无穷限反常积分收敛的必要条件

＋∞摘要将无穷限反常积分的敛散性与无穷级数的敛散性相联系,讨论反常积分∫a f （x）d x收敛的必要条＋∞件。若被积函数 f （x）在[a ,＋∞）上单调连续或其导函数有界,则limx→＋∞ f （x）＝0就是∫a f （x）d x收敛的必要条件。     

函数非一致连续的一个充分条件

对于导函数f′（x）在区间（a,b）（其中a可为-∞,b可为＋∞）无界的情形,通过序列的上极限引入适当条件,可给出判断函数f（x）在（a,b）非一致连续的一个充分条件.     

一道质检题的解法探究

题 （南京市2009届高三质量检测20）已知函数f（z）=1/2x2-alnx（a∈R）, （1）若函数f（x）在x=2处的切线方程为y=x＋b,求a,b的值 （2）若函数f（x）在（1,＋∞）为增函数,求a的取值范围;     

无穷限反常积分收敛时被积函数的极限状态

根据无穷限反常积分∫a^＋∞f（x）dx收敛的柯西准则和定积分的性质,讨论被积函数f（x）当x→∞时。的极限状态,并得出当无穷限反常积分∫a^＋∞f（x）dx收敛且f（x）在[a,＋∞）上连续,或者无穷限反常积分∫a^＋∞f（x）dx绝对收敛时,存在数列{xn}∩[a,＋∞]且xn→＋∞（n→∞）,使limn→∞xnf（xn）=0.     

一道高考题的两个简单证明

2008年高考数学江西理科卷压轴题为： 已知函数f（x）=1/√1＋x＋1/√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）.     

“V”形图与含多个绝对号的和函数的性质

2004年上海高考理科卷第10题“若函数f（x）=a｜x—b｜＋2在[0,＋∞）上为增函数,则实数a、b的取值范围是__”．学生在解这道题时感到手足无措,主要是因为对函数．f（x）=a｜x-h｜＋k（a,h,k∈R,a≠0）的图像和性质不了解．     

问题172 这道关于函数的题是病题吗？

若函数f（x）=x^2＋2（a-1）x＋2在区间（-∞，4）上是减函数，则实数a的取值范围是     

另解两道联赛题

（一）2010年全国高中数学联赛一试试题（9） 已知函数f（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d（a≠0）,当0≤x≤1,｜f′（x）≤1｜,试求a的最大值．     

GLOBAL ASYMPTOTICS TOWARD THE REREFACTION WAVES FOR A PARABOLIC-ELLIPTIC SYSTEM RELATED TO THE CAMASSA-HOLM SHALLOW WATER EQUATION

This article is concerned with the global existence and large time behavior of solutions to the Cauchy problem for a parabolic-elliptic system related to the Camassa-Holm shallow water equation {ut＋（u^2/2）x＋px=εuxx, t〉0,x∈R, -αPxx＋P=f（u）＋α/2ux^2-1/2u^2, t〉0,x∈R, （E） with the initial data u（0,x）=u0（x）→u±, as x→±∞ （I） Here, u_ 〈 u＋ are two constants and f（u） is a sufficiently smooth function satisfying f＂ （u） 〉 0 for all u under consideration. Main aim of this article is to study the relation between solutions to the above Cauchy problem and those to the Riemann problem of the following nonlinear conservation law It is well known that if u_ 〈 u＋, the above Riemann problem admits a unique global entropy solution u^R（x/t） u^R（x/t）={u_,（f′）^-1（x/t）,u＋, x≤f′（u_）t, f′（u_）t≤x≤f′（u＋）t, x≥f′（u＋）t. Let U（t, x） be the smooth approximation of the rarefaction wave profile constructed similar to that of [21, 22, 23], we show that if u0（x） - U（0,x） ∈ H^1（R） and u_ 〈 u＋, the above Cauchy problem （E） and （I） admits a unique global classical solution u（t, x） which tends to the rarefaction wave u^R（x/t） as → ＋∞ in the maximum norm. The proof is given by an elementary energy method.     

2011年高考湖北卷理科压轴题的解法探讨

2011年高考湖北理科压轴题（第21题）： （Ⅰ）已知函数f（x）=lnx—x＋1,x∈（0,＋∞）,求函数f（x）的最大值; （Ⅱ）设ak,bk（k=1,2,…,n）均为正数,证明： （1）若a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤b1＋b2＋…＋bn,则a1^b1a^b2^2≤1;     

极限lim x→＋∞f（x）=0的一个充分条件的探讨

从无穷积分∫＋∞ a f（x）dx收敛与无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0之间的关系展开论述,研究在广义积分∫＋∞ a f（x）dx收敛的前提下,无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0的一个充分条件．在此基础上,适当减弱条件得到该条件的推广形式,为更好的解决无穷远极限lim x→＋∞f（x）=0的问题提供更一般的方法．     

函数的右导数与导函数的右极限的关系

通过例子和定理讨论了函数f（x）在点x0处的右导数f′＋（x0）与导函数当x→x0^＋时的右极限f′（x0^＋）=limx→x0^＋f′（x）之间的关系．     

例谈极值问题转化的策略

函数y=f（x）在点x=a的函数值f（a）比它在点x=a附近其它点的函数值都大（都小）,f′（a）=0,而且在点x=a附近的左侧f′（x）〈0（f′（x）〉0）,右侧f′（x）〉0（f′（x）〈0）,就把点a叫函数y=f（x）的极小值（极大值）点,f（a）叫函数y=f（x）的极小值（极大值）.可见极值点a处一定有f′（a）=0,但是f′（a）=0的点a不一定为极值点.处理极值问题除了课本上常见的列表定义判断外,     

一道习题的互动教学及反思

已知函数f（x）的定义域为（0，＋∞），且对于任意的正实数x、y都有f（xy）=f（x）＋f（y），又当x〉1时，     

综合题新编选登

题130 设定义在R上的函数 f（x）=a0x^4＋a1x^3＋a2x^2＋a3x＋a4（a0,a1,a2,a3,a4∈R）， 当x=-1时,f（x）取极大值2/3，且函数y=f（x＋1）的图象关于点（-1,0）对称。     

值得关注的试题研究三个过程：“解法、变式及拓广、应用”

本文通过一个试题案例谈谈如何关注试题研究的三个过程“解法、变式及拓广、应用”,供教学时参考.案例试题已知函数f（x）=lnx-a/x,g（x）=f（x）＋ax-6lnx,其中a∈R.（1）当a=1时,判断函数f（x）的单调性;（2）若g（x）在其定义域内为增函数,求正实数a的取值范围;（3）设函数h（x）=x2-mx＋4,当a=2时,     

Monotone positive solution for three-point boundary value problem

In this paper, the existence of monotone positive solution for the following secondorder three-point boundary value problem is studied：
x″（t）＋f（t,x（t））=0,0〈t〈1,
x′（0）=0,x（1）＋δx′（η）=0,
where η ∈ （0, 1）, δ∈ [0, ∞）, f ∈ C（[0, 1] × [0, ∞）, [0, ∞））. Under certain growth conditions on the nonlinear term f and by using a fixed point theorem of cone expansion and compression of functional type due to Avery, Anderson and Krueger, sufficient conditions for the existence of monotone positive solution are obtained and the bounds of solution are given. At last, an example is given to illustrate the result of the paper.     

解一道高考题后的反思

题：设a为实数，记函数f（x）=a√1-x^2＋√1＋x＋√1-x的最大值为g（a）． （1）设t=√1＋x＋√1-x,求t的取值范围，并将f（x）表示为t的函数m（t）．     

再探函数f（a＋x）与f（a-x）的图像性质

文[1]研究了两种不同情况：一种是函数f（a＋x）与函数f（a-x）的图像关于直线对称的问题;另一种是函数f（x）对一切x∈R满足f（a＋x）=f（a-x）都成立,函数f（x）图像关于直线对称的问题．     

一道高考题的多角度审视

2007年广东高考数学卷理科第21题：题目已知函数f（x）=x^2＋x-1，α,β是方程f（x）=0的两个根（α＞β），f′（x）是f（x）的导数,设α1=1，αn＋1=αn-f（αn）/f′（αn）（n=1,2，…）．