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抽象函数关系给出的对称性与周期性 总被引:1,自引:0,他引:1
命题1设函数y=f(x)的定义域为R,且满足条件f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b2成轴对称.证明设函数y=f(x)图象上任一点为P′(x′,y′),它关于直线x=a+b2的对称点为P(x,y),则x=a+b-x′... 相似文献
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函数f(x)在区间[a,b]上单调增加(或单调减少),又c、d∈[a,b]上,若f(c)=f(a),则有c=d.1 求代数式的值例1 已知x、y∈[-π4,π4],a∈R,且 x3+sinx-2a=04y3+sinycosy+a=0则cos(x+2y)= .(1994年全国高中数学竞赛题)解 由已知条件,可得 x3+sinx=2a(-2y)3+sin(-2y)=2a故可设函数f(t)=t3+sint,则有f(x)=f(-2y)=2a.由于函数f(t)=t3+sint,在[-π2,π2]上是单… 相似文献
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设二次分式函数y=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2①其中a1,a2,b1,b2,c1,c2∈R.如何求函数的值域A?若令f(x)=a1x2+b1x+c1,g(x)=a2x2+b2x+c2,如果f(x)与g(x)存在一次或二次公因式或a1,... 相似文献
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要证明曲线c:f(x,y)=0关于点P(或直线l)对称,只需证明曲线c关于点P(或直线l)的对称曲线c′就是c;由曲线和方程的关系,只需证明c′的方程就是c的方程,即只需证明c′的方程就是f(x,y)=0.要证明两曲线c1:f1(x,y)=0与c2:f2(x,y)=0关于点P(或直线l)对称,只需证明曲线c1关于点P(或直线l)的对称曲线c1′就是c2;由曲线和方程的关系,只需证明c1′的方程就是c2的方程,即只需证明c1′的方程就是f2(x,y)=0.我们把上面证明(两)曲线对称的方法叫同一法… 相似文献
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题 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,当-1≤x≤1时,有-1≤f(x)≤1.求证:当-2≤x≤2时,有 -7≤f(x)≤7.这是文[1]例3,原给出的证明较繁,现简证如下.证明 ∵ f(1)=a+b+c,f(0)=c,f(-1)=a-b+c,∴ 2a=f(1)+f(-1)-2f(0),∴ |2a|≤|f(1)|+|f(-1)|+2|f(0)|≤1+1+2=4,且 |c|=|f(0)|≤1.若x∈[-2,2],则 x′=x2∈[-1,1],于是可得 |f(x)|=|f(2x′)|=|2f(… 相似文献
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对于某些不等式证明题,我们若能根据其条件和结论,结合判别式的结构特征,通过构造二项平方和函数:f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2+…+(anx-bn)2,由f(x)≥0,得Δ≤0,就可以使一些用一般方法处理较繁的问题,获得简捷、明快的证明.例1 已知a,b,c∈R+,求证:a2b+c+b2c+a+c2a+b≥a+b+c2.(第二届“友谊杯”国际数学邀请赛题)证 构造函数f(x)=(ab+cx-b+c)2+(bc+ax-c+a)2+(ca+bx-a+b)2=(a2b+c+b2c+a+… 相似文献
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不少文献研究了无理函数y=tx+v+kax2+bx+c(ak≠0)()的值域问题(设b2-4ac≠0).本文利用三角变换结合直线斜率数形结合给出一种统一解法.原函数式配方,得y=tx+v+ka(x+b2a)2+4ac-b24a.作替换z=x+b2a,则y=tz+(v-bt2a)+kaz2+4ac-b24a.若a<0,则有y=tz+(v-bt2a)+k-a ·b2-4ac4a2-z2.若a>0,则有y=tz+(v-bt2a)+ka ·z2+4ac-b24a2.因此,函数式的根号内可化为r2-z2… 相似文献
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我们知道 ,函数 y =f(x)若存在反函数 ,则 y =f(x)与它的反函数 y =f-1(x)有如下性质 :性质 若 y =f-1(x)是函数 y =f(x)的反函数 ,则有f(a) =b f-1(b) =a .这一性质的几何解释是 y =f(x)与其反函数 y =f-1(x)的图象关于直线 y=x对称 .例 1 函数 y =2 - 34x -x2 - 3( 1≤x≤ 2 )的反函数是 y =f(x) ,则 f( 2 ) =.解 设 f( 2 ) =x ,则由性质知f-1(x) =2 ,即 2 - 34x -x3 - 3=2 ( 1≤x≤ 2 ) ,化简得x2 - 4x + 3=0 ,解得x =1 .所以 f( 2 ) =1 .例 2 函数 f(x) =x - 2x +a的图象关… 相似文献
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反函数是高中数学的重要知识点 ,也是难点 .本文主要系统介绍反函数的性质 ,并巧妙运用这些性质去解答相关的问题 .性质 1 函数 y =f(x) 的定义域 ,正好是它的反函数 y =f- 1(x)的值域 ;函数 y =f(x) 的值域 ,正好是它的反函数 y =f- 1(x)的定义域 .性质 2 函数 y =f(x) 的图象和它的反函数 y=f- 1(x)的图象关于直线 y =x对称 .性质 3 若单调函数 y =f(x) 和 y =g(x) 的图象关于直线 y =x对称 ,则函数 y =f(x) 和 y =g(x) 互为反函数 .性质 4 函数 y =f(x) 若是单调函数 ,则它的反函数 y =f- 1(… 相似文献
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余炯沛先生在[1]中导出了定理若0<a<1,则函数y=ax和y=logax的图象,当e-e≤a<1时有且仅有一个交点(此交点在直线y=x上);当0<a<e-e时有三个交点,其中一个在直线y=x上,其余两个在直线y=x外并且关于直线y=x对称.文[1]... 相似文献
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形如f(x)=Aa1x+b1+Ba2x+b2(*)的函数可化为以下两类:(Ⅰ)f(x)=mx+a+nx+b;(Ⅱ)f(x)=mx+a+nb-x.本文借助解析几何的方法研究(Ⅰ)、(Ⅱ)的值域问题,从而解决了形如f(x)=Aa1x+b1+Ba2x+b2... 相似文献
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指数函数y=ax和对数函数y=logax互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.探讨这两个图象交点的个数和位置,有助于加深对这两个函数性态的了解,并可以纠正一些流行的不正确的认识.《数学通报》1998年第1期载文〔1〕探讨了a>1时两个图象交点的情... 相似文献
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