含指数的分式型数列的放缩技巧

<正>在数学高考与竞赛中,与数列相关的不等式证明多是重点、热点问题,完成它的证明,需要一定技巧,即需要对不等式进行恰当的放缩.这种放缩,一般情况下难度大、技巧性较高.与指数、分式、不等式、数列等捆绑的试题形式上多是数列的和式结构,这个和式一般无法直接求和,因此需要一个求和过程.笔者拟通过一个例子,谈谈一类含指数的分式型数列的不等式的放缩技巧,如何把数列化为可以求和方法,达到抛砖引玉的目的.     

一个无理分式不等式的溯源与推广

对一个形式优美的无理分式不等式问题进行研究,发现它是以Nesbitt不等式为背景衍变而来的,再对该不等式的项数、指数及加权系数进行推广,得到了一些有意义的结论.     

一类分式不等式的新证法

一类分式不等式的新证法陕西永寿县中学安振平证明不等式的途径较多，本文意在介绍一类分式不等式的新颖证法，证明过程中要道用到无穷递缩等比数列求和公式和平均不等式：①对等比数列ｋｌｑ“‘）（ｌｑ【＜ｌ），有ａｌ十＊；０＋ａｌ矿十…＋ａｌｄ‘十…一一二．且一...     

用权方和不等式证明分式不等式

最近文[1]给出了哥西不等式的一个直接推论———分式型哥西不等式:设xi∈R,yi∈R (i=1,2,…,n),则x12y1 xy222 … yx2nn≥(xy11 xy22 …… xynn)2(1)及其在证明分式不等式中的应用.由于不等式(1)中每个分式分子、分母的幂指数必须分别为2、1,使不等式(1)应用受到局限.本文将介绍不等式(1)的推广———权方和不等式以及它在证明分式不等式中的应用.设xi∈R ,yi∈R (i=1,2,…,n),m∈R ,则x1m 1y1m xy2m2m 1 … xymnnm 1≥((xy11 xy22 …… xyn)n)mm 1(2)当且仅当yx11=yx22=…=yxnn时,(2)取等号.这就是著名的权方和不等式,其证明容易…     

一类分式不等式的新证法

一类分式不等式的新证法安振平（陕西省永寿县中学７１３４００）证明不等式的途径较多，本文意在介绍一类分式不等式的新颖证法．证明过程中要用到无穷递缩等比数列求和公式和平均不等式：（１）对等比数列｛ａ１ｑｎ－１｝（｜ｑ｜＜１）有（２）若ａ１，ａ２…，ａ。Ｅ...     

用卷积定义的解析函数子类的Fekete-Szeg不等式

本文研究了一个新的解析函数子类Mλ(g,h,u,v,φ)(0≤λ≤1)的系数不等式.利用分析的方法和技巧,得到它精确的Fekete-Szeg不等式及通过分式微分定义的函数类的Fekete-Szeg不等式.所得结果推广了一些作者的相关结果.     

用卷积定义的解析函数子类的Fekete-Szeg(o)不等式

本文研究了一个新的解析函数子类Mλ(g,h,ｕ,φ),(0≤λ≤1)的系数不等式.利用分析的方法和技巧,得到它精确的Fekete-Szeg(o)不等式及通过分式微分定义的函数类的Fekete-Szeg(o)不等式.所得结果推广了一些作者的相关结果.     

一个分式型不等式的证明及其应用

一个分式型不等式的证明及其应用贵州平塘民族中学谭登林当且仅当时等号成立．不等式（＊）不仅结构对称、和谐、易记，富有数学美，而且用它来解决一些较高难度的分式型不等式的证明问题尤为简便．现举例说明如下：例１［１］设ｘ、ｙ、ｚ、λ、μ、３λ－μ均大于零，且...     

两个新分式不等式

本文将两个特殊的分式不等式进行推广，得到两个重要的分式不等式，并且发现历年的国际数学奥赛中的某些试题均可用这两个不等式证得，在本文中作为推论给出。     

关于分子为1的分式不等式的一点探讨

在浩瀚无边的不等式问题中,我们经常遇到一类分式不等式,它的一端是若干个分式的和,而每一个分式的分子都是1．笔者就想,能不能充分利用“1”这个数的特殊性,例如,利用“1的任何次方还等于1”这个特性,寻找简单的求解方法呢？通过探讨,笔者发现,这类问题中的许多问题,都可以直接或间接的利用权方和不等式进行求解．下面举例说明之．     

一类新的Radon型不等式及其应用

给出一类新的R adon型不等式,它们在代数不等式研究中有着广泛的应用,利用它们可直接得到一大批新的分式型不等式,也可运用它们证明或推广许多不等式.     

关于一个半正定矩阵的Khatri-Rao乘积的不等式的讨论

得到的一个矩阵乘积不等式及其逆向不等式．应用这些结果，把一个半正定矩阵Khatri-Rao乘积的不等式推广到实对称矩阵．并给出了它的逆向不等式及其等式条件．     

分式型哥西不等式——证明分式不等式的一个利器

读了《数学通报》2 0 0 4年第 2期《构造向量证三元分式不等式》一文[1] ,笔者很叹服作者那种高超的“构造”技巧 ,作为工具的向量不等式｜a｜2 ｜b｜2 ≥ (a·b) 2 (1 )简洁而深刻 ,它是欧几里得空间中的哥西———施瓦兹不等式 .在用它证明分式不等式时 ,关键就是如何恰当地构造出向量a和b ,这种构造是需要技巧的 ,文[1] 举出的 5个例子就体现了这种技巧 ,但是 ,技巧越高 ,难度也就越大 ,从这一个角度来说 ,构造向量证明分式不等式好象又不是一种最优的方案 .那么 ,有没有比构造向量证明分式不等式更好的方案呢 ?当然有的 .我们知道 ,向量…     

带有无穷求和的非线性离散不等式的推广及应用

本文研究一类带有多个非线性项和无穷求和的二元离散不等式,借助数学归纳法,给出这类不等式中未知函数的估计,所得结果推广了一些已有结果.最后,本文利用此结果得到一个差分方程解的上界.     

一类分式不等式的统一证法

在国内外数学竞赛以及一些数学杂志上出现了一类分式不等式,许多专家都曾对这类不等式作过研究,指出了较多好的证法。本文旨在说明这类分式不等式有一种统一初等证法,就是都利用一个常见的不等式(柯西不等式的特例)(a1+a2+…+an)(1/a1+1/a2+…+     

一类三变量非线性和差分不等式中未知函数的估计

Gronwall-Bellman型积分不等式的离散形式及其推广形式是研究和差分方程解的存在性、有界性和唯一性等定性性质的重要工具.研究了一类六重非线性和差分不等式,和号外含非常数因子,和项外包含了非常数项.利用差分算子的性质、求和技巧、变量替换技巧和积分中值定理等分析手段,给出了和差分不等式中未知函数的上界估计,推广了已有结果.最后举例说明所得结果可以用来研究三独立变量差分方程解的定性性质.     

例谈“头轻脚重型”分式不等式问题的处理技巧

数学竞赛中的分式不等式问题常常以分母复杂而分子简单的形式出现，我称其为“头轻脚重型”分式不等式问题．本文通过一些例子简要说明此类分式不等式问题的处理技巧．     

分式不等式的一种证法

分式不等式的一种证法李康海（浙江永康一中３２１３００）本文介绍一种证法．它不仅适用本刊文［１］、［２］类型的分式不等式，也适用于其它一些类型的分式不等式．由ａ２＋（λｂ）２≥２λａｂ得（ｂ＞０）（＊）当且仅当ａ＝λｂ时．等号成立．特别地，当λ＝１时，...     

二个无理分式不等式的统一恒等式构造

不等式①和②结构相同，但不等号反向，我们必然思考这样一个问题：能否统一证明不等式①和②？文献[2]、[3]、[4]能够对比较复杂的分式不等式构造出优美的恒等式，这给我们以启发，经过研究，我们构造出包含不等式①和②的无理分式恒等式，通过该恒等式得到了比不等式①和②更为一般的结论．     

巧构“1“证一类分式不等式

王凤春老师在本刊2006年第3期发表的《幂不等式及其应用》[1]一文中,巧用琴生不等式,巧证一类分式不等式,其证法新颖流畅,体现与时俱进,值得一读.