求函数解析式的几种方法

已知一个函数适合某种性质或某种关系,求这个函数的解析式,对这个问题学生感到困难。现就这个问题介绍几种求函数解析式的方法: 一、定义法例1 已知f(1+x/x)=1+x~2/x+1/x,求f(x)。解:∵f(1+x/x)=1+x~2/x~2+1/x=(x~2+2x+1)-2x/x~2+1/x=(x+1/x)~2-x+1/x+1     

脚下本有多条路,缘何无法通“罗马”——从一道高考题谈高中生代数变换能力的培养

2011年安徽卷理科数学第19题如下:(1)设x≥1,y≥1,证明:x+y+1/xy≤1/x+1/y+xy;(2)设1 ＜a≤b≤c,证明:logab +logbc +logca≤logba+logcb+logac.由于第(2)问只需利用第(1)问的结论通过换元法即可证明,因此本文只讨论第(1)问.     

y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数吗

题目:判断函数y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)的奇偶性。解:y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)=(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)cos(x/2))/(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)-cos(x/2))=2sin(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))/2cos(x/2)(cos(x/2)+sin(x/2))=tg(x/2)。∵ y=tg(x/2)是奇函数。∴ y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数。表面看来,以上解法无懈可击。但如果注意到当     

新题征展(95)

A 题组新编 　　1.(孙金兰)(1)若f(x)=x/x+2,则f-1(x+2)=___; 　　(2)若f(x+2)=x/x+2,则f-1(x+2)=__; 　　(3)若f-1(x+2)=x/x+2,则f(x+2)=__.……     

加强命题用导数解决数列不等式

<正>例1已知f(n)=n⁽ⁿ⁺¹⁾,g(x)=(n+1)(n+1),g(x)=(n+1)ⁿ,n∈N*.求证:当n≥3,n∈N*时,f(n)>g(x).本题用数学归纳法可以证明.但是用加强命题,再利用导数方法解决则是另外一种风味.证明对于上述命题,我们可以先加强命题x≥3,x∈R时,有xn,n∈N*.求证:当n≥3,n∈N*时,f(n)>g(x).本题用数学归纳法可以证明.但是用加强命题,再利用导数方法解决则是另外一种风味.证明对于上述命题,我们可以先加强命题x≥3,x∈R时,有x^(x+1)>(x+1)(x+1)>(x+1)^x.即(x+1)lnx>xln(x+1),因为x≥3,lnx>0,ln(x+1)>0,     

数学解题应遵循“多想少算”原则

1问题的提出在辅导一名高三学生时,遇到了这样一个数学问题:函数f(x)=1+3x²/|x|√1+x²(x≠0)的最小值为__.     

新题征展(131)

A题组新编1.(张俊)(1)设实数x,y满足x+y=1,则1/x+4/y的取值范围为____;(2)设正实数x,y满足x+y≤1,则1/x+4/y的最小值为____;(3)设实数x,y满足x+y=1,则1/x+x/y的取值范围为____;(4)设正实数x,y满足x+y≤1,则1/x+x/y的最小值为____;(5)设实数x,y满足x+y=1,则1/x+1+4/y+1的取值范围为____;(6)设正实数x,y满足x+y≤1,则1/x+1+4/y+1的最小值为____;(7)设正实数x,y满足x+y≤1,则1/x+x/y+1的最小值为____;(8)设正实数x,y满足1/x+x/y≤1,则x+y最小值为____.     

学会用化归法思考高中代数问题

<正>化归法是通过数学知识和方法将不熟悉的问题转化为熟悉的问题的数学方法.在下面的内容中,将重点介绍化归法在高中代数中的应用.例1(1999年高考试题理科)若(2x+√3)⁴=a_0+a_1x+a_2x4=a_0+a_1x+a_2x²+a_3x2+a_3x³+a_4x3+a_4x⁴,那么(a_0+a_2+a_4)4,那么(a_0+a_2+a_4)²-(a_1+a_3)2-(a_1+a_3)²的值是().(A)1(B)-1(C)0(D)2思考方法上述问题如果你能找到"(a_0+a_2+a_4)2的值是().(A)1(B)-1(C)0(D)2思考方法上述问题如果你能找到"(a_0+a_2+a_4)²-(a_1+a_3)2-(a_1+a_3)²=(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4)(a_0-a_1+a_2-a_3+a_4)"之间的联系,就说明你学会化归法的使用方法.     

构造等差数列巧解最值题

<正>题目(2015届江苏省东海高级中学单元测试题填空题的压轴题)已知X>0,y>0且满足x+y/2+1/x+8/y=10,则2x+y的最大值为_____.这道题的常规解法是在等式x+y/2+1/x+8/y=10两边同时乘以(2x+y)后转化成(2x+y)²/2+(2x+y)(1/x+8/y)=10(2x+y)     

調和級数求和的一般方法

調和級数前n項的和 S_n=1/x+1/(x+a)+1/(x+2a)+…++1/(x+(n-1)a)虽然不能表示成任何n的有理函数,但在实际計算过程中,还是可以找到比直接相加更方便的求和办法。由于 d/dx ln x(x+a)(x+2a)…[x+(n-1)a]=d/dx{ln x+ln(x+a)+ln(x+2a)+…++ln[x+(n-1)a]}=1/x+1/(x+a)++1/(x+2a)+…+1/(x+(n-1)a)=S_n,所以 S_n=     

方程 dx/dt=f(x(t-1))具有周期量的4/3周期解的条件

本文证明了滞后型泛函微分方程(dx)/(dt)=f(x(t-1)) (E)存在4/3-周期解的两个定理.一个主要结果如下:假如f(x)是[a-1,a+1]上连续函数,且满足:(i)-f(x)=f(y),y=2a-x,(?)x∈[a-1,a]:(ii):f(x)=f(y),y=2a+1-x,(?)x∈[a,a+1]:(iii)f(x)>0,(?)x∈(a,a+1)和(?).则方程(E)存在4/3-周期解x(t),且x(-1+k4/3)=a+1,x(-2/3+k(4/3))=a,x(-1/3+k(4/3))=a-1,x(k(4/3))=a,k=0,1,2,….     

研讨一道调考压轴题的反思

武汉市2012届高中毕业生四月调考压轴题:已知函数f(x)=ln(1+x)-ax在x=-1/2处的切线的斜率为1.1.求a的值及覼(x)的最大值;2.证明:1+1/2+1/3+…+1/n>ln(n+1)(n∈N)*;3.设g(x)=b(ex-x),若g(x)≤g(x)恒成立,求实数b的取值范     

化不可能为可能

使用均值不等式求函数最值时,常常碰到不可能取等号的时候,此时,只要我们稍作变形,就能使等号成立.这就需要我们从不可能中探可能,化不可能为可能,下面举例剖析. 例1 求函数y=x2+3/(x2+2)~(1/2)的最小值。 解析y=x2+2+1/(x2+2)~(1/2)=(x2+2)~(1/2)+1/(x2+2)~(1/2)≥2,当且仅当(x2+2)~(1/2)=1/(x2+2)~(1/2)即x2+2=1(*),x2=-1时取等号,这是不可能的. 探讨 将(*)式改为x2+2=2,得x2=0,     

希望杯一试题的拓展

<正>2011年第二十二届"希望杯"全国邀请赛高一第一试第21题:(x2-2x+5)(1/2)+(x2-8x+25)(1/2)的最小值为,此时x=.解(x2-2x+5)(1/2)+(x2-8x+25)(1/2)=((x-1)2+22)(1/2)+((x-4)2+32)(1/2),此式的几何意义为点P(x,0)到点A(1,2)和B(4,3)的距离之和的最小值.设点B(4,3)关于x轴的对称点     

方程 dx/dt=f(x(t-1))具有周期量的4/3周期解的条件

本文证明了滞后型泛函微分方程(dx)/(dt)=f(x(t-1)) (E)存在4/3-周期解的两个定理.一个主要结果如下:假如f(x)是[a-1,a+1]上连续函数,且满足:(i)-f(x)=f(y),y=2a-x,(?)x∈[a-1,a]:(ii):f(x)=f(y),y=2a+1-x,(?)x∈[a,a+1]:(iii)f(x)>0,(?)x∈(a,a+1)和(?).则方程(E)存在4/3-周期解x(t),且x(-1+k4/3)=a+1,x(-2/3+k(4/3))=a,x(-1/3+k(4/3))=a-1,x(k(4/3))=a,k=0,1,2,….     

I.Schur问题的推广及证明

本文推广了Ⅰ.Schur 关于数列的三个结果,证明了函数 f(x)=(1+1/x)~(x+p_1)(x>0),g(x)=(1+1/x)~x(1+(p_2)/x)(x>0)与 h(x)=(1+p_3/x)~(x+1)(x>max{0,-P_3})单调下降充要条件,分别为 p_1≥1/2,p_2≥1/2与0相似文献   

一类不等式的图象解法

例1,解不等式(x+7)~(1/2)>x+((x+1)~2-4x)~(1/2) 解:原不等式变形为 (x+7)~(1/2)>x+|x-1|在同一坐标系中分别作出函数y=(x+7)~(1/2) 与y=x+|x-1|的图象交于A、B(x_A相似文献   

一道初三课外练习的另解及说明

<正>贵刊2015年第9期(初中版)课外练习,初三年级.解方程(1+x+x²)(1+x+x2)(1+x+x²+…+x2+…+x⁽¹⁰⁾)=(1+x+x(10))=(1+x+x²+…+x2+…+x⁶)2.为了比较另解与原解答的不同,我们还是先给原解答,然后展开另解.一、原解答解显然x=0是原方程的根.若x≠0则原方程可以化为     

三次函数图像对称性的证明

<正>我们已经知道二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图像关于直线x=-(b/2a)对称,那么三次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像关于直线x=-(b/2a)对称,那么三次函数f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d(a≠0)有没有对称性呢?这类函数图像有对称中心,其对称中心为(-b/3a,f(-b/3a).下面我从多角度证明.证法1配方法f(x)=ax2+cx+d(a≠0)有没有对称性呢?这类函数图像有对称中心,其对称中心为(-b/3a,f(-b/3a).下面我从多角度证明.证法1配方法f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d     

运用重要极限lim x→0(1+x)~(?/x)=e求极限时的一个简便方法

<正> 运用重要极限lim(1+x)~(1/x)=e(或lim(1+1/x)~x=e)求极限是求未定式“1~∞”型极限的一个重要方法。例如: