一个命题的推广与变式

文[1]用均值不等式巧妙地证明了以下命题,本文则在文[1]的基础上给出以下命题的一个推广和一个变式,供读者参考.命题已知正数p,q满足p~3 q~3=2,求证:p q≤2.推广已知正数p,q满足p~n q~n=2,求证:p q≤2.     

一类“数学问题”的统一证法

文[1]给出了不等式:已知x,y,z∈R+,m∈N+.求证:x/mx+y+z+y/x+my+z+z/x+y+mz≤3/m+2. 文[2]给出了不等式:已知xi＞0(i=1,2,…n),k＜1,求证: n∑i=1 xi/x1+x2+…+xi-1+kxi+xi+1+…+xn≥n/n+k-1. 文[3]给出了不等式:设ai＞0(i=1,2,3,…,n),p∈R,q＞0,且n∑i=1ai=A,Si=pai+q(A一ai)＞0(i=1,2,…,n),求证:     

一道新题的简解与推广

文[1]第3题(4):已知正数a,b,c满足a+b+c=1.求证:1/a(1+b)+1/b(1+c)+1/c(1+a)的最小值是27/4. 求证:1/a(1+b)+1/b(1+c)+1c(1+a的最小值是27/4.鉴于文[1]所给答案较为繁琐,笔者在此给出此题一种简洁证法,并将该结论做更一般性的推广.     

对一个代数不等式的另证、加强与推广

问题1:已知x,y,z是正数且x+y+z=1,求证:(1/x-x)(1/y-y)(1/z-z)≥(8/3)3.文[1]利用均值不等式给出问题1一个简单初等证明,为便于学生的理解与掌握,文[2]给出该不等式的一个加强形式:     

一个不等式的改进与其"孪生"不等式

文 [1 ]给出了不等式 .已知ａ>13 ,ｂ>13 ,ａｂ=29,求证 :ａ+ｂ <1 (1 )的一个简证 ;文 [2 ]把它推广为 :ａｉ>1ｎ(ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ-1 ;ｎ ≥ 3 ) ,∏ｎ - 1ｉ =1ａｉ=2ｎｎ- 1,求证 :∑ｎ - 1ｉ =1ａｉ <1 . (2 )本文首先用文 [2 ]的方法得到了不等式 (2 )的改进 :命题 1　已知ａｉ>ｐ>0 (ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ ;ｎ≥2 ) ,∏ｎｉ =1ａｉ≤ｐｎ- 1ｑ,(ｑ >ｐ) ,则∑ｎｉ =1ａｉ<(ｎ-1 )ｐ +ｑ. (3 )(证明从略 )其次 ,从另一角度得到了“改进”的一个“孪生”不等式 :命题 2　已知 0 <ａｉ<ｐ(ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ ;ｎ≥2 ) ,∏ｎｉ=1ａｉ≤ｐｎ- 1…     

再说一道习题的研究性学习

文[1]作为“研究性学习”的案例从多角度给出了题目设p>0,q>0,p3 q3=2,求证p q≤2的多种解法.受此启发,继续探索,现从另一角度作为“研究性学习”的案例提供于此.1现用分离变量给出一种直接的证法不妨设p≤q,于是p3≤q3,由p3 q3=2得q3-1=1-p3≥0,即(q-1)(q2 q 1)=-(p3-1)=-(p-1     

一道习题的研究性学习再探

文[1]对题目:已知,p＞0,q＞0,且p3+q3=2.求证:p+g≤2.从研究学习出发,用高中数学各章节知识,采用了12种方法进行证明.读后很受启发,笔者在高中2005级和高中2006级教学实践中,借用"他山之石,可以攻玉",在两个理科班进行实践,让学生对该题进行解法探讨,也几乎收到与文[1]作者刘老师那样较好的教学效果.好多学生还得到了如下两种简单而重要的直接证明方法——比较法和分析法:     

妙证一例

例题已知正数p、q满足p~3 q~3=2,求证：p q≤2．证明∵p,q＞0,∴p~3,q~3＞0．由均值不等式p~3 1 1≥3 p~3~(1/3)=3p,q~3 1 1≥3 q~3~(1/3)=3q．两式相加得p~3 q~3 4≥3(p q)．∴6≥3(p q),从而p q≤2．     

由一道不等式题引发的探究

文[1]给出如下一道不等式题：问题1已知正数z、y、z满足xy＋yz＋zx=1,求证：     

教材中一些不等式的向量证法

教材中某些含有乘积之和或者乘方之和的不等式 ,可根据向量数量积的坐标表达式的结构特征构造向量证明 ,下面试举几例 ,供同学们学习时参考 .例 1　如果a ,b∈R ,求证 :a2 +b2 ≥ 2ab(当且仅当a =b时取“ =”号 ) .证明　构造向量 p =(a ,b) ,q =(b ,a)由 p·q≤ |p||q|有2ab≤a2 +b2 .当且仅当 p ,q同向时 ,取“ =”号 .注意到 |p|=|q|,由 p ,q同向有p =q ,即　a =b .故当且仅当a =b时 ,取“ =”号 .例 2　求证 :a +b22 ≤ a2 +b22 .证明　构造向量p =12 ,12 ,q =(a ,b) ,由 ( p ,q) 2 ≤ |p|2 |q|2 ,有　 a +b22 ≤a2 +b22 .例 3　已知a …     

一道经典不等式赛题的多种证法

<正>题目已知p>0,q>0,且p³+q3+q³=2,求证:p+q≤2.这是1986年江苏省宿州市初中数学竞赛题.稍作改动,成为1988年江苏省初中数学竞赛题:已知p3+q3=2,其中p,q都是实数,试求p+q的最大值.1993年,该题又成为北京市高一数学竞赛题:x,y为实数且x3=2,求证:p+q≤2.这是1986年江苏省宿州市初中数学竞赛题.稍作改动,成为1988年江苏省初中数学竞赛题:已知p3+q3=2,其中p,q都是实数,试求p+q的最大值.1993年,该题又成为北京市高一数学竞赛题:x,y为实数且x³+y3+y³=2,求x+y的取值范围.此题文字简洁,结构优美,设计精巧,内涵丰富,解法多样,赏心悦目.是一道很值得探究的好题.以下几种证法,在此与读者共享.     

对一个优美不等式的进一步探究

安振平老师在文[1]中提出的第19个优美不等式:问题1若a,b,c为正数,a+b+c=3,求证:(3/a-2)(3/b-2)(3/c-2)≤1.王凯成老师在文[2]中利用3次变量代换给出其证明,过程繁冗.     

一道联赛不等式的简证与溯源

题目(2010年全国联赛广东省预赛)设非负实数a,b,c满足a+6+c=1,求证:9abc≤ab+bc+ca≤1/4(1+9abc). 文[1]给出该不等式的一种证法,本文将给出它的另外两个简证并谈谈该不等式的源, 证明先证左边9abc≤ab+bc+ca<=>(b+c)≥(9a-1)bc<=>a(1-a)≥(9a-1)bc.     

对一道高考难题加强的质疑

原题再现(2008年江西理)已知函数f(x)＝1/√(1+x)+1/√(1+a)+√ax/(ax+8),x∈(0,+∞).(1)当a=8时,求f(x)的单调区间;(2)对任意正数a,证明:1＜f(x)＜2.陈老师在文[1]中将问题(2)变形为:原题改编 已知u,v,t∈R+,且uvt=1,求证:1＜1/√(1+2u)+1/√(1+2v)+1/√(1+2t)＜2.事实上,还可以进一步改编为:精彩改编 已知正数a,b,c满足ahc=8,求证:1＜1/√(1+a)+1/√(1+b)+1/√(1+c)＜2.     

一个不等式的拓广

文 [1],[2 ]均对不等式“已知 :a >0 ,b >0 ,a3 +b3 =2 ,则a +b≤ 2”作出了一系列的讨论 .本文将给出该不等式的两个拓广 ,并由此证明了文 [2 ]末给出的猜想命题 1　若an +bn=2 ,a ,b∈R ,n≥ 2且n∈N ,则a +b≤ 2 ,ab≤ 1.上述命题为原不等式在指数上的推广 ,即文 [2 ]中猜想 1.证　 1)当a >0 ,b >0时 ,∵an+bn≥ 2anbn ,∴ 2anbn ≤ 2 ,即anbn≤ 1.∴ab≤ 1.又an+1+… +1n -1个 1+bn+1+… +1n -1个 1≥n nan +n·nbn,即na +nb≤ 2 +2 (n - 1) ,∴a +b≤ 2 .2 )若a <0 ,b <0 ,由题设n必为偶数 .此时 ,an+bn=(-a) n+(-b) n=2 .由 1)知 :(-…     

新题征展(103)

A题组新编 　　1.(1)已知Y∈R+,求证: 　　1/2(x+y)2+1/4(x+y)≥x√y+y√x; 　　(2)设a、b、c为不全相等的正数,求证: 　　bc/a+ac/b+ab/c>a+6+c; 　　(3)已知口,b,c∈R+, 　　求证:a2/b+c+b2/c+a+c2/a+b≥a+d+c/2; 　　(4)已知a,b,c∈R+, 　　求证:c/a+b+a/b+c+b/c+a≥3/2; 　　(5)若正数a、b,c满足a+b+c=1, 　　求证:(1/a+q1(1/b+1)(1/c+1)≥64.……     

一个不等式的逆向

文[1]证明了文[2]提出的一个猜想:说ai≥0,pi≥0,(i=1,2,…,n)且p1 p2 … pn=1,则n∑i=1piai≥n∏i=1aipi.本文将给出上述不等式的一个逆向不等式,从而得出一个不等式组.命题设ai>0,pi≥0(i=1,2,…,n),且p1 p2 … pn=1,则1∑ni=1piai≤n∏i=1aipi≤n∑i=1piai.证为了使命题证明     

一道联赛题的新解

(2008年全国高中数学联赛吉林赛区预赛第17题) 已知正数a,b,c满足2a+4b+7c≤2abc,求a+b+c的最小值. 文[1]公布的标准解答很难想到,文[2]的解答技巧性太强,本文按常规思路给出一种易于接受的方法供大家参考.     

两个不等式的推广

题目 已知x1^2＋x2^2＋…＋x100^2=300。求证： x1＋x2＋…＋X100≤200 （1） 文[2]对不等式（1）进行了加强和推广，分别给出四个命题，其中后两个命题（见原文命题3、命题4）分别为：     

两个不等式的推广

题目[1]已知x_1~2 x_2~2 … x_100~2=300,求证:x1 x2 … x100≤200(1)文[2]对不等式(1)进行了加强和推广,分别给出四个命题,其中后两个命题(见原文命题3、命题4)分别为:命题1若∑ni=1kixi=A,且∑ni=1ki=B,其中ki>0(i=1,2,…,n),A与B都是常数,则∑ni=1kixi2≥AB2(2)当且仅当x1=x