几类(En)零解的稳定性

对于方程组零解稳定性的讨论,V.I.Arnold曾提出:如果一个矢量场是由具有固定次数、带有有理系数的多项式来给定,问是否能给出一个判定准则的算法来定出此矢量场中驻定点的稳定性。文[1]研究解决了n=2的情形。文[2]就n=3时高次奇点的稳定性给出了判据。文[3]     

老师 我没有听懂 请你再讲一遍——关于求证sum from k=0 to n(1/k~3<5/4(n∈N~*))的教学案例及思考

1问题的提出笔者在拜读文[1]后受益匪浅,在这里把文[1]“考题”改编成以下问题·问题求证:当n≥1,n∈N*时,总有∑nk=11k3<45·证明当n≥2时,因为n13=n·1n2     

关于线性空间到欧氏空间的映射与线性映射

文[2]推广了文[1]的全部定理,文[3]又推广了文[2]的全部定理,本文进一步推广了文[3]的全部定理,且证法简洁明快.本文约定,若V,ω是线性空间,则Vω表示V到ω的所有映射的集合,L(Vω)表示所有V到ω的线性映射的集合,L(V)表示V的所有线性变换的集合.本文总假定V是实数域上的线性空间,ω,ω1,ω2,…,ωn为欧氏空间.引理1　设A,B∈Vω,Ct,Dt∈Vωt(t=1,2,…,n),若α,β∈V有(Aα,Bβ)=∑nt=1(Ctα,Dtβ)(1)则x1,x2,…,xr,　y1,y2,...,ys∈R(r,s∈N)α1,α2,…,αr,　β1,β2,...,βs∈V,有(∑ri=1xiAαi,∑sj=1yjBβj)=∑nt=1(∑ri=1x…     

正确求取n∑i=1ai整数部分的一种方法

文[1]、[2]、[3]介绍了求 S=n∑i=1 1/√i和S=n∑i=1√i 整数部分的一些不等式,从而设法求出[S].但是不论该不等式如何精确,总有不能解决的问题,例如文[3]中最强的一个不等式     

I.J.Matrix定理的进一步推广

文献 [1]— [5 ]连续讨论了 I.J.Matrix定理的一些推广及应用 ,特别是文 [5 ]利用高阶微分的知识简明地给出了一个推广 ,本文给出其进一步的推广 .设 a0 ,a1 ,… ,an 是 n 1个互不相同且不为零的数 ,f ( x)是次数为 m的多项式 ,文 [5 ]讨论的是m相似文献   

关于W.Y.Vélez猜想Ⅱ

设k为域,本文继续讨论了文[1]中提出的W.Y.Vélez问题,在基域k中不含有m次本原单位根时,给出了该问题成立的一个条件,推广了文[2]的结果.     

论n=3情形下的V.I.Arnold问题高次奇点的稳定性

Arnold于1976年曾提出如下的问题:如果一个矢量场是由具有固定次数、带有有理系数的多项式来给定,问是否能给出一个判定准则的算法来定出此矢量场中的驻定点的稳定性。王联、王慕秋就n=2的情形研究解决了Arnold问题。本文就n=3的情形,在有一个或两个零特征根的条件下解决了此问题。     

换个角度思路宽

文[1]对2009年全国高考数学I卷（理）20题：“在数列{an}中,a1=1,1n＋1=（1＋1/n）an＋a＋1/2n.     

一个组合恒等式的推广及应用

文[1]用两种方法证明了“一个奇妙的组合恒等式”: n∑j=0(-1)j(n -j)nCjn=n!(n∈N+)……(*)j=0 实际上,文[2]与文[3]分别用数学归纳法和概率证法证明了比(*)更强的组合恒等式:     

Fibonacci数列与三道不等式的指数推广

著名的斐波那契 (Fibonacci)数列具有以下一个重要性质 :设 F1 =F2 =1 ,Fn 2 =Fn 1 Fn,n≥ 1 ,则Fn 3 =2 Fn 1 Fn.文 [1 ] [2 ] [3] [4]曾先后涉及到三道不等式 ,笔者发现其字母指数恰按斐波那契数列呈现 .请看 :问题 1　 (第 2 6届 USAMO赛题 )证明对所有正实数 a、b、c     

W.Janous猜测的再推广

W .Janous猜测 :设x ,y,z >0 ,则x2 -z2y+z + y2 -x2z+x + z2 -y2x+y ≥ 0 ( 1 )贵刊文 [1 ]将 ( 1 )式推广为 :设xi>0 (i =1 ,2 ,… ,n) ,n≥ 3,记S=x1 +x2 +… +xn,t =x21+x22 +… +x2 n,则nx21 -ts-x1 + nx22 -ts-x2 +… + nx2 n-ts-xn ≥ 0 ( 2 )当n =3时 ,由 ( 2 )式可得 ( 1 )式 .本文将把 ( 2 )式作进一步推广 ,并回答文 [1 ]中提出的一个问题 .我们得到如下结果 :设xi>0 (i=1 ,2 ,… ,n) ,n≥ 3,α ,β,γ∈R ,T =xα1 +xα2 +… +xαn,A>max{xγ1 ,xγ2 ,… ,xγn},则当αβγ >0时 ,有nxα1 -T(A-xγ1 )β+ nxα2 -T(A-xγ2 )…     

正确求取sum from i=1 to n (a_i)整数部分的一种方法

文 [1 ]、[2 ]、[3]介绍了求S=∑ni=11i 和 S=∑ni=1i整数部分的一些不等式 ,从而设法求出 [S].但是不论该不等式如何精确 ,总有不能解决的问题 ,例如文 [3]中最强的一个不等式2 n 2 548- 1 16 3 1 22 相似文献   

一类矩形面积最大值问题的初等解法

《美国数学月刊》2004年1月问题11057[1]为:设x,y,z为实数,矩形ABCD内部有一点P,满足PA=x,PB=y,PC=z,求矩形面积的最大值.文[2]试图给出上述问题的解答,但解答有误.郭要红老师等在文[3]中指出了文[2]错误的原因,并给出了上述问题的一个微分解法.文[3]在最后说明:“如何使用初等     

一类积式不等式新证

1引言文[1]提出了一个猜想:设xi>0(i=1,2,…,n),且ni=1xi=1,k∈N,则有ni=1(1xi-xi)≥(n-1n)n.文[2],[3],[5]用不同的方法给出了证明.文[5]还给出了一类积式不等式的证明方法,并在文末提出了如下猜想:设ai>0(i=1,2…,n),ni=1ai=1,k∈N,则有∏ni=1(1aik-aik)≥(nk-1nk)n.本文利用     

一个数论猜想题的否定及修正

文[1]提出问题:设M=52001 72002 92003 112004,求证:M能被8整除．同时,给出了较复杂的证明．文[2]对上述问题进行了简证,并猜想: (2n-3)m (2n-1)m 1 (2n 1)m 2 (2n 3)m 3能被2n整除(n≥2,n,m∈N)．其实,此猜想是错误的．因为972 993     

一类“数学问题”的统一证法

文[1]给出了不等式:已知x,y,z∈R+,m∈N+.求证:x/mx+y+z+y/x+my+z+z/x+y+mz≤3/m+2. 文[2]给出了不等式:已知xi＞0(i=1,2,…n),k＜1,求证: n∑i=1 xi/x1+x2+…+xi-1+kxi+xi+1+…+xn≥n/n+k-1. 文[3]给出了不等式:设ai＞0(i=1,2,3,…,n),p∈R,q＞0,且n∑i=1ai=A,Si=pai+q(A一ai)＞0(i=1,2,…,n),求证:     

《一道课本习题的变式教学》一文的一点补充

文[1]例谈了an=pan-1 f(n)型数列的通项求法,让笔者受益匪浅.但文[1]中变题2,3,4,7最后在方法点评上似有不妥,今冒昧提出,与大家讨论.我们先看变题2:已知数列{an}中,a1=21,an=4an-1-3n-1,求an.解将递推式变为an λ·3n=4(an-1 λ·3n-1),即an=4an-1 λ·3n-1.所以λ=-1.则an-3n     

这样的a1存在吗

文[1]中李连方老师以新教材中的一道习题为契机,引导学生开展研究性学习.笔者读后深受启发,但对文中提到的两个命题有不同的意见,借贵刊与各位老师探讨.文[1]中初始问题:设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),已知a1=1,an 1=3Sn(n≥1).求证数列a2,a3,a4,…,an…是等比数列.(新教材上     

一个命题的推广

<正>文[1]用均值不等式巧妙的证明命题1,文[2]给出了文[1]的一个变式,得到命题2,本文在两篇文章的基础上给出一个进一步的推广.命题1已知正数p,q满足p~3+q~3=2,求证:p+q≤2.命题2已知正数p,q满足p~n+q~n=2,求证:p+q≤2.(n∈N)     

弱化希尔伯特第16问题及其研究现状

V.I.Arnold多次提出如下问题:对于给定的自然数n≥2,所有n次多项式1-形式,沿一切可能的m≥3次闭代数曲线族的阿贝尔积分的孤立零点的最大个数Z(m,n)=?由Poincare-Pontryagin定理可知,当阿贝尔积分不恒为零时,A(n)=Z(n+1,n)给出n次Hamilton系统在n次多项式扰动下从原有周期环域分支出极限环的最大个数,因此Arnold把这个问题称为弱化的希尔伯特第16问题.30多年来,对此问题的研究取得了一定进展,也遇到了很大困难.本文拟对这个问题和相关研究工作做一个粗浅的介绍.