{2k+1}(奇数)两大类,而当m=3时,则分为{3k},{3k+1},{3k+2}等三类。中学生对此并不难理解,但对这种分类的应用多数人却是陌生的。本文打算介绍3的剩余类的性质及一些有趣应用。有兴趣的读者不难自己将有关结果推广到m=4,5,…及一般剩余类的情形,再进一步学习整除理论、同余理论及初等数论中一些重要知识,就不会感到抽象费解了。 (一) 整数被3除的余数运算规律我们用余数0、1、2分别表示类{3k}、     

5-一致超图的全横贯

设H=(V,E)是以V为顶点集, E为(超)边集的超图. 如果H的每条边均含有k个顶点, 则称H是k-一致超图. 超图H的点子集T称为它的一个横贯, 如果T 与H 的每条边均相交. 超图H的全横贯是指它的一个横贯T, 并且T还满足如下性质: T中每个顶点均至少有一个邻点在T中. H 的全横贯数定义为H 的最小全横贯所含顶点的数目, 记作\tau_{t}(H). 对于整数k\geq 2, 令b_{k}=\sup_{H\in{\mathscr{H}}_{k}}\frac{\tau_{t}(H)}{n_{H}+m_{H}}, 其中n_H=|V|, m_H=|E|, {\mathscr{H}}_{k} 表示无孤立点和孤立边以及多重边的k-一致超图类. 最近, Bujt\'as和Henning等证明了如下结果: b_{2}=\frac{2}{5}, b_{3}=\frac{1}{3}, b_{4}=\frac{2}{7}; 当k\geq 5 时, 有b_{k}\leq \frac{2}{7}以及b_{6}\leq \frac{1}{4}; 当k\geq 7 时, b_{k}\leq \frac{2}{9}. 证明了对5-一致超图, b_{5}\leq \frac{4}{15}, 从而改进了当k=5 时b_k的上界.     

等差与等比数列不等式的互变

含有等差或等比数列若干项的不等式 ,为行文方便不妨叫做等差或等比数列不等式 .本文研究这两种不等式的互变 .为了叙述简便 ,本文规定数列 {an}是公差为d的等差数列 ,其前n项的和为Sn,数列 {bn}是公比为 q的等比数列 ,其前n项的积为Tn,m ,n ,k是互不相等的正自然数 .通过下面等差与等比数列互换表中的an 与bn 等的互换 ,能够实现这两种不等式的互变 ,但互换两种运算时 ,应注意它们的基本要求 .　　引理 1　若mk =n2 ,则m +k >2n .证　m +k >2mk =2n2 =2n .引理 2　若m +k =2n ,则mk 相似文献   

2006年一道高考题的引申

(2006年江苏高考第21题)设数列{an},{bn},{cn},满足:bn=an-an 2,cn=an 2an 1 3an 2(n=1,2,3,…),证明{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn 1(n=1,2,3,…)此题的必要性易证,充分性的一个证明思路是:根据等差数列{cn}的性质有cn 2-cn为常数,结合bn≤bn 1得到bn     

Pm||C_(max)问题的算法A_(KK)的一个改进的最坏情况性能比(英文)

本文考虑的是平行机排序问题Pm||Cmax.对此问题Knuth和Kleitman给出了一个近似算法AKK,Graham证明了此算法的最坏情况性能比不大于1 (1-1/m/1 |k/m|),而且当k(?)0(modm)时这个界是紧的.在本文中我们给出了此算法的一个改进的最坏情况性能比:1 max{1-1/m/1 k1 1/m,1-1/m-k2/1 k1},其中k1和k2为非负整数且k1m k2=k.本文证明了当k2≠0时,它好于Graham的结果,同时我们给出了两个实例说明这个界是紧的.     

关于补差集与Hadamard矩阵

本文着重讨论了H型补差集,主要结果是: (1) 证明了存在2~i·10~j 18~k·26~r·50~s·82~t阶H型2-补差集;其中i,j,k,r,s,t,为任意非负整数; (2) 给出了71阶和73的H型4-补差集; (3) 定义了v阶Abel群上的C划分, 给出了v=37和61时的C划分,指出了v∈S=S_2∪S_1∪S_3时存在C划分,其中 S_1={2k+1:O≤k≤16}∪{59} S_2={2~i·lO~j·26~k+1:i, j, k为任意非负整数}, S_3={37,61}: (4) 指出了当v′∈S,u∈W=W_1∪W_2∪W_3时,存在v′v阶H型4-补差集,其中 W_1={3~n:n≥1}, W_2={2k+1:0≤k≤14}∪{37,43}, W_3={n:2n-1≡1(mod4)是一素数的方幂}; (5) 利用C划分和[3]的一个结果证明了,当m∈S,n∈W_3时,存在2mn~r(n+1)阶H阵(r≥O); (6) 最后还证明,当在同一个u≡3(mod4)阶Abel群上存在{u;k;λz}差集和{u;1/2(u-1);1/4(u-3)}差集时,且存在v+l=u+1-4(k-λ)阶skew type H阵,则存在uv~r(v+1)阶H阵(r≥O).     

Pm‖Cmax问题的算法AKK的一个改进的最坏情况性能比

本文考虑的是平行机排序问题Pm‖Cmax.对此问题Knuth和Kleitman给出了一个近似算法AKK,Graham证明了此算法的最坏情况性能比不大于1＋1-1/m/1＋｜k/m｜,而且当k≡0（modm）时这个界是紧的.在本文中我们给出了此算法的一个改进的最坏情况性能比： 1＋max{1-1/m/1＋k1＋1/m,1-1/m-k2/1＋k1},其中k1和k2为非负整数且k1m＋k2=k.本文证明了当k2≠0时,它好于Graham的结果,同时我们给出了两个实例说明这个界是紧的.     

Some 3-adic congruences for binomial sums

We prove some 3-adic congruences for binomial sums,which were conjectured by Zhi-Wei Sun.For example,for any integer m≡1(mod 3)and any positive integer n,we have31n n.1Xk=01mk 2k kmin{3(n),3(m.1).1},where 3(n)denotes the 3-adic order of n.In our proofs,we use several auxiliary combinatorial identities and a series converging to 0 over the 3-adic field.     

观察·猜想·证明一道集合元素求和问题的推广

在学习集合这一节时 ,老师布置了这样一道作业题 :“求集合 {1,2 ,3,4 }的所有非空子集的元素之和 .”当时我是这样做的 :先写出集合 {1,2 ,3,4 }的所有非空子集 :{1},{2 },{3},{4},{1,2 },{1,3},{1,4 },{2 ,3},{2 ,4 },{3,4 },{1,2 ,3},{1,2 ,4 },{1,3,4 },{2 ,3,4 },{1,2 ,3,4 }.然后再求出它们所有元素的和 :( 1 2 3 4 ) [( 1 2 ) ( 1 3) ( 1 4 ) ( 2 3) ( 2 4 ) ( 3 4 ) ] [( 1 2 3) ( 1 2 4 ) ( 1 3 4 ) ( 2 3 4 ) ] ( 1 2 3 4 ) =80 .做完这道题后 ,我考虑能否解决一般的问题 ,即“求…     

关于整数集分拆的一个猜测的证明

设n为正整数,记rn=m ax{正整数m:可将集合{1,2,…,m}分为n个子集,使得在每一子集中方程xy=z(x>1,y>1)均无解}.高楠和刘红艳(数学的实践与认识,2005,35(5):151—152)给出了rn的一个下界估计rn n9,并猜测对任意给定的正整数k,当n充分大时有rn nk.本文对此猜测给以肯定回答,并证明了如下更强的结论:对任意给定的正整数k 4,当n>3k时有rn n2k+1.     

CONTINUOUS MAPPING FROM SPHERES TO EUCLIDEAN SPACES

In the forties Knaster, B., posed the following problem: Gieven a continuous mapping f of an (m+n-2) sphere \({S^{m + n - 2}}\) into the Euclidean m -space \({R^m}\） and n distinct points it \({u_1}, \cdots {u_n}\） of \({S^{m + n - 2}}\); does there exist a rotation r such that \[f(r{u_1}) = \cdots = f(r{u_n})?\] In this paper, the index under periodic transfromation of StieM manifold is applied to prove the following theorem: Given a continuous mapping \（f:{S^{k - 1}} \to {R^m}\）， n distinct points \({u_1}, \cdots {u_n} \in {S^{k - 1}}\） viewed as unit vectors satisfying \({u_i}{u_j} = {u_{i + 1}}{u_{j + 1}},i,j \in {I_n}\), and suppose\({u_1}, \cdots {u_n}\） have rank l, then in each of the following cases, there is a!rotation r such that \[f(r{u_1}) = \cdots = f(r{u_n})\] 1. \[n \ne 2,3,k - 1 = (n - 1)m\]; 2. n is an odd prime number, l even,\[k - 1 = \left[ {\frac{{(n - 1)m}}{2}} \right] + l - 2\]; 3. n is an odd prime number, l odd, \[l \ge \left[ {\frac{{(n - 1)m}}{2}} \right] + 1,k - 1 = \left[ {\frac{{(n - 1)m}}{2}} \right] + l - 2;\] 4. n is an odd prime number, l odd, \[l < \left[ {\frac{{(n - 1)m}}{2}} \right] + 1,k - 1 = (n - 1)m + 1;\] where [*] is the least even number>*. This theorem generalizes the classical Borsuk-Ulam theorem.     

整数的平方的一些性质

在国内外的数学竞赛题中,有一些题目的解法实际上只用到了整数的平方的某些性质,所涉及的知识是相当少的;但是,对于不习惯于利用这些性质的人,又会感到这些题目有一定的难度。本文打算通过一些例子,向中学生介绍这方面的解题方法。一、大家知道,所有的整数可以分为偶数和奇数两大类。偶数能表为2k的形式,奇数能表为2k 1的形式,这里k是整数。先看偶数的平方,由于(2k)~2=4k~2,可见任何偶数的平方能被4整除。再看奇数的平方,(2k 1)~2=4k~2 4k 1=4k~2(k 1) 1,由于k与k 1是相邻的两整数,故其中恰有一偶数,因此4k(k 1)能被     

例谈子集个数公式及其应用

<正>子集和真子集的个数是集合之间关系的一个知识点,为了帮助低年级的同学们更好地掌握这一知识,现介绍如下:1子集个数公式的推导不含任何元素的空集?,其子集为自身?,共有1个子集;含有1个元素的集合{a_1},其子集除?外,还有在?中,加元素a_1的集合{a_1},共有2个子集;含有2个元素的集合{a_1,a_2},其子集除?,{a_1}外,还有在这2个子集中,加元素a_2的2个子集:{a_2},{a_2,a_2},共有2 × 2=2²个子集;     

具有脉冲的Dirichlet边值问题的Lyapunov不等式及其应用

该文首先研究具有脉冲的线性Dirichlet边值问题 $\left\{ \begin{array}{ll} x'(t)+a(t)x(t)=0, t\neq \tau_{k}, \ \Delta x(\tau_{k})=c_{k}x(\tau_{k}),\ \Delta x'(\tau_{k})=d_{k}x(\tau_{k}), \ x(0)=x(T)=0, \end{array} \right. (k=1,2\cdots,m) $ 给出该Dirichlet边值问题仅有零解的两个充分条件, 其中$a:[0,T]\rightarrow R$, $c_{k}, d_{k}, k=1,2,$ $\cdots,m$是常数, 该文首先研究具有脉冲的线性Dirichlet边值问题 $$\left\{ \begin{array}{ll} x'(t)+a(t)x(t)=0, t\neq \tau_{k}, \ \Delta x(\tau_{k})=c_{k}x(\tau_{k}),\ \Delta x'(\tau_{k})=d_{k}x(\tau_{k}), \ x(0)=x(T)=0, \end{array} \right. (k=1,2\cdots,m) $$ 给出该Dirichlet边值问题仅有零解的两个充分条件, 其中$a:[0,T]\rightarrow R$, $c_{k}, d_{k}, k=1,2,$ $\cdots,m$是常数, $0<\tau_{1}<\tau_{2}\cdots<\tau_{m}<T$为脉冲时刻. 其次利用上面的线性边值问题仅有零解这个性质和Leray-Schauder度理论, 研究具有脉冲的非线性Dirichlet边值问题 $$\left\{ \begin{array}{ll} x'(t)+f(t,x(t))=0, t\neq \tau_{k}, \ \Delta x(\tau_{k})=I_{k}(x(\tau_{k})), \ \Delta x'(\tau_{k})=M_{k}(x(\tau_{k})), \ x(0)=x(T)=0 \end{array} \right. (k=1,2\cdots,m) $$ 解的存在性和唯一性, 其中 $f\in C([0,T]\times R,R)$, $I_{k},M_{k}\in C(R, R),k=1,2,\cdots,m$. 该文主要定理的一个推论将经典的Lyaponov不等式比较完美地推广到脉冲系统.     

等差数列的一个充要条件

定理　数列 {an}为等差数列的充要条件为 :对任意整数 k,当 m 1≤ k≤ n - 1时 ,恒有等式 :( n - k) am ( k - m) an =( n - m) ak,其中 m,n∈ N且 n >m≥ 1 .证明　 (必要性 )设数列 {an}为等差数列 ,公差为 d,则　 an =am ( n - m) d,于是对任意正整数 m,n,k有　 ( n - k) am ( k - m) an= ( n - k) am ( k - m) [am ( n - m) d]= ( n - m) [am ( k - m) d]=( n - m) ak.由于正整数 m,n,k的任意性 ,故当 m 1≤ k≤ n - 1时 ,等式仍然成立 .(充分性 )若对任意正整数 k都有等式( n - k) am ( k - m) an =( n - m) ak,( 1…     

一类Moran测度的谱性

令R_k=(ak00bk)为正整数扩张矩阵,D_k={0,1,…,q_k-1}v_1+{0,1,…,q_k-1}v_2,其中v_1=(1,0)~t,v_2=(0,1)~t,q_k1为正整数.本文研究由{R_k}_(k=1)~∞和{D_}_(k=1)~∞生成的Moran测度μ{R_k},{D_k} :=δ_(R1)(-1)~D_1*δ(R_2R_1)~(-1)D_2*···*δ(R_K···R_2R_1)(-1)D_K*···的谱性,证明了当q_k|a_k且q_k|b_k时,μ{R_k},{D_k}为谱测度.这推广了文献[J.Funct,Anal.,2014,266(1):343-354]和[J.Funct.Anal.,2002,193(2):409-420]中的结论.     

2011年高考江苏卷第20题的另解

题(2011年江苏20)设M为部分正整数组成的集合,数列{an}的首项a1=1,前n项的和为Sn.已知对任意的整数k∈M,当整数n＞k时,Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立.     

等差(比)数列前n项和的一个性质及应用

对于等差(比)数列{an},我们可得如下性质:定理1设等差数列{an}的公差为d,前n项的和为Sn,则Sm n=Sm Sn mnd(1)证在等差数列{an}中,am k=ak md(m,k∈N ).Sm n=a1 a2 a3 … am am 1 am 2 … am n=Sm (a1 md) (a2 md) … (an md)=Sm Sn mnd.定理2设等比数列{an}的公比为q,前n项的和     

二阶齐次递推数列具有周期性的一个充分条件

文[1]中曾给出如下定理:数列{an}满足an 2=pan 1-an,且p=2cos2kπ(k>2,k∈N ),则k是它的一个周期.文[2]中又将其进一步加强为k即是其最小正周期.换句话说,若p=2cos2kπ,则该数列就是以k为最小正周期的周期数列.那么,对于一般地二阶齐次递推数列{an},满足an 2 pan 1 qan=0(p,q∈R,n∈N ),当p,q满足什么条件时就会使其具有周期性呢?笔者通过分析,寻求到了使该数列具有周期性的一个充分条件:q=1且|p|<2.证对于数列{an},其特征方程为x2 px q=0,假若Δ=p2-4q<0,则其有一对共轭虚根:x1=r(cosθ isinθ),x2=r(cosθ-isinθ),其中θ∈(0,π),r>0.…