用子级数求非齐次常微分方程的特解

<正> 本文讨论方程D~K·(D~(K_1)-a_1)·(D~(K_2)-a_2)…(D~(K_r)-a_r)y=x~i (1)的特解的求法。引入子级数族     

通项·回归·解出

先看具体问题。例1 数列{a_n}满足a_1=a_2=1,且a_(n+2)=a_n+a_(n+1) 求证:(a_1/2)+(a_2/2~2)+(a_3/2~3)...+a_n/2~n<2 证明设S_n=a_1/2+a_2/2~2+...+a_n/2~n 由a_n+2=a_n+a_(n+1)得 a_n=a_(n+2)-a_(n+1)。 Sn=(a_3-a_2)/2+(a_4-a_3)/2~2+...+     

从一道竞赛题谈周期数列的有关问题

1985年第三届美国数学邀请赛(AIME)试题第五题是: 选取一列整数a_1,a_2,a_3,……,使得每个n≥3都有a_2=a_(n-1)-a_(n-2),若该数列的前1492项之和等于1985,而前1985项之和等于1492,那么前2001项之和是多少? 原参考答案根据关系式a_n=a_(n-1)-a_(n-2)所暗示的递推规律给出了一个探索性解答,这里将通过求通项公式的办法进行解答;并在此基础上得出两个一般性公式。解:∵ a_n=a_(n-1)-a_(n-2), ∴ a_n-a_(-1)+a_(-2)=0 易知此递推式乃二阶齐次线性递归方程,解相应的特征方程x~2 -x+1=0得:     

时滞Logistic方程非振动解的存在性

本文获得了时滞Logistic方程 x'(t)=r(t)x(t)[1-a_1x(g_1(t))-a_2x(g_2(t))]~a,t≥0关于其正平衡状态x=1/(a_1+a_2)存在非振动解的充分条件与充要条件,改进并推广了Aiello中的结果.     

巧妙代换,简捷证明

浙江教育出版社出版的《高中数学精编综合训练》一书P.18有这样一道试题: 例已知1/2≤a_k≤1,(k∈N)。求证:a_1a_2a_3…a_n (1-a_1)(1-a_2)…(1-a_n)≥1/2~(n-1)。该不等式证明确有一定的难度,原书采用数学归纳法证明,其过程十分繁杂,并且技巧性很强。如果我们作一个巧妙的代换,问题则十分简单,迎刃而解。证明令a_k=1/2 b_k,有0≤b_k≤1/2。则 a_1a_2…a_n (1-a_1)(1-a_2)…(1-a_n)=(1/2 b_1)(1/2 b_2)…(1/2 b_n) (1/2-     

求多项式根的新劈因子法

本文给出了劈出多项式F(z)的二次因子的程序{w_n(z)}:若则取 w_(n+1)(z)=z~2+(a_2c_1-a_1c_2)/(a_2b_1-a_1b_2)z+(a_2d_1-a_1d_2)/(a_2b_1-a_1b_2);文中指出此法与Bairstow法效果相当,并提供了一些例子.     

非线性四阶双曲方程扩展的非协调混合元方法的超收敛分析及外推

对一类非线性四阶双曲方程,利用EQ_1~(rot)元及零阶Raviart-Thomas元建立一个新的扩展的非协调混合元逼近格式.首先证明了逼近解的存在唯一性.其次,基于EQ_1~(rot)元特殊性质,再利用零阶Raviart-Thomas元的高精度分析结果和插值后处理技术,在半离散格式下导出了原始变量u和中间变量v=-?u在H~1模及中间变量q=?u,σ=-?(?u)在(L~2)~2模意义下具有O(h~2)阶的超逼近性质和超收敛结果.最后,利用EQ_1~(rot)元的渐近展开式,构造一个新的合适的外推格式,得到相关变量O(h~3)阶的外推解.     

推导椭圆标准方程的几点体会

在推导椭圆的标准方程的教学中,如果教师引导学生探索其中的数量关系,可以得出许多有趣的规律。教材中关于椭圆标准方程推导如下: |MF_1|+|MF_2|=2a((x+c)~2+2)~(1/2)((x-c)~2+y~2)~(1/2)=2a((x-c)~2+y~2)~(1/2)=a~2-cx(*)b~2x~2+a~2y~2=a~2b~2x~2/a~2+y~2/b~2=1(b~2=a~2-c~2)。从这个推导中我们可以算出下列几个结论。 (一)由(*)式((x-c)~2+y~2)~(1/2)/(a~2/c-x)=c/c     

拟线性双相滞热传导方程的一个H~1-Galerkin混合有限元方法分析

利用不完全双二次元Q_2~-和一阶BDFM元,对拟线性双相滞热传导方程构造了一个新的H~1-Galerkin混合元格式.在不借助投影算子的条件下,直接利用单元插值算子的特殊性质,对于半离散和全离散格式,分别给出了原始变量在H~1-模及流量在H(div)-模下的具有O(h~3)及O(h~3+(△t)~2)阶的超逼近估计.     

一类Kolmogorov捕食系统的极限环

研究一类Kolmogorov捕食系统dx/dt=x(a_0-a_1x+a_2x~(n-1)-a_3x~n+a_4xy~m),dy/dt=y(b_1x~n-b2),得到了存在唯一极限环和不存在极限环的充要条件,从而推广了前人相关的结果.     

一般二次曲线为抛物线时位置的确定

从二次曲线的一般方程 ax~2+2hxy+by~2+2gx+2fy+c=0 (1)直接确定曲线相对于坐标轴的位置,即不经过坐标变换,直接得到标准坐标系下的标准方程,并直接确定标准坐标系在原坐标系中的位置,当(1)表示中心型曲线时,这个问题已经解决了(例如见[2]第五章§4)。本文讨论(1)为抛物线时位置的直接确定问题。按一般教科书(例如[1])中的记号,基本不变量记为当I_2=0,I_2(?)0时,(1)表示抛物线,我们已经知道可以利用不变量直接写出化简后的方程([1]中称之并且还可以求出对称轴(x~*轴)的方向,但[2]中说     

具有时滞的时间离散反应扩散系统行波解的存在性

本文利用上下解和交叉迭代方法研究一类具有时滞的时间离散反应扩散系统行波解的存在性.所得结果能很好地应用到时间离散的竞争系统{u_n(x)-u_(n-1)(x)=d_1?~2/?x~2u_n(x)+r_1u_n(x)[1-a_1u_n(x)-b_1u_(n-t1)(x)-c_1u_(n-t2)(x)],u_n(x)-u_(n-1)(x)=d_2?~2/?x~2u_n(x)+r_2u_n(x)[1-a_2u_n(x)-b_2u_(n-t3)(x)-c_2u_(n-t4)(x)]中,而研究其行波解存在性转化为寻找一对合适的上下解.这些结果推广了已有的一些结果.     

Periodic Solution of a Nonautonomous Diffusive Food Chain System of Three Species with Time Delays

Abstract By using the continuation theorem of coincidence degree theory,the existence of a positive periodicsolution for a nonautonomous diffusive food chain system of three species. dx_1(t)/dt=x_1(t)[r_1(t)-a_(11)(t)x_1(t)-a_(12)(t)x_2(t)]+D_1(t)[y(t)-x_1(t)], dx_2(t)/dt=x_2(t)[-r_2(t)+a_(21)(t)x_1(t-r_1)-a_(22)(t)x_2(t)-a_(23)(t)x_3(t)], dx_3(t)/dt=x_3(t)[-r_3(t)+a_(32)(t)x_2(t-r_2)-a_(33)(t)x_3(t)], dy(t)/dt=y(t)[r_4(t)-a_(44)(t)y(t)]+D_2(t)[x_1(t)-y(t)]+D_2(t)[x_1(t)-y(t)],is established,where,r_i(t),a_(ii)(t)(i=1,2,3,4),D_i(t)(i=1,2),a_(12)(t),a_(21)(t),a_(23)(t)and a_(32)(t) are all positiveperiodic continuous functions with period w>0,T_i(i=1,2)are positive constants.     

关于B.E.Rhoades的两个不动点定理的反例

B.E.Rhoades[1]中定理10和定理16是错误的。现举反例说明之。 (一)[1]中定理10为: 设f∈(73),且诸α_i满足: (1) r(t)·s(t)=a_1(t)+a_3(t)+a_5(t)/1-a_2(t)-a_3(t)·a_2(t)+a_4(t)=a_5(t)/1-a_1(t)-a_4(t)<1对任何t>0均成立。又设x_0∈X。则f~p或f~q有不动点。若再有:     

2-维Ginzburg-Landau方程的一种混合有限元方法的高精度分析

针对2-维Ginzburg-Landau方程,采用EQ_1~(rot)非协调元及零阶RaviartThomas元讨论了一种混合有限元方法.在半离散格式和线性化的Euler格式下,分别有技巧的导出了原始变量u在H~1能量模意义下及流量■在L~2模意义下的O(h~2+τ~2)阶的超逼近性质.给出一个数值算例验证了理论结果的正确性.     

羅巴切夫斯基求實根近似值法

求方程各實根的近似值,往往先將各級分離而個別地進行,未有同時全部獲得者,有之,自俄羅斯伟大數學家羅巴切夫斯基創立方法始,茲依據於Я.C.貝吉克維奇著“近似計算”略述共法於下: 設已知一代數方程為a_0x~n+a_1x~(n-1)+a_2x~(n-2)+…+a_n-1~x+a_n=0 (1)其中n為自然數,a_0,a_1,a_2,…,a_n為整數,並設其僅有各不相等的實根而為 |x_1|>|x_2|>|x_3|>…>|x_n|。方程(1)也可寫作 (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)…(x-x_n)=0 (2) 現在讓我們來構成一新方程。以-x代原方程中之x,則必恒得a_0x~n-a_1x~(n-1)+a_2x~(n-2)-a_3~(n-3)+…+(-1)~na_n=O (3)其根為-x_1,-x_2,-x_3,…,-x_n,且由此得     

The Unitary Equivalence Problem of Unilateral Weighted Shifts

In this paper, we study the unilateral weighted shift which is unitarily equivalent to a Toeplitz operator and prove a similar result to that in [1] without the hypothesis that the shift must be hyponormal. As a corollary, we show that if the weight sequence {α_n}_(n=0)~∞ of the shift is convergent, then 1-a_n~2=(1-a_0~2)~(n 1) n≥0     

含分数逆幂的矩阵方程对称自反解的双迭代算法

<正>1引言含分数逆幂的矩阵方程在控制理论、梯形网络和动态规划等领域中有重要的应用~([1-3]).考虑有代表性的一类含分数逆幂的双变量矩阵方程A_1X_1B_1+A_2X_2B_2+E_1X_1~(-1/2)F_1+E_2X_2~(-2/3)F_2=G,(1)其中A_i,B_i,E_i,F_i,X_i,G∈R~(n×n)(i=1,2).替换方程(1)中的X_1~(1/2)为X_1,X_2~(1/3)为X_2可得A_1X_1~2B_1+A_2X_2~3B_2+E_1X_1~(-1)F_1+E_2X_2~(-2)F_2=G.(2)近年来,人们对这种类型的非线性矩阵方程进行了许多研究,并建立了一些有效的算法.例如,Li J等~([1])研究了方程X-A~HX~(-p)A=Q唯一正定解的存在性问题,并给出了方     

二阶变系数线性方程的一个新的不变量及其应用

本文考虑一般形式的二阶线性齐次方程x′+p(t)x′+Q(t)x=0,证明了J(t)?[Q′(t)+2p(t)Q(t)]/(1/2)|Q(t)|~3是该方程在自变量变换下的一个不变量。由此出发,讨论了这个不变量在求解二阶变系数线性方程中的应用。     

非线性四阶双曲方程低阶混合元方法的超收敛分析

对一类非线性四阶双曲方程利用双线性元Q_(11)及Q_(01)×Q_(10)元给出了一个低阶混合元格式.基于上述两个单元的高精度结果,采用插值和投影相结合的方法,利用对时间t的导数转移技巧,借助插值后处理技术,在半离散格式下导出了原始变量u和中间变量u=-△u在H~1模意义下及流量p=-▽u在(L~2)~2模意义下具有O(h~2)阶的超逼近和超收敛结果.与此同时,在全离散格式下,证明了u和v在H~1模意义下及p在(L~2)~2模意义下单独利用插值或投影所无法得到的具有O(h~2+(△t)~2)阶的超逼近和超收敛结果.