相交圆内接三角形的性质及应用

两圆相交于 A、D,过 D 任作割线分别交两圆于 B,C,我们称△ABC 为相交圆内接三角形.(见图1),相交圆内接三角形有下述三条性质.性质一相交圆内接三角形的三个内角均为定值.(证明略)这个性质揭示了相交圆内接三角形三内角的角度不变性,它对解决某类定值问题常常会有所启发.     

“通法”虽好 “变”则更通——一道道模拟题引发的探究课与反思

题1 (2012温州二模)如图1,过点A(-1,0)的直线与抛物线y2=4x交于B,C两点,过点P(1,1)的直线交抛物线于另一点D,试问:直线CD是否过定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由. 题1是近期数学复习资料中的一道例题,选自温州第二次模拟考试卷,出乎意料的是做对的学生寥寥无几,不少学生一筹莫展,这引起笔者的思考.圆锥曲线中的定值问题是近几年高考中的热点题型.一般是在一些动态事物(如动点、动直线、动弦、动角、动圆、动三角形、动轨迹等)中,寻找某一个不变量即定值,由于这类问题涉及到的知识点多、覆盖面广、综合性强,因此,解题过程中应注重解题策略,要善于在动的"变"中寻求定值的"不变"性,常用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,再转化为有方向有目标的一般性证明题,从而达到问题的解决,而这种特殊探索法在求定值问题中往往是不可或缺的.笔者从课堂教学案例出发,对高三数学二轮复习做出思考.     

一道期末质量抽测试题的探究

题目已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M、N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P.     

圆上动点问题

<正>与动点有关的问题是高中数学中常见的问题,也是学生学习过程中的难点问题之一.本文以圆上的动点问题为例,谈谈解这类问题的方法和策略.例1已知圆C:(x-4)²+(y-3)2+(y-3)²=1,A(-5,0),B(5,0),圆C上是否存在点P,使∠APB=90°,试说明理由.     

反思—发现—再反思—再发现

学习数学的过程是发现问题和解决问题的过程 .要想发现问题 ,首先要思考 .思考的方式很多 ,在解决一个问题后 ,反思就是一种常用的思考方法 ,这种思考是在一定基础上对问题进行比较、深化和提高 ,这样的思考有利于我们优化解决问题的方法 ,培养思维的广阔性 .下面是笔者在教学中遇到的一例 .问题　已知点A( -1,-3 )为圆x2 +y2=4上一定点 ,B、C为圆上另外两动点 ,且∠BAC =3 0°,求△ABC面积的最大值 .分析　这是一个解析几何中的最值问题 ,解决这类问题的常用方法是 :引入参数 ,建立关于面积的目标函数 ,然后再求解 .设立怎样的参数是解…     

中考函数与圆综合题例析

函数与圆分别是初中代数与几何的重点内容 ,近年来各地中考试题中频频出现函数与圆相结合的综合题 ,以考查学生运用“方程思想”、“数形结合思想”及“分类思想”等基本思想和方法 ,综合运用函数与几何知识解决问题的能力 .这类题涉及到的知识、方法较多 ,综合性较强 ,解法较灵活 ,本文仅就 2 0 0 3年部分省市中考题中的函数与圆综合题例析如下 :例 1、(广西壮族自治区 )如图 ,以A( 0 ,3 )为圆心的圆与x轴相切于坐标原点O ,与 y轴相交于点B ,弦BD的延长线交x轴负半轴于点E ,且∠BEO =60°,AD的延长线交x轴于点C ,( 1 )分别求点E、C的…     

习题教学：学生数学思考的有效载体

习题教学是师生围绕习题进行一切教学活动的总和,它贯穿于数学教学的始终.数学思考指人们面临各种现实问题情境时,能够自觉应用数学知识、方法、思想和观念去发现其中所存在的数学现象和数学规律,并用数学知识和思想方法去解决问题.数学思考是学生数学学习的本质特点,是数学知识的本质特征,是数学教学中最有价值的行为,在数学习题教学中如果离开了数学思考,那只能是无效行为.有思考才会有问题,才会有反思,才会有思想,才能真正感悟到数学的本质价值.数学家波利亚说过:“与其穷于应付繁琐的数学内容和过量的题目,还不如适当选择某些有意义,但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面,在指导学生解题过程中,提高他们的才智和推理能力.”因而,科学地借助习题教学这一载体,可以有效引发学生数学思考,培养学生解决问题的能力,促进学生思维品质的发展.笔者以一道中考题为例,论述如何通过习题教学引发学生数学思考.     

一类求曲线上两动点间距离最值问题的解法

有两个动点A和B,它们分别在两定曲线(其中至少有一曲线是圆)上运动,求|AB|的最大值和最小值。解答这类问题时,不少学生往往按照常规求最值之方法,他们的思路是这样的:求|AB|的最值,就是求A、B两点间距离的最值,因此首先建立|AB|的函数     

由习题谈弦长公式

<正>高中数学选修2-1(以下简称课本)第三章圆锥曲线与方程"4.3直线与圆锥曲线的交点"一节中有如下几道习题:习题1求直线x-y=0被曲线2x2+y2=2截得的弦长.习题2直线x-2y+2=0与椭圆x2+4y2=4相交于A、B两点,求A、B两点间的距离.……这些题目的共同特点是:已知直线l与曲线C相交于A、B两点,求线段AB的距离(即弦长).当然这类题目均可先联立方程组求出交点A、B的坐标,再由两点间距离公式求弦长     

104解析几何中的两圆问题——探索性习题训练案例

主持人按　“我们必须适当拓展中小学数学习题的观念,构建基础性训练与探索性训练相结合的习题体系.这里,十分重要的是,要鼓励广大教师提供精彩的习题训练案例及其相应的知识能力标准”.这是顾泠沅先生在《有效地改进学生的学习》一文中提出的一个十分重要的方向性呼吁.本栏正是发表与积累“精彩的习题训练案例”的好园地.本期,我们把两位老师的稿件充实修改后率先发表,就是给读者发出了这么一个新信息.一个典型的例习题,对教学来说,决不只是“(应)怎么去解?”,更重要的是“(可、该)怎样去想?”的问题.对一个例题作多角度分析,给学生的发展带来的好处是无容置疑的.只是它也必将给教师本人的素质以及他的钻研精神,提出了更多更高的要求了.读者如果愿意,如果敢于接受这样的挑战,望与我们一起协作,共同努力,以逐渐地(在本栏)积累起一大批精彩的例习题训练案例.上课伊始,教师发下如下的一张纸片:问题1　我们知道,相交两圆　○.O1:x2+y2-2x+4y+4=01与○.O2:x2+y2-10x-2y+1=02的公共弦所在直线的方程,可由1-2(消去二次项)得到.那么,对于两个不相交且非同心的圆的方程,也这么地处理,得到的是怎样的图形呢?问题2　已知...     

恰当选择变量,求解以椭圆为背景的定值问题

<正>由椭圆上的动点或与椭圆相交的动直线引发的定值问题或求值问题(以下统称为以椭圆为背景的定值问题),是平面解析几何直线与椭圆的综合题中的一类重点问题,既是高考命题的热点,也是同学们学习的难点.解决此类问题的关键是根据题设条件,选择恰当的变量作为参数,去表示动点的坐标或动直线的方程,通过数学运算得出定值(或所求值).本文结合几个例子,说明变量的选择方法及原则,供读者参考.     

浅谈初三数学习题中的定值问题

初中三年级数学课本第五册,P25、P183的习题中各提到定值问题,可见这类问题要求学生了解,至少是要求学习基础较好的同学了解。定值问题较一般问题,思考起来需要深入一步。解这类问题有利于巩固基础知识,发展思维能力,调动学生的学习积极性。定值问题一般都有运动的概念,可以培养学生运动、变化的观点,启发提高学生的学习能力。所以对定值问题,应该向学生讲解清楚。 平面几何中的定值问题,对初中学生来说难于入     

到两定直线距离和(差)为定值的点的轨迹

本文试讨论平面内到两定直线距离和或差为定值的点的轨迹图形及其有关推论。定理1 平面内到两相交定直线的距离和为定值的点的轨迹是以这两定直线为对角线的矩形。证明设两定直线l_1,l_2相交于点O,定值为a.且l_1上两点A,C到l_2的距离为a,l_2上两点B,D到l_1的距离也为a.连ABCD。有AD=BO=CO=DO。     

一道课本习题的变化与引申

在解题教学中,释疑解惑是重要的,但更重要的是解决问题后对知识与方法的分析、比较、反思、提炼.只有这样,才能让普适性的解题思想与经验深深地扎根于学生头脑中.深入研究教材习题,挖掘教材习题的"显性、隐性价值",可为学生解题思想的丰富提供原型.1提出问题揭示背景题目(苏教版选修1-1)直线y=ax+1与双曲线3x~2-y~2=1相交于A,B两点.(1)求AB的长;(2)当a为何值时,以AB为直径的圆经过坐标原点?     

求动圆圆心轨迹的规律性解法

动圆指圆心和半径都在动的圆，在我们常见的有关求动圆圆心的轨迹题中，这儿种条件是经常出现的：1)过定点；2)与定直线相切；3)与定直线相交所得弦长为定值l:4)与定圆相切(包括外切和内切)。     

一节解几研究性学习课例实录

下面是笔者一次亲身经历的研究性学习课例实录,供广大同行参考.师:同学们,我们一起来看一道题目:"已知圆C1:x2 y2 2x 2y-8=0与圆C2:x2 y2-2x 10y-24=0相交于A、B两点,求直线AB的方程".请大家思考一下,踊跃发言.     

对一道高考试题的探究

2007年全国高考湖南卷理科第20题为:已知双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,过点F2的动直线与双曲线相交于A,B两点.(Ⅰ)若动点M满足F1M=F1A F1B F1O(其中O为坐标原点),求点M的轨迹方程;(Ⅱ)在x轴上是否存在定点C,使CA·CB为常数?若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.该题第(Ⅱ)问是一个探索性的问题,它相对于传统问题而言,具有条件的不完备性、结论的不确定性、过程的发散性等特征,涉及的知识面广,方法灵活,对学生的基础知识和解题能力有较高要求,利用它可以较好地考查学生分析问题和解决问题的能力,因此这类问题受到了…     

盘点近几年中考中与“从动点”的“路径”相关的一类长度问题

所谓“从动点”,是相对“主动点”而言的,即指在几何图形中或函数图像上,有一个或两个动点（主动点）沿线段、折线、射线或圆弧等曲线上运动或进行某种几何变换,在运动中牵制形成另一种相关联的动点运动,这一种关联的动点可视作“从动点”。运动型问题是历年中考的一个热点问题,而与“从动点”的“路径”相关的一类长度问题更是在近两年的中考中不断涌现。这类问题以能力立意,常涉及转化、数形结合、方程、函数和分类讨论等数学思想方法,能有效地考查学生在数学活动过程中所表现出来的思维水平,因而备受各地中考命题者的青睐。尽管这类试题对解答过程往往不作要求,但对初中生的思维能力要求较高,不少学生遇到这类题目往往束手无策。本文例举近几年的中考题进行归类剖析,供参考。     

一道耐人寻味的抛物线习题

有这样一道习题：设A（x1,y1）,B（x2,y2）是抛物线x2=4y上不同的两点,该抛物线在点A,B处的两条切线相交于点C。     

运动型题目中定值的确定和求法

有一类题目,是在运动过程中确定某个量是否是定值.解决这类题目的一般方法是:①先求出特殊值.即先求出所求量在运动到某一特殊位置时对应的值.②再证明肯定或举反例否定.即在运动过程中任一位置所求量都等于这个特殊值,则说明所求量是定值,并且特殊值即为定值;若能找出运动过程中某一位置所求量不等于这个特殊值,则说明所求量不是定值.举例如下:例1、如图1,正方形ABCD的边长为2,对角线相交于点O.另一和它全等的正方形OEFG绕着O点旋转,问:在旋转过程中,两正方形重叠部分的面积是否是定值?若是,则求出定值;若不是,请说明理由.图1解:①先求…