基于Caputo导数的分数阶非线性振动系统响应计算

研究了含分数阶Caputo导数的非线性振动系统响应的数值计算方法。首先,由Caputo分数阶导数算子的叠加关系,得到含分数阶导数项非线性振动系统状态方程的标准形式。其次,基于Caputo导数与Riemann-Liouville导数和Grunwald-Letnikov导数间的关系,推导计算了Caputo导数的一般数值迭代格式。本文方法不要求状态方程中各分数阶导数阶数相等,弱化了已有算法中对分数阶导数阶数的限制,并可推广到多自由度的情形。随后,选择若干有解析解的算例验证了本文方法的正确性。最后,以多吸引子共存的分数阶Duffing振子系统为例,比较Caputo和GL两种算法所得结果,说明了用GL算法求解存在的问题。     

分数阶微分方程的Haar小波算法研究

在BPFs的Caputo分数阶微分算子矩阵的基础上,建立了Haar小波的分数阶微分算子矩阵,提出了一种有效的求解分数阶微分方程的Haar小波数值方法,并将该方法应用于线性和非线性分数阶常微分方程求解中.数值算例表明,该算法简单,数值精确度高,是一种高效的数值求解方法.     

分数阶导数粘弹性模型的有限元法

在分析分数阶导数三元件模型理论的基础上,把分数阶导数三元件模型引入有限元模型中,推导出具有分数阶导数三元件本构关系的粘弹性结构动力学有限元格式。同时,应用分数阶导数型粘弹性结构动力学方程的数值算法求解了该有限元格式的数值解。并以二维沥青路面结构为例进行了路面动态粘弹性响应分析。算例分析表明,该方法能够正确有效地进行路面动态粘弹性分析。     

三种分形和分数阶导数阻尼振动模型的比较研究

标准的整数阶导数方程不能准确描述粘弹性材料的记忆性参考文献[1]和阻尼的分数次幂频率依赖[2],因此分形导数、分数阶导数及正定分数阶导数被用于描述粘弹性介质中的阻尼振动.该文通过分析模型和数值模拟,比较了三种模型描述的振动过程.结果显示,当p小于约O.75或大于约1.9时(p为非整数阶导数的阶数),分形导数模型衰减最快;当P大于约0.75且小于约1.9时,正定分数阶导数模型衰减最快,衰减最慢的分别为分数阶导数模型(p<1)和分形导数模型(p>1).且正定分数阶导数模型衰减快于分数阶导数模型,当p接近2时,两种模型较为相近.     

基于LMI的框架结构分数阶控制方法研究

以框架结构为研究对象，采用分数阶状态方程进行控制器设计，提出了基于LMI的分数阶控制器设计方法。首先，把原系统振动方程改为阶次为1～2的分数阶状态方程，同时，构造同阶次分数阶控制器状态方程，进而组装为一个整体状态方程；其次，根据分数阶系统稳定性条件确定满足系统渐进稳定性的不等式。为了获得可行解，在不等式中附加了两个参数，同时，令控制器参数矩阵为对称；再次，从仿真结果来看，控制效果过好，但控制力偏大，为此，控制力计算时附加了调节因子，以期在满足控制效果的基础上，降低所需控制力；最后给出了一个算例说明本文方法的可行性。     

具有分数导数本构关系的非线性粘弹性Timoshenko梁动力学行为分析

本文利用分数导数型本构关系建立了在有限变形情况下Timoshenko梁的控制方程并利用Galerkin方法进行简化。然后利用一种存储部分历史数据的分数积分的计算方法对梁的控制方程进行求解。考察了载荷参数和分数导数参数对梁振动的影响,并采用非线性动力学中的各种数值方法,如时程曲线、功率谱、相图、Poincare截面等,揭示了非线性粘弹性Timoshenko梁丰富的动力学行为。     

分数阶粘弹性地基上薄板波动和振动特性分析

本文研究了粘弹性地基上薄板的波动和振动问题．主要讨论了基于分数导数理论的粘弹性地基模型上 薄板弯曲波的传播特性以及固有频率对地基的依赖特性．推导了三种经典粘弹性地基模型的复模量．并利用分 数导数的性质得到分数阶粘弹性地基上 Kirchhoff板中弯曲波的传播速度、衰减系数以及自由振动的复固有频 率．数值算例表明粘弹性地基对弯曲波传播特性存在显著影响,不同粘弹性模型所对应的色散和衰减特性也存 在较大差别．分数阶导数可以实现相邻整数阶导数之间的光滑过渡．利用分数导数的本构关系可以更加真实地 描述粘弹性地基的历史依赖行为,更准确地表现出粘弹性地基板中弯曲波的色散和衰减特性．     

分数阶导数阻尼下非线性随机振动结构响应的功率谱密度估计

对于受到由分数阶导数模拟的粘弹性阻尼的非线性随机振动结构,本文给出了一种计算响应的功率谱密度方法。借助标准的随机平均法,首先得到了振动结构随机响应振幅的稳态概率密度。对于原振动结构的非线性项,运用改进的统计线性化方法得到了均方意义下的等价线性振动结构,并求得了其响应的依赖于振幅的条件功率谱密度。综合以上的结果,针对随机振动响应的功率谱密度的估计,通过与数值模拟结果进行验证,从而证明了所提方法的有效性和准确性。     

基于非局部理论的分数阶黏弹性场地地震放大效应分析

基于非局部理论和分数阶导数理论,研究上覆黏弹性场地土的地震放大效应。利用Eringen非局部理论考虑土体颗粒尺度等非局部效应的影响,通过分数阶黏弹性本构模型刻画场地土的应力应变本构关系,建立基于非局部理论的分数阶黏弹性场地土的振动微分方程;考虑分数阶导数的性质和黏弹性场地土的边界条件,得到了简谐地震波作用下黏弹性场地土的位移和剪切应力的解析解,并在频率域内给出了位移放大系数和应力放大系数的表达式;最后通过数值算例分析了非局部效应、分数阶导数的阶数和土体黏性参数等对黏弹性场地地震放大效应的影响。数值分析结果表明,在低频时位移放大系数和应力放大系数随频率变化曲线存在波动,高频时逐渐趋于稳定;非局部效应对场地土位移放大系数的影响与频率有关,对应力放大系数的影响较大,在研究场地土振动效应时有必要考虑土体非局部效应的影响;分数阶导数的阶数越小,位移放大系数和应力放大系数随频率变化曲线波动越大;场地土的力学性质对场地土的振动效应的影响较大;上覆场地土的黏性对位移放大系数的影响与频率有关,高频时,土体黏性越大,位移放大系数越大;越接近基岩,土体的应力放大系数越大,且土体深度对应力放大系数的影响越大。     

非线性振动系统的多项式向量方法

对于常微分方程描述的非线性振动系统,当采用摄动方法求近似解时,先是给出满足各阶近似解的二阶常微分方程组,继而依次对每一个常微分方程进行求解,以致多自由度非线性振动系统的求解过程相当繁琐.文章针对常微分方程表示的非线性振动系统,提出了一种求解非线性振动系统近似解的多项式向量方法,该方法将二阶常微分方程组表示成一阶状态方程组,将非线性部分写成常数矩阵和多项式向量之积的形式.然后,采用直接摄动方法,获得每个幂次近似解所满足的一组状态方程,此时状态方程的非线性部分成为常数矩阵和前一幂次近似解作为元素组成的多项式向量的乘积.进一步,借助Toeplitz矩阵将多项式向量之乘法表示成矩阵形式,以解决多项式相乘带来的幂次方系数的确定问题,再根据一阶非齐次方程组的求解方法,获得状态方程组的全部近似解析解.多项式向量方法将二阶常微分描述的非线性振动求解过程转换为一阶非齐次状态方程组的求解问题,计算过程主要是矩阵和向量之间乘法运算,提高了计算效率和程序化水平.     

上覆分数导数粘弹性场地土地震放大效应

基于一维波动模型和分数导数粘弹性本构关系,分析了在竖直方向上传播的剪切地震波作用下,基岩上分数导数粘弹性模型描述的场地土的横向振动问题,用直接刚度矩阵法求得了场地土的地震放大效应系数,并用数值算例讨论了相关参量对分数导数粘弹性场地土地震放大效应系数的影响。研究结果表明:在简谐剪切地震波作用下,分数导数粘弹性场地土存在共振现象;分数导数的阶数、模型参数和基岩与上覆场地土层底部之间的阻抗比对场地土的地震放大效应系数有较大的影响。     

一种基于微分求积的空间分数阶扩散方程求解方法

通过微分求积建立求解变系数空间分数阶扩散方程的一种有效直接数值方法。基于Reciprocal Multiquadric和Thin-Plate Spline径向基函数推导两种逼近分数阶导数的微分求积公式，将所考虑的模型问题转化成易求解的常微分方程组，并采用Crank-Nicolson格式进行离散。给出5个数值算例，计算结果表明，只要径向基函数的形状参数选择恰当，本文方法在精度和效率上均优于一些现有算法。     

分数阶Chen混沌系统的完全同步与反相同步

以分数阶 Chen 系统为例,分析了该系统的混沌特性,并对其分别进行了完全同步与反相同步控制.首先,基于分数阶系统稳定性理论和非线性动力学理论,构造出相应的非线性控制器,由此实现了分数阶 Chen 混沌系统的完全同步与反相同步控制;其次,利用分数阶稳定性理论,对上述同步给出了严格的数学证明;最后,借助于 Adams-Bashforth-Moultom 算法,利用数值模拟验证了所提方法的有效性.     

含分数阻尼特性元件的多体系统动力学研究

在绝对节点坐标体系下研究了具有分数导数阻尼特性元件的多体系统动力学建模、求解问题. 采用基于绝对节点坐标的无闭锁效应剪变梁单元离散柔性构件,建立了含常数质量矩阵的系统动力学方程, 并采用数值耗散可控的广义a方法求解. 通过数值算例计算,对比研究了算法参数与阻尼项的分数指数对系统动力学响应的影响规律.该方法可以进一步扩展到众多工程实际问题研究中.      

弹性动力学的多变量响应问题的解法

基于瞬时混合变分原理与乘积型二元三次 B样条函数 ,以板壳为例 ,建立样条动力方程。引入样条参数及其对时间的导数作为状态变量 ,导出状态方程。对空间域采用混合样条元法 ,对时间域采用现代控制论中的状态空间法。文末数值算例表明 ,计算精度与效率是令人满意的。本文方法对计算多输入与多输出 ,时不变与时变系统和线性与非线性系统等多变量动力响应问题 ,有广阔的应用与发展前景     

Caputo导数下分数阶Birkhoff系统的准对称性与分数阶Noether定理

应用分数阶模型可以更准确地描述和研究复杂系统的动力学行为和物理过程,同时Birkhoff力学是Hamilton力学的推广,因此研究分数阶Birkhoff系统动力学具有重要意义.分数阶Noether定理揭示了Noether对称变换与分数阶守恒量之间的内在联系,但是当变换拓展为Noether准对称变换时,该定理的推广遇到了很大的困难.本文基于时间重新参数化方法提出并研究Caputo导数下分数阶Birkhoff系统的Noether准对称性与守恒量.首先,将时间重新参数化方法应用于经典Birkhoff系统的Noether准对称性与守恒量研究,建立了相应的Noether定理;其次,基于分数阶Pfaff作用量分别在时间不变的和一般单参数无限小变换群下的不变性给出分数阶Birkhoff系统的Noether准对称变换的定义和判据,基于Frederico和Torres提出的分数阶守恒量定义,利用时间重新参数化方法建立了分数阶Birkhoff系统的Noether定理,从而揭示了分数阶Birkhoff系统的Noether准对称性与分数阶守恒量之间的内在联系.分数阶Birkhoff系统的Noether对称性定理和经典Birkhoff系统的Noether定理是其特例.最后以分数阶Hojman-Urrutia问题为例说明结果的应用.     

黏弹性土层中单桩纵向振动的对比分析

在频率域内研究了黏弹性土层中端承桩纵向振动的动力特性.将土骨架视为具有分数阶导数本构关系的黏弹性体,基于黏弹性理论,采用平面应变模型给出了分数阶导数黏弹性土层的动力阻抗.考虑桩纵向振动时的横向惯性效应,将桩等效为Rayleigh-Love杆,得到了桩头动力复刚度和导纳的解析表达式.通过数值计算,分析了不同模型土条件下桩头动刚度因子和阻尼随激励频率的动力响应.同时,研究了Rayleigh-Love和Euler-Bernoulli两种模型桩动力特性的差异.分析了桩-土界面连续性模型和相对滑移模型对黏弹性土层中桩纵向振动的影响.结果表明:1随着阶数和材料参数比的增加,桩头刚度因子和阻尼明显减小;2对于大直径桩,随着外荷载激励频率的增加,桩横向效应对刚度因子和阻尼有显著影响.3连续性模型条件下桩头的刚度因子和阻尼在共振时的振幅小于相对滑移模型条件.     

岩石流变分数阶模型研究

以Kelvin流变模型为研究对象,提出了一种分数阶Kelvin流变模型。首先,把Kelvin模型中的整数阶导数改为分数阶导数,考虑到岩石材料的频率通常不超过1000 Hz,在分数阶拟合时,拟合频段选取为[0 1000],进而利用Oustalop滤波算法把分数阶表示为整数阶模式;其次,利用试验数据对分数阶模型进行参数识别,考虑到分数阶Kelvin模型具有强非线性的特点,引入了Levenberg-Marquardt优化算法来确定未知参数;最后,对于频域表示的流变方程,利用Laplace逆变换获得流变精确表达式。仿真实例表明本文方法可以很好地反映岩石流变特性。     

结构整数阶模型的分数阶控制方法研究

为了把分数阶控制方法引入到控制策略中,假设原整数阶模型为分数阶模型,将其表示为状态方程形式;通过系统输出相同的方式建立分数阶和整数阶系统之间的联系;为保证分数阶系统控制器能够用于整数阶系统,采用了基于系统输出的控制策略。算例结果表明:在相同控制能耗条件下,与整数阶控制策略相比,采用本文方法能使位移降低30%。     

分数阶黏弹性Pasternak地基上两端固支Timoshenko梁的动力响应

本文研究了放置在黏弹性Pasternak地基上的Timoshenko梁在移动载荷作用下的动力响应行为．首先，引入分数阶导数，将整数阶标准固体黏弹性地基模型推广为分数阶标准固体黏弹性模型．对于Pasternak地基，考虑压缩层是黏弹性的而剪切层仍是弹性的情况，给出了地基反作用力．然后，求解了Timoshenko梁的自由振动解，获得含黏性耗散信息的复固有频率及振型函数．在此基础上用振型叠加法分析了在移动简谐荷载作用下梁的位移响应．在数值算例中，给出了不同分数阶导数、地基黏性系数以及载荷移动速度下梁的动态响应，讨论了黏弹性地基对梁的动态响应的影响规律．