一个三次样条插值定理

C.Davis和W.J.Kammerer曾先后用不同的方法证明了如下定理: 设y_0,y_1,…,y_n为实数,满足y_0>y_1,y_1y_3,…,则存在唯一的一个n次多项式P_n(x)和一组点x_0,x_1,…,x_n使得P_n(x_i)=y_i(i=0,1,…,n),P′_n(x_i)=0(i=1,2,…,n-1),0=x_0相似文献   

部分序线性系统中算子方程的一些问题

设X是一个部分序线性系统,其中每个简单有序的有上界的子集M在X中具有一个最小上界,而算子T是作用于X,本文证明下列结果 1 设x_0∈X,Tx_0≥x_0,若算子T在[x_0,Tx_0]是减的,而算子(T+I)在[x_0,Tx_0]是增的,这里记号I表示恒等算子,则其中x_n=Tx_(n-1),n=1,2,3,…,而且方程Tx=x在[x_(2n),x_(2n+1)]上有一个解。 设算子T_1是增的,而T_2是减的, 2 若x_0,y_0∈X(x_0≤y_0)是两个给定元素,且此外若算子(T_1-T_2-I)在[x_0,y_0]是减的,则这里x_n=T_1x_(n-1)+Ty(n-1)+γ,y_n=T_1y_(n-1)+T_2x_(n-1)+γ,n=1,2,3,…,而且方程Tx+γ=x在[x_n,y_n]上有一个解,这里T=T-1+T_2。     

一个可被中学生掌握的插值公式

在中学函数教学中,利用描点法,作出简单函数y=f(x)的图象,是要求学生必须掌握的基本功。好动脑筋的同学不禁要问:若把问题反过来,知道几个点A_1(x_1,y_1),A_2(x_2,y_2),……A_n(x_n,y_n),(其中要求x_1,x_2,…x_n两两不等)能寻求一个函数y=f(x),使其图象恰好过A_1,A_2,…A_n各     

关于解非线性方程组的King-Werner叠代过程的收敛性

解非线性方程组P(x)=0的Newton叠代法S_(n 1)=u(x_n)的种种改进与其叠代函数u(x)=x-P’(x)~(-1) P(x)由一目拓广到两目ω(x,z)=x-P’(z)~(-1)P(x)有关,King-Werner的改进方案x_(n 1)=w(x_n, 1/2(x_n y_n)),y_(n 1)=w(x_(n 1),1/2(x_n y_n))保持计值量不变而使收敛阶达到1 2~(1/2),我们证明了,设P:D? C~N→C~N在凸区域D上具有以L为常数的Lipschitz连续的二阶Frechet导数P″(x),||P″x||≤M x∈D,?x_0∈D,x_1=u(x_0),||x_1-x_0||≤η, ||P’(x_0)~(-1)||≤β,M 1/12Lη≤K,h=Kβη≤1/2,S≡{x|||x-x_1||≤η(1-(1-2h)~(1/2)/(1 (1-2h)~(1/2))}?D,则King-Werner叠代过程产生的x_n和y_n都属于S并且收敛于N元方程组P(x)=0的解,这个结论,与关于Newton叠代过程收敛性的Ostrowski-定理十分相似。     

用洛必达法则讨论二元函数极限的不存在

设二元函数f(x,y)的定义域为D,判定二元函数f(x,y)极限的不存在,往往采用下述二种方法:① 构造趋手P_0(x_0,y_0)的点列P_n(x_n,y_n)∈D,使得     

多重Fourier级数及其线性平均

§1 引言设 n 为自然数.R~n 为 n 维欧氏空间.Q 为 R~n 中的方体:Q={x_1,…,x_n)=x|-π≤x_j<π,j=1,…,n}.R~n 中的点 x=(x_1,…,x_n)与 y=(y_1,…,y_n)的欧氏内积记作 xy=x_1y_1 … x_ny_n,欧氏范数是|x|(x_1~2 … x_1~2.)~(1/2)L(Q)表示在 Q 上 Lebesgue 可积,对每个变元都以2π为周期的 n 元函数的空间.设f∈L(Q),它的 Fourier 系数是C_m(f)=■(m)=(2π)~(-n)∫_Qf(x)e~(-imx)dx m∈Z~n.     

一个不等式的推广

数学通报1992年第2期李再湘著文给出了一个不等式定理:设x_1,x_2,…,x_n和y_1,y_2,…,y_n是两列正数,则:     

激烈振荡函数积分余项的精确估计

以V_n表示n维正方形区域:0≤x_1≤1,0≤x_n≤1,以C表示V_n×V_n上2n元连续实函数f(x_1,…,x_n;y_1,…,y_n)的全体.对于非负实数x,用〈x〉=x-[x]表示它的分数部分.徐利治研究了激烈振荡函数积分     

由非顺序主子阵和缺损广义特征对构造对称三对角矩阵

本文讨论形如A_nX=λC_nX的方程,其中A_n是一个对称三对角矩阵,C_n是一个对角矩阵.对矩阵A_n进行3×3分块,给定A_n的一个非顺序主子阵A_(r+1,r+s),给定C_n和四个向量X_1=(x_1,…,x_r)',X_3=(x_(r+s+1),…,x_n)',Y_1=(y_1,…,y_r)',Y_3=(y_(r+s+1),…,y_n)'和两个不同实数λ,μ,构造一个对称三对角矩阵A_n和两个向量X_2=(x_(r+1),…,x_(r+s))',Y_2=(y_(r+1),…,y_(r+s))',满足A_nX=λC_nX和A_nY=μC_nY,其中X=(X_1',X_2',X_3')',Y=(Y_1',Y_2',Y_3')'.本文给出问题有解的条件,解的表达式和相应算法,并给出数值算例验证算法的有效性.     

算术平均数的一个简单性质的应用

n个实数x_1、x_2、…x_n的算术平均数(x_1+x_2+…+x_n)/n有如下简单性质: 若A≤x_1、x_2…、x_n(≤B),则 A≤(x_1+x_2+…+x_n)/n(≤B) 当且仅当A=x_1=x_2=…=x_n(=B)时等号成立。作为性质1的推论,特别地有推论1若x_1、x_2、…、x_n是n个实数,则min{x_f|i=1,2,…,n}≤≤(x_1+x_2+…+x_n)/n≤max{x_f|i=1,2,…,n} 当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立。推论2 若A≤x_1+x_2+…+x_n(≤B),则至少有一个x_k(x_e),使A/n≤x_k(x_a≤B/n),当x_1、x_2。…,x_n互不相等或A相似文献   

线性表示在解题中的应用举例

<正>首先我们来看线性表示的概念:定义若a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n=b(其中x_1,x_2,…,x_n是未知量,a_1,a_2,…,a_n,b是不全为零的常数,n∈N*)则b称为数组x_1,x_2,…,x_n的一个线性组合.当b=0时,x_1,x_2,…,x_n称为线性相关,此时令a_n=-1,则有x_n=a_1x_1+a_2x_2+…+x_(n-1)a_(n-1),称变量x_n是变量x_i(i=1,2,…n-1)的一个线性表示.本文的"线性表示"是指用给定的某些量     

一个对称不等式的证明及其加强

文[1]提出并证明了一个形式优美的不等式,即 定理.设x_i,y_i≥0,t=1,2,…,n,x_i,y_i均不全为零,则E_r(x+y)/E_(r-1)(x+y)≥(E_r(x)/E_(r-1)(x)+(E_r(y))/E_(r-1)(y))。这里,E_r(x),E_r(y)分别为x_1,x_2,…,x_n和y_1,y_2,…,y_n所构成的r次基本对称函数。 本文首先给出上述不等式的一个初等证明,然后给出并证明该不等式的两个加强。     

A FORMULA OF THE KINEMATIC MEASURE IN NONEUCLIDEAN SPACE AND SOME PROBLEMS ON THE GEOMETRIC PROBABILITIES

Let P_n, be the n-dimensional projective space. Let x_0,x_1,…,x_n be the homogeneous coordinates of point x. Consider the quadric φ(x) =x_0~2+x_1~2+…x_(n-1)~2+εx_n~2, where ε can take the value of +1 or -1. We assume the homogeneous coordinates of the points x that do not belong to φ = 0 are normalized, such that     

一个命题的应用

命题:设已知两点P_1(x,y_1)、P_2(x_2,y_2)的连线交直线l:Ax+By+C=0于点P(P_2不在直线l上) 求证:P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 证明:设P_1P/PP_2=λ,则点P坐标为 ((x_1+λx_2)/(1+λ),(y_1+λy_2)/(1+λ)) ∵点P在直线l上, ∴ A(x_1+λx_2)/(1+λ)+B(y_1+λy_2)/(1+λ)+C=0 解得λ=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) 所以P_1P/PP_2=-(Ax_1+By_1+C)/(Ax_2+By_2+C) (Ax_2+By_2+C≠0) 此命题在平几中用于证明比例线段问题,常能奏效。下面略举数例。例1.P为△ABC的边BC所对的中位线DE上任意一点,CP交AB于M,BP交AC于N,     

一个代数不等式的加强

近两年,在众多刊物上,载有不等式: multiply from i=1 to n(x_i+1/x_i)≥(λ/n+n/λ) (*)这里x_i∈R~+(i=1,2,…,n),x_1+x_2+…+x_n=λ≤n,仅当x_1=x_2=…=x_n时(*)式取等号。现在,我们给出(*)的一个加强: 定理设x_i∈R~+(i=1,2,…,n,n≥2),且sum from i=1 to n x_i=λ(常数)≤n,则 sum from i=1 to n(x_i+1/x_i)~(-1)≤n(λ/n+n/λ)~(-1) (1)当且仅当x_1=x_2+…=x_n时,(1)式中的等号成立。     

分式线性迭代数列的敛散性及收敛速度

若a_i,b_i0(i=1,2),|a_1 a_2b_1 b_2|≠0,则数列x_10,x_(n+1)=a_1x_n+a_2/b_1x_n+b_2收敛.若迭代过程中,xn(n=1,2,…)全不是φ(x)=a1x+a2/b1x+b2的不动点,则迭代数列{xn}线性收敛.     

对双曲线中点弦的探讨

例题已知双曲线x~2-y~2/2=1,试问过点A(1,1)能否作直线l,使它与双曲线交于M、N两点,且点A是线段MN的中点?解设M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)则①-②得(x_1~2-x_2~2)-(y_1~2-y_2~2)=0,∴k_(MN)=(y_1-y_2)/(x_1-x_2)=(2(x_1 x_2)/(y_1 y_2)=2．     

用解析法解三角题

在三角中,某些问题如我们能充分注意到它们的几何背景,并藉助于解析几何的有关知识,往往可以得到较为简洁的解法。本文列举数例,以资说明。例1 已知 cosa-cosβ=1/2,sina-sinβ=-1/3,求cos(a+β)。解:设x_1=cosa,y_1=sina;x_2=cosβ,y_2=sinβ。则可知点A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)在单位圆x~2+y~2=1上。(图一) 又由(y_2-ly_1)/(x_2+x_1)=(sinβ-sina)/(cosβ-cosa)=(1/3)/(-1/2)=-2/3玄j 故直线AB的斜率为-2/3。设直线AB的方程为y=-2/3x+b,将此代入x~2+y~2=1并整理得13x~2-12bx+9(b~3-1)     

一点带一面,一题牵一串

定理1 对于x_k>0,y_k>0,(k=1,2,…,n),则: sum from k=1 to n (x_k~2/ y_k)≥(sum from k=1 to n x_k)~2/sum from k=1 to n y_k (*) 证明由柯西不等式得; sum from k=1 to n y_k·sum from k=1 to n ((x_k~2)/ y_k)≥(sum from k=1 to n x_k)~2 ∴sum from k=1 to n (x_k~2/y_k)≥(sum from k=1 to n x_k)~2/sum from k=1 to n y_k(等号当且仅当x_1/y_1=x_2/y_2=…=x_n/y_n时成立。) 运用上题的结论我们可以解答近几年来国内外有较大难度的一串竞赛题,灵活地运用不等式(*)能收到“一点带一面,一题牵一串”的效果。下面略举几例。以供读者参考。     

二元向量分叉连分式插值的矩阵算法

1 引言 设R~2中的点集Ⅱ~(n,m)由下表给出 (x_0,y_0)(x_0,y_1)…(x_0,y_m) (x_1,y_0)(x_1,y_1)…(x_1,y_m) (1.1) (x_n,y_0)(x_n,y_1)… (x_n,y_m)称Ⅱ~(n,m)为矩形网格.对Ⅱ~(n,m)中的每个点(x_i,y_i)给定d维插值向量v_(ij)并将其按上述方式排成向量网格且用中V~(n,m)记之. d维复向量V的Samelson逆定义为