微分求积法的特性及其改进

微分求积法已在科学和工程计算中得到了广泛应用。然而,有关时域微分求积法的数值稳定性、计算精度即阶数等基本特性,仍缺乏系统性的分析结论。依据微分求积法的基本原理,推导证明了微分求积法的权系数矩阵满足V-变换这一重要特性;利用微分求积法和隐式Runge-Kutta法的等值性,证明了时域微分求积法是A-稳定、s级s阶的数值方法。在此基础上,为进一步提高传统微分求积法的计算精度,利用待定系数法和Padé逼近,推导出了一类新的s级2s阶的微分求积法。数值计算对比结果验证了所提出的新微分求积法比传统的微分求积法具有更高的计算精度。     

瞬态热传导问题的精细积分-双重互易边界元法

采用双重互易边界元法结合精细积分法求解二维含热源的瞬态热传导问题。针对边界积分方程中热源项和温度关于时间导数项引起的域积分,采用双重互易法处理,将域积分转换为边界积分。采用边界元法将边界积分方程离散后,得到关于时间的微分方程组,并利用精细积分法处理其中的指数型矩阵;对于微分方程组中由边界条件和热源项引起的非齐次项,采用解析的方法计算。为了比较精细积分-双重互易边界元法的计算效果,同时使用有限差分法计算温度对时间的导数项。通过数值算例验证了本文方法的有效性和精确性。计算结果表明:时间步长对于精细积分-双重互易边界元法的结果影响较小,而有限差分法对时间步长比较敏感且只在时间步长选取较小时有效;当选取较大时间步长时,精细积分-双重互易边界元法依然具有良好的计算精度。     

基于微分求积法的逐步积分法与常用时间积分法的比较

微分求积法具有数学概念简单、精度高和计算时间少等优点,是一种不断受到重视的数值方法.目前微分求积法在方法本身的研究已经相当充分和成熟,而应用方面的研究则大多集中在边值问题的求解,本文的研究集中在采用微分求积法求解动力学初值问题方面.先介绍了一种新近提出的逐步积分方法,该方法基于一种特殊的节点分布的微分求积法.然后通过理论分析与几种常用的时间积分方法进行了稳定性、精确性和计算量的比较.最后计算了一个双质点系在强迫力下的瞬态响应.比较结果表明新近提出的逐步积分方法具有无条件稳定、高精度和计算量少的优点.     

微分求积单元法在结构工程中的应用

微分求积法（Differential Quadrature Method）是求鳃偏微分方程和积分-微分方程的一种数值方法，该法具有计算简便、精度较高和易于实现等优点。微分求积单元法（Differential Quadrature Element Method）是在微分求积法的基础上结合区域分割和集成规则而形成的一种新的数值计算方法，能通过自适应地选取微分求积网点数目正确模拟构件的刚度和荷载性质，其精度可通过细分单元或增加离散点数目加以提高。微分求积单元法是一种可供选择的、性能优越的数值计算方法。本文将详细论述这一数值方法的基本原理，并通过数值算例说明该方法的应用过程及其优越性，为这一方法在结构工程中的推广应用提供参考。     

基于边界值方法的微分动力系统数值计算方法

对高维非线性初值问题,微分求积法在每一步的积分过程中需要求解一个更高维的非线性方程组,因而计算量巨大。基于微分求积法与边界值方法两者之间的关系,可以将广义向后差分方法和扩展的隐式梯形积分方法看作是经典微分求积法的稀疏表达形式。将广义向后差分方法以及扩展的隐式梯形积分方法这两类边界值方法应用于微分动力系统的数值计算,提出了一类新的数值计算方法。理论分析及算例结果表明,对高维非线性微分初值问题的数值计算,本文方法相对于经典的微分求积法具有更高的计算效率。     

一类非线性周期系统响应的精细积分法

对于一类非线性周期／变系数微分方程,提出基于精细积分法的数值解法,处理非线性周期／变系数微分方程系统的响应问题,其积分策略是：采用精细积分格式处理常系数部分;采用线性插值格式处理非线性周期／变系数部分,既继承精细积分方程高度准确的特点,又保证足够的精度与较小的计算量。通过数值算例,与以往与用的微分方程直接数值积分法（如预估－校正哈明法）求得的解加以比较表明,对于给定的精度要求,精细积分法更经济有效     

丝束轴向变角度复合材料梁的弹性分析

丝束变角度复合材料具有变刚度的特点,因此其结构分析具有相当难度．本文采用状态空间法和微分求积法联合的半解析数值方法对丝束轴向变角度复合材料梁的弯曲问题进行研究．假设纤维方向角沿梁的轴向按照任意连续函数变化,选取位移和位移的一阶导数作为状态变量,建立了丝束轴向变角度复合材料梁弹性分析的状态空间方程,将状态变量对轴向坐标的导数采用微分求积法进行求解,进而可得问题的半解析数值解．通过与现有文献及ABAQUS计算结果的比较,验证了本文方法的正确性,并对微分求积法求解本问题的收敛性进行了分析．通过数值算例研究了纤维方向角沿梁轴向的变化对丝束轴向变角度复合材料梁的位移及应力分布的影响,研究结果可为该种结构的设计提供一定的参考．     

变截面门式刚架结构分析的微分求积单元法

本文采用一种精确、简便的数值计算方法——微分求积单元法(DQEM)对变截面门式刚架结构进行了力学分析。首先建立了一般荷载作用下变截面构件的平衡微分方程，并采用微分求积法进行离散，进而得出了较为精确的分析变截面构件的单元力学模型。该模型的刚度方程不仅反映了单元的刚度性质，而且反映了单元的实际荷载作用，可较为精确地分析变截面门式刚架结构在分布载荷作用下的受力性能。通过与有限元法计算结果的比较，表明了微分求积单元法在变截面刚架的力学分析中的正确性和优越性。微分求积单元法可用于任意形状的刚架结构的静力分析。     

结构动力方程的更新精细积分方法

将高斯积分方法与精细积分方法中的指数矩阵运算技巧结合起来,建立了精细积分法的更新形式及计算过程,对该更新精细积分方法的稳定性进行了论证与探讨。在实施精细积分过程中不必进行矩阵求逆,整个积分方法的精度取决于所选高斯积分点的数量。这种方法理论上可实现任意高精度,计算效率较高,其稳定性条件极易满足。数值例题也显示了这种方法的有效性。     

饱和两相介质动力固结问题时域求解的精细时程积分方法

针对u-p形式的饱和两相介质波动方程,采用精细时程积分方法计算固相位移u,采用向后差分算法求解流体压力p,建立了饱和两相介质动力固结问题时域求解的精细时程积分方法。针对标准算例,对该方法的计算精度进行了校核。开展了该方法相关算法特性的研究,对采用不同数值积分方法计算非齐次波动方程特解项计算精度的差异进行了对比研究,并对采用不同积分点数目的高斯积分法计算特解项条件下计算精度的差异进行了对比研究。研究结果表明,(1)该方法具有良好的计算精度。(2)计算非齐次波动方程特解项的数值积分方法中,梯形积分法的计算精度最差,高斯积分法、辛普生积分法和科茨积分法都具有较好的计算精度。(3)增加高斯积分点数目对于提高计算精度的作用并不显著。     

A non‐iterative implicit algorithm for the solution of advection–diffusion equation on a sphere

A numerical algorithm for the solution of advection–diffusion equation on the surface of a sphere is suggested. The velocity field on a sphere is assumed to be known and non‐divergent. The discretization of advection–diffusion equation in space is carried out with the help of the finite volume method, and the Gauss theorem is applied to each grid cell. For the discretization in time, the symmetrized double‐cycle componentwise splitting method and the Crank–Nicolson scheme are used. The numerical scheme is of second order approximation in space and time, correctly describes the balance of mass of substance in the forced and dissipative discrete system and is unconditionally stable. In the absence of external forcing and dissipation, the total mass and L₂‐norm of solution of discrete system is conserved in time. The one‐dimensional periodic problems arising at splitting in the longitudinal direction are solved with Sherman–Morrison's formula and Thomas's algorithm. The one‐dimensional problems arising at splitting in the latitudinal direction are solved by the bordering method that requires a prior determination of the solution at the poles. The resulting linear systems have tridiagonal matrices and are solved by Thomas's algorithm. The suggested method is direct (without iterations) and rapid in realization. It can also be applied to linear and nonlinear diffusion problems, some elliptic problems and adjoint advection–diffusion problems on a sphere. Copyright © 2015 John Wiley & Sons, Ltd.     

Solving the Stress Problem for a Finite Cylinder by the Schwarz Method with Hybrid Approximations

An axisymmetric elastic problem is solved by a heterogeneous numerical scheme of the alternating Schwarz method based on the finite- and boundary-element methods. The Schwarz method and the modified scheme are compared. A relaxation parameter is used to accelerate the iterative process     

自由单元法及其在结构分析中的应用

通过吸收有限元与无网格法的优点,提出了一种新的数值方法------自由单元法.此方法在离散方面,采用有限元法中的等参单元,表征几何形状和进行物理量的插值;在算法方面,采用单元配点技术,逐点产生系统方程.主要特点是,在每个配置点只需要一个和周围自由选择的节点而形成的一个独立的等参单元,因而不需要考虑物理量在单元之间的相互连接关系与导数连续性问题. 本文介绍强形式与弱形式两种自由单元法,前者直接由控制方程和边界条件直接产生系统方程,后者通过在自由单元上建立控制方程的加权余量式产生弱形式积分式,并通过像传统有限元法中的积分过程建立系统方程组.本文提出的方法是一种单元配点法,对于域内点为了获得较高的导数精度,需要采用至少具有一个内部点的等参单元,为此除了可使用各阶次的拉格朗日四边形单元外, 还 给出了七节点三角形等参单元,用于模拟较为复杂的几何形状问题.      

A new modification of false position method based on homotopy analysis method

A new modification of false position method for solving nonlinear equations is presented by applying homotopy analysis method （HAM）. Some numerical illustrations are given to show the efficiency of algorithm.     

无网格MPM法三维前处理系统设计

无网格法在解决爆炸冲击、裂纹扩展、高速碰撞以及大变形等问题时,由于与网格无关,能够避免有限元法因网格畸变计算精度降低或计算终止的矛盾,是目前求解固体力学问题的有效方法之一,也是近年来研究的热点。前处理对于无网格法数值计算是非常重要的环节,基于面向对象程序设计思想,应用C 和OpenGL开发了三维图形交互方式的MPM法前处理系统,提出了应用递归四叉树法、扫描表示法和CSG法划分任意形状非等间距的MPM法质点单元,为建立通用的无网格前处理平台提出了有效的解决方案。     

参数多项式方法的扩展——参数分布形状特征式法

在深入分析参数多项式方法数学原理的基础上，提出了参数分布形状特征式法。根据流动问题的物理本质及大量试验数据，总结出参数分布的形状特征式，将其代入流动基本方程，就可以快速而准确地求解流场。它是参数多项式方法的一种扩展，具有重要的应用前景。     

Preconditioned Iterative Methods for Linear Equations Arising from the Boundary Element Method

A precondition for the Gauss–Seidel iterative method to solve a linear system of equations arising from the boundary element method for the Laplace and convective diffusion with first-order reaction problems is presented in this paper. The present precondition is based on the elementary matrix operation. We discuss the effect of the precondition in comparison with the Gauss elimination (GE) method in some numerical experiments.     

基于核重构思想的配点型无网格方法的研究--一维问题

无网格方法按其离散原理可分为Galerkin型、配点型等。其中Galerkin型无网格方法的实施需要背景网格，不属于真正的无网格法；配点型无网格方法的实施不需要背景网格，是真正的无网格法。本文首先介绍了重构核点法的基本原理，然后基于核重构思想，与配点法相结合，以一维问题为例，研究了配点型无网格方法，对该方法构造过程中的近似函数及其导数的计算、修正函数的计算及方法的实现等问题进行了探讨。并结合若干典型算例，检验了其计算精度与收敛姓。     

无单元Galerkin法和边界元耦合法

无网格方法与有限元法或边界元法耦合是无网格方法处理边界条件的方法之一,在无网格方法中研究无网格方法与有限元法或边界元法耦合的研究显得非常重要.本文在无单元Galerkin法和边界元法的基础上,基于无单元Galerkin法子域和边界元法子域的界面上位移连续和面力平衡条件,提出了一种新的无单元Galerkin法和边界元法的直接耦合方法,对弹性力学问题详细推导了在整个求解域上的耦合公式.与以往的耦合法相比,这种方法简单直观,不需要增加新的耦合区域,也不需要建立新的逼近函数来保证界面位移的连续性.算例结果表明,该方法具有较好的计算精度.     

结构分析的样条函数方法

本文介绍了近几年来结构分析中的各种样条函数方法及其在工程中的应用,以及样条函数方法研究的新动态和笔者的最近研究成果。