方程dy/dx=(q_(00)+q_(10)x+q_(01)y+q_(20)x~2+q_(11)xy+q_(02)y~2)/p_(00)+p_(10)x+p_(01)y+p_(20)x~2+p_(11)xy+p_(02)y~2)所定义的积分曲线的定性研究(Ⅱ):极限圈的唯一性

<正> 作为[1]的定理1的特例,我們知道方程dy/dt=x,dx/dt=-y+mxy+ny~2(mn≠0)(1)沒有周期解.此方程有一个指标为+1的初等奇点(0,0)和一个鞍点(0,1/n).(0,0)的稳定性由mn的符号决定,当mn>0时为不稳定,mn<0时为稳定.今后不妨設m<0(否則将x,t改号),n<0(否則将y,t改号),于是由旋轉向量場的理論[2],知道当d<0而絕对值足够小时方程     

方程dy/dx=(q_(00)+q_(10)x+q_(01)y+q_(20)x~2+q_(11)xy+q_(02)y~2)/(p_(00)+p_(10)x+p_(01)y+p_(20)x~2+p_(11)xy+p_(02)y~2)所定义的积分曲线的定性研究(Ⅰ)

<正> §1.引言自从1955年苏联学者和証明实系数方程dy/dx=q_(00)+q_(10)x+q_(01)y+q_(20)x2+q_(11)xy+q_(02)y~2/p_(00)+P_(10)x+P_(01)y+p_(20)x~2+P_(11)xy+p_(02)y~2(1)最多只有三个极限圈以后,关于方程(1)的极限圈的分布問題引起我国数学工作者的极大的注意.首先,秦元勳在[2]中得到了方程(1)以二次曲綫为极限圈的充要条件,并同时研究了滿足这种条件的方程(1)的积分曲綫的全局結构.其后,本文作者之一在[3]中     

系统x=-y d·x x~2 d·xy-(a 1)y~2-a·y~3 y=x·(1 ax y)(0≤a≤1)的极限环讨论

本文讨论了系统x=-y dx x~2 dxy-(a 1)y~2-ay~3(1)y=x(1 ax y)(0≤a≤1)的极根环,证明了: 1)ad≤0时,(1)在全平面上无极限环。 2)ad≥3时,(1)不存在围绕原点的极限环。 3)3>ad>0,|d|1时,(1)存在包围原点的极限环。 4)3>ad>0时,(1)至多有一个围绕原点的极限环。 本文包含了文[1]的全部结论。     

关于方程dy╱dx=-y+dx+lx~2+mxy+ny~2╱x+ax~2所定义的积分曲线的定性研究(Ⅰ)

关于方程立~d劣户00+户一。二+户。:y+户ZoxZ+户lix夕+户妇y;’(l)极限环问题川已作了部分研究,在排除几种不可能存在极限环的情况下,对于方程(l)极限环问题的研究可归结为研究方程卫么~众一夕+dx+lxJ+m二y+刀夕2二+axZ+bxy(2)郎【11中所谓(m)类方程.若假定b~0,则(2)化为方程卫艺~犷下.十dx+lx;+,砂.大.”,dx公+a刃2(3)亦郎(n)类方程.关于方程(3)的极限环问题,【l]先假定方程(3)中l~0,对这种情况下方程(3)的极限环的存在性与积分曲线的全局结构作了详细的研究,然后在方程(3)右端分子上加上一项l式1+。幻,希望利用旋转向量场的理论来研究方…     

方程(dy)/(dx)=(sumq_(ij)x~iy~j from 0≤i+j≤2)/(sum p_(ij)x~iy~j from 0≤i+j≤2)所定义的积分曲线的定性研究(Ⅵ):Ⅰ类方程的极限环

继【2],考察最一般的I类方程注劣.,二,二,_,、d,_,—~一y十心x十lx’十xy十n犷~尸Lx,夕),一~x~夕气x,y)‘dt----一dt一在其中不”‘+·>0,方程(‘,有两个有限远奇点:“(0,。,为焦点,“(”,劲(l)为鞍点,由旋转向量场的理论[a.4]得知,当d由。变为负值时,0由不稳定焦点变为稳定,在它附近产生一个不稳定极限环,且随d减小而单调地扩大.〔l]首先证明了:当l~o时,此极限环最后遇鞍点N而消失.在这一过程,没有其它极限环产生.【2」则证明了。~0或l一41,一。时极限环的唯一性.本文将证明,当,)21>0,l,)丝时,(l)的极 l6限环最多也只有一个.与此同时,还…     

方程组dx/dt=-y+δx+lx~2+xy+ny~2,dy/dt=x的极限环的唯一性

<正> 关于具实系数的实变量方程组dx/dt=-y+δx+lx~2+xy+ny~2,dy/dt=x的极限环的唯一性问题过去国内数学工作者曾得到不少结果,但仍未能彻底解决问题,本文的目的是要证明定理1 对于任意的系数δ,l,n方程组(1)最多只能有一个极限环.首先回忆一下历史,不失一般性,可假设     

Riccati型方程f'(y)dy/dx=P(x)f~2(y)+Q(x)f(y)+R(x)e~(∫Q(x)dx)的一个新的可积条件

本文利用变量变换法与常数变易法给出Riccati型方程f'(y)dy/dx=P(x)f~2(y)+Q(x)f(y)+R(x)e~(∫Q(x)dx)的一个新的可积条件∫P(x)e~(∫Q(x)dx)dx=-1/2∫R(x)dx,同时给出该条件下方程的通解,并由此推得若干类Riccati方程的通解.     

x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx的应用

“一般向特殊”的推理称作演绎推理,一个公式在特值(或部分特值)下的应用称作演绎应用。在教学过程中不失时机地向学生介绍公式的演绎应用,无论是丰富知识,还是培养能力,都是有益的事。对不等式 x~2+y~2+z~2≥xy+yz+zx(当且仅当x=y=z时取等式)作演绎变换,如取 z=c(常数),可得不等式 x~2+y~2+c~2≥xy+c(x+y) (当且仅当x=y=c时取等号)。这个“演绎不等式”有多种用途。例1 (解特殊的二元二次方程)解方程 9x~2+6xy+4y~2-3cx+2cy+c~2=0。解原方程化为 (3x)~2+(-2y)~2+c~2 =(3x)(-2y)+c(3x-2y)。由演译不等式可知,等号成立的条件是:3x=-2y=c。故原方程的解为     

二次系统极限环的不存在性

本文借助于一个变换得到关于二次系统 dx/dt=-y+δx+lx~2+mxy+ny~2,dy/dt=x(1+ax+by),n>0在两个奇点 O(0,0)和(?)(0,1/n)附近不同时存在和同时不存在极限环的新判别法.     

关于函数y=lg(cx+d)/(ax+b)图象的对称问题

函数y=lgx-1x+1是奇函数,它的图象关于原点对称,而象函数y=lgx-1x+3,它没有奇偶性,但其图象会不会关于非原点的某特殊点对称呢?事实上,y=lgx-1x+3=lg(x+2)-1(x+2)+1,显然,它的图象可以由奇函数y=lgx-1x+1的图象向左平移2个单位得到,所以函数y=lgx-1x+3的图象关于点(-2,0)对称.一般地,我们可以得到函数y=lgcx-dax+b(ad≠bc,ac≠0)的对称中心,分两种情形:情形1 ac>0不妨设a,c均大于0.若a,c均小于0,则y=lgcx+dax+b=lg-cx-d-ax-b=lgnx+n′mx+m′,其中m,n均大于0.结论1函数y=lgx-mx+m(m≠0)是奇函数,它的图象有对称中心为原点(0,0).∴f(2)+f(-2)=…     

关于一个平面二次系统极限环的唯一性

<正> 我们这里研究平面二次系统容易知道方程（1）当δ=0时不存在闭轨与奇闭轨线，事实上只要引进变数变换d而且1+by=0是无切直线,因此当δ=0时(1)无闭轨与奇闭轨.因为(1)对于参数δ构成旋转向量场,因而我们知道(1)当δa(b+2l)≤0时在原点附近不存在极限环,而当δa(b+2l)>0且|δ|《1时在原点附近存在极限环,本文证明了(1)的极限环是唯一的.     

实系数的复系统■=-x,■=y-(αx+βx~(2n+1))至少有n个极限环(αβ≠0)

本文在[2]的基础上引入实系数的复微分系统的枝桠平面的概念。并证明:实系数的复微分系统(1):y=-x,x=y-(αx+βx~(2n+1)恰有2n个枝桠平面。在这2n个枝桠平面上系统(1)的极限环数的总和为n。又当β≠0(α≠0)和α(β)用变号时,n个枝桠平面上的n个极限环经过原点(无穷远)跳到另n个枝桠平面上。     

一类系统的极限环讨论

文[1]研究了二次系统 dx/dt=-y+dx+x~2+dxy-y~2 dy/dt=x·(1+ax+y)证明了ad≤0或ad≥3时,(E_2)无围绕原点的极限环,0相似文献   

方程y″(x)+p(x)y(x)=y(x)解的有界性与振动性

设P(x)、f(x)∈C~1[0,+∞),在[0,+∞)上,P(x)>0,P′(x)≤0且(?)P(x)=ρ>0,intejral form 0 to +∞。|f′(t)|dt<+∞。我们给出了方程y″+P(x)y=f(x)解的有界性与振动性结果。     

微分方程=φ(y)-F(x),=-g(x)的极限环的存在唯一性和唯二性

本文§1讨论方程组 (?)=(?)(y)-F(x),(?)=-g(x)极限环的存在性,推广了作者的结果和方法. §2建立了各种类型的极限环存在唯一性定理.包括(E)的一切轨线是否绕原点打转,积分integral from 0 to ±∞(g(x)dx)和integral from 0 to ±∞(F′(x)dx)是否发散,奇点为一个及两个等情况;包括(E)的一切异于零的轨线当t→+∞时都趋于此唯一的极限环,以及可用以确定极限环的位置     

关于不定方程y(y+1)(y+2)(y+3)=4n~2x(x+1)(x+2)(x+3)

设1n∈N*,运用Pell方程的一些结果以及代数数论和p-adic分析方法证明了不定方程y(y+1)(y+2)(y+3)=4n~2x(x+1)(+2)(x+3)(x,y∈N*)除开n=1189时仅有一组解(x,y)=(33,1680)外,无其他解.     

探讨Pdx+Qdy+Rdz为某函数u(x,y,z)全微分的积分因子

就微分形式P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz为某函数u(x,y,z)的全微分的积分因子进行了探讨,提出了积分因子的必要条件,以及P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是齐次函数时,方程Pdx+Qdy+Rdz=0具有积分因子的充分条件进行了初步探讨.     

平面2n+1次系统极限环的唯一性

讨论了微分方程组 dx/dt=-y(1 -ax2 n) +bx-cx2 n+ 1,dy/dt=x(1 -ax2 n) ,并且给出了其极限环存在唯一的条件 .     

不等式(x+y)/2≥(xy)~(1/2)的一点应用

众所周知,当a、b为实数时有(a-b)~2≥0,而有a~2+b~2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立。进一步引伸,不难得到: x+y/2≥(xy)~(1/2)≥2/(1/x+1/y) (*) 这里,x>0,y>0,当且仅当x=y时等号成立。不等式(*)有着广泛的运用,在很多书刊上     

再谈直线x0x/a2±y0y/b2=x02/a2±y02/b2的几何意义及其性质

文 [1 ]、[2 ]分别讨论了直线x0 xa2 + y0 yb2 =1 ,x0 xa2 - y0 yb2 =1的几何意义 ,对应地 ,本文讨论直线 x0 xa2 + y0 yb2 =x0 2a2 + y0 2b2 和直线x0 xa2 - y0 yb2 =x0 2a2- y0 2b2 的几何意义 ,作为文 [1 ],[2 ]的补充 .为节约篇幅 ,本文重点讨论x0 xa2 - y0 yb2 =x0 2a2 - y0 2b2 在双曲线 x2a2 - y2b2 =1中的几何意义和性质 ,类似得x0 xa2 +y0 yb2 =x0 2a2 + y0 2b2 中椭圆中的几何意义和性质 .1　直线x0 xa2 ± y0 yb2 =x0 2a2 ± y0 2b2 的几何意义　　已知点D(x0 ,y0 )不在坐标原点 .性质 1 1　当x0 2a2 - y0 2b2 =1 (点D(x0 ,y0 …