椭圆两条平行弦的性质的推论及应用

椭圆两条平行弦的性质的推论及应用玉邴图（云南广南一中６６３３００）文［１］介绍椭圆两条平行弦有如下两个性质．图１性质１如图１，经过椭圆ｂ２ｘ２＋ａ２ｙ２＝ａ２ｂ２（ａ＞ｂ＞０）长轴顶点Ａ的弦ＡＱ交ｙ轴于Ｒ，过椭圆中心Ｏ的半弦ＯＰ∥ＡＱ，则｜ＯＰ｜２＝...     

关于阶数为奇数的布尔矩阵行空间的基数

设Ｂｎ表示所有的ｎ阶布尔矩阵的集合，Ｒ（Ａ）表示Ａ∈Ｂｎ的行空间，｜Ｒ（Ａ）｜表示Ｒ（Ａ）的基数．设ｍ，ｎ为正整数，本文证明了（Ⅰ）ｍ∈［１，４６］，［１，７８］，分别存在Ａ∈Ｂ７，Ａ∈Ｂ８，使得｜Ｒ（Ａ）｜＝ｍ．（Ⅱ）当ｎ≥９为奇数时，则ｍ∈［１，２（ｎ＋３）／２＋２（ｎ＋１）／２＋…＋２３］，存在Ａ∈Ｂｎ，使得｜Ｒ（Ａ）｜＝ｍ．     

再探与抛物线对称轴上定点弦有关的几个问题

再探与抛物线对称轴上定点弦有关的几个问题崔俊富（山西省潞城市一中０４７５００）本文在文［１］的基础上继续探讨以下几个问题．问题１设ＡＢ是过抛物线Γ的对称轴上的定点Ｄ的动弦，曲线Ｃ是以ＡＤ（或ＢＤ）的中点为中心，｜ＡＤ｜（或｜ＢＤ｜）为长轴长，且长轴平...     

对一道高考题的探究

对一道高考题的探究李兴无（广东深圳宝安西乡中学５１８１０２）１９９５年高考数学试题理科最后一道题为：已知椭圆ｘ２２４＋ｙ２１６＝１，直线ｌ：ｘ１２＋ｙ８＝１，Ｐ是ｌ上一点，射线ＯＰ交椭圆于点Ｒ，又点Ｑ在ＯＰ上且满足：｜ＯＱ｜·｜ＯＰ｜＝｜ＯＲ｜２．当...     

用圆锥曲线定义速解选填题

对于某些数学问题,若能灵活运用其定 义,便能快速获解．下面仅谈谈圆锥曲线定义 的灵活运用． 例１ 已知圆Ｏ方程为ｘ～２＋ｙ～２＝１００,点 Ａ的坐标为（－６,０）,Ｍ为圆Ｏ上任意一点, ＡＭ的垂直平分线交ＯＭ于点Ｐ,则点Ｐ的轨 迹方程为（）． 此题若用求轨迹方程的其它方法很费 时,但根据图形用定义就能迎刃而解． ｜ＰＡ｜＋｜ＰＯ｜＝｜ＰＭ｜＋｜ＰＯ｜ ＝Ｒ Ｐ点的轨迹是以 Ａ（－６,０）,Ｏ（０,０） 为焦点的椭圆．故选（Ｂ）． 例 ２ 已知定点 Ａ（２,）,Ｆ是椭圆头十头一１的左焦点,点Ｍ在椭圆上移动,１６ １…     

有心圆锥曲线对中心张直角的焦点弦

有心圆锥曲线对中心张直角的焦点弦青海孔繁秋在拙文［１］中，我们证明了如下的定理．定理设有心圆锥曲线Ａｘ２＋Ｂｙ２＝１（Ａ＞０，Ｂ＞０或ＡＢ＜０）和直线ｍｘ＋ｎｙ＝１相交于Ｐ、Ｑ两点（Ａｎ２＋Ｂｍ２≠０，Ａｎ２＋Ｂｍ２—ＡＢ＞０），Ｏ为原点，则ＯＰ⊥Ｏ...     

新题征展(18)

Ａ　题组新编 １．已知ｆ（ｘ）＝　满足ｆ（０）＋ｆ（４）＝Ｆ（ａ＋３）,（１）求ａ的值;（２）当ｆ～（－１）（２Ｘ）＋１＞ｋｆ～（－１）（ｘ）恒成立时,求ｋ的取值范国;（３）若三个互不相等的正数ｍ、ｎ、ｔ成等比数列,问ｆ（ｍ）、ｆ（ｎ）、ｆ（ｔ）能否成等差数列？ ２．设双曲线　　＝１（ａ＞０,ｂ＞０）的 右顶点为Ａ,Ｐ是双曲线上的一个动点（异于顶点）,从Ａ引双曲线的两条渐近线的平行线与直线 ＯＰ分别交于Ｑ和Ｒ两点,则 （１）｜ＯＱ｜、｜ＯＰ｜、｜ＯＲ｜成＿数列; （２）｜ＯＱ｜＋ ｜ＯＲ｜—２｜ＯＰ｜…     

二次幂平均轨迹的极坐标求法

问题 如图１,过定　Ｑ外的定点Ｐ作　Ｑ的切线ＰＴ１、ＰＴ２,Ｔ１、Ｔ２。是切点．ＰＡＢ是　Ｑ的任一割线,点Ｍ在ＡＢ上,且ＰＭ＝　（ＰＡ～２＋ＰＢ～２）,求点Ｍ的轨迹． 文［１］猜测点Ｍ的轨迹是经过Ｔ１、Ｔ２ 的一段圆弧,文［２］、［３］通过建立直角坐标系求出其方程后发现,点Ｍ的轨迹经过Ｔ１、Ｔ２两点,但不是一条圆弧,本文将借助极坐标系给出点Ｍ轨迹的一种简便求法,供参考． 解 以点Ｐ为极点,射线ＰＱ为极轴建立如图１所示的极坐标系．设Ｑ（ｔ,０）,Ｑ半径为ｒＪ（ＰＩ,的Ｓ（尸;,们,＊（Ｐ,８）,连ＡＱ…     

一个三角形不等式的四面体移植

设△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ与外接圆半径、面积和半周长分别为ａ、ｂ、ｃ、Ｒ、△、ｓ．Ｐ是△ＡＢＣ内任意一点,ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ分别交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ｌ、Ｍ、Ｎ．１９６６年荷兰的Ｏ．Ｂｏｔｔｅｍａ建立了不等式：　　　ＡＬ·ＢＭ·ＣＮＳ△ＬＭＮ≥４ｓ（１）等号当且仅当Ｐ是△ＡＢＣ的内心时成立．类似上式,贵刊文［１］Ｐ２６刊载了刘键先生建立的不等式：ＡＬ·ＢＭ·ＣＮａ·ＰＬ＋ｂ·ＰＭ＋ｃ·ＰＮ≥△Ｒ（２）等号当且仅当△ＡＢＣ为锐角三角形且Ｐ为垂心时成立．文［２］给出了（２）式的简证,受其启发,笔者通…     

圆锥曲线的直角弦性质再探

圆锥曲线的直角弦性质再探沈帼英（浙江慈溪市浒山中学）文［１］给出了圆锥曲线直角弦的定义：自圆锥曲线Ｃ上一点Ｐ０，引两条互相垂直的弦Ｐ０Ｐ１、Ｐ０Ｐ２，则称弦Ｐ１Ｐ２为点Ｐ０的直角弦，简称直角弦．并给出三个命题：命题１设Ｐ０（ｘ０，ｙ０）为椭圆ｂ２ｘ２...     

点到直线距离公式的一个简捷求法

点到直线距离公式的一个简捷求法陈国正（湖南津市一中４１５４００）求点Ｐ（ｘ０，ｙ０）到直线ｌ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０的距离．一个自然的解题思路是：作ＰＱ⊥ｌ于Ｑ；列出垂线ＰＱ的方程；解方程组求垂足Ｑ的坐标；计算｜ＰＱ｜得所求．课本［１］指出：“这个方法虽...     

椭圆中与定长弦有关的三角形面积最大值探求

给定一椭圆和它的一条定长的动弦,本文对动弦为一边,椭圆中心为顶点的三角形面积的最大值进行探求,得出如下结论．定理　设ＡＢ为椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）上一条长为ｌ的弦,椭圆中心为Ｏ．则当２ｂ≤ｌ≤２ａ时,△ＡＯＢ面积的最大值为１２ａｂ;当０＜ｌ＜２ｂ时,△ＡＯＢ面积的最大值为ａｌ４ｂ４ｂ２－ｌ２;当２ａ＜ｌ＜２ａ时,△ＡＯＢ面积的最大值为ｂｌ４ａ４ａ２－ｌ２．为了证明定理,先给出两个引理．图１引理１　椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的弦ＡＢ与圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２的弦Ａ′Ｂ′对应…     

关于三基本量的一个不等式及其应用

设Ｒ、ｒ与ｓ是△ＡＢＣ的三基本量（外接圆半径、内切圆半径与半周长）,则有［１］、［２］ｓ４－２ｓ２（２Ｒ２＋１０Ｒｒ－ｒ２）＋ｒ（４Ｒ＋ｒ）３≤０（１）（当且仅当△ＡＢＣ为等腰三角形时取等号）．（１）称为三角形基本不等式．本文中,我们将应用它导出关于Ｒ、ｒ与ｓ的一个含双参数（λ,ｔ）的不等式．适当选择参数λ、ｔ的值,便可得到包括Ｇｅｒｒｅｔｓｅｎ不等式、Ｏ．Ｋｏｏｉ不等式等著名不等式在内的一大批有用的不等式．定理　对△ＡＢＣ中的三基本量Ｒ、ｒ、ｓ及任意实数λ、ｔ,都有　－（ｔ－１）２Ｒ３＋２［ｔ…     

L~p上的Hankel算子(p>1)

本文对ｐ＞１，在Ｃｎ中单位球Ｂ上证明了Ｈａｎｋｅｌ算子Ｈｆ、Ｈｆ同时在Ｌｐ（Ｂ，ｄｍ）上有界（紧）的特征是ｆ属于在［４］引入的函数空间ＢＭＯＰ（ＶＭＯＰ），从而推广了［２］的工作．     

有心圆锥曲线的一类轨迹问题

有心圆锥曲线的一类轨迹问题刘康宁（西安市西光中学）请看下面几个问题：问题１　已知直线ｙ＝ｘ＋ｍ和椭圆ｘ２＋２ｙ２＋４ｙ－１＝０交于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是这条直线上的点，且｜ＰＡ｜·｜ＰＢ｜２，求当ｍ变化时点Ｐ的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？（《数学通讯》...     

椭圆长轴并非最长

椭圆长轴并非最长２７１４００山东省宁阳一中宁伟过点Ｐ（０，一２／亏）作椭圆会十头一１的弦，求此弦的最大值．解设椭圆上任一点Ｑ（Ｘ，ｙ）与Ｐ的距离为厂，求【ＰＱ的最大值，也即求厂的最大值．这表明对椭圆二十头一ｌ来说．它的弦＃非任轴具片．“诡辩”揭底：上...     

95年高考第26题的推广

９５年高考第２６题的推广２５０００１山东省实验中学木生问题已知椭园，直线：Ｐ是ｌ上一点，射线ＯＰ交椭圆于点Ｒ，又点Ｑ在ＯＰ上且满足｜ＯＱ｜·｜ＯＰ｜＝｜ＯＲ｜２．当点Ｐ在ｌ上移动时，求点Ｑ的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．对问题的条件进行推广将椭圆推...     

圆锥曲线弦的中点问题的一种简捷解法

求直线被圆锥曲线截得弦的中点问题,是解析几何教学中的一类重要问题;常规解法计算量较大,如何简化其解法一直为人们所关注;文［１］、［２］、［３］等都作过很好的研究;本文介绍一种利用两曲线公共弦方程求解的简捷方法;如图,设Ｐ（ｍ,ｎ）是圆锥曲线ｃ的一条弦ＡＢ的中点,ｃ′是ｃ关于点Ｐ对称的曲线;容易证明,ｃ′的方程为ｆ（２ｍ－ｘ,２ｎ－ｙ）＝０;（见注１）而弦ＡＢ就是曲线ｃ与ｃ′的公共弦;且公共弦ＡＢ所在的直线方程为ｆ（ｘ,ｙ）－ｆ（２ｍ－ｘ,２ｎ－ｙ）＝０（见注２）,从而使问题得到解决;这一方法既适…     

椭圆与离心率相关的几类最值

离心率是椭圆的一个重要几何量．它不仅揭示了椭圆的圆扁程序，而且反映了椭圆的许多性质．下面讨论与离心率相关的椭圆的几类最值．一、过顶点的弦长的最值命题１过椭圆短轴顶点引椭圆的弦，当离心率ｅ∈（０，２２］时，弦长的最大值是２ｂ，当ｅ∈［２２，１）时，弦长...     

数据插值和共轭函数

设Ｇ（ｚ）在｜ｚ｜＜ρ（ρ＞１）中解析，且数据Ｒｅ［Ｇ（ｅｊ２ｋπ／ｎ）］；ｋ＝０，１，…，ｎ－１已给出，其中ｎ＝２ν＋１，本文构造了一个ν次多项式Ｐν（ｚ）满足插值条件Ｒｅ［Ｐν（ｅｊ２ｋπ／ｎ）］＝Ｒｅ［Ｇ（ｅｊ２ｋπ／ｎ）］，ｋ＝０，１，…，ｎ－１．并估计了误差‖Ｇ（ｅｊω）－Ｐν（ｅｊω）‖．此外，还给出了一个Ｗａｌｓｈ类型的超收敛定理．