一道高考数学试题的再剖析

(2008年江西省)已知抛物线y2=2px和三个点M(x0,y0),P(0,y0),N(-x0,y0)(y0≠x02,y0>0)过点M的一条直线交抛物线于A,曰两点,AP、BP的延长线分别交曲线C于E、F(如图1)证明:E,F,N三点共线.……     

一道意境幽远的高考数学试题的剖析

1问题的呈现 　　(2008年江西省高考试题)已知抛物线y=x2和三个点M(x0,y0)、P(0,y0)、N(-x0,y0)(y0≠x02,y0＞0),过点M的一条直线交抛物线于A、B两点,AP、BP的延长线分别交曲线C于E、F.……     

一道课本习题证法的讨论、拓展与应用

一、问题提出如图1,已知反比例函数y₁=1/x、y₂=3/x在第一象限的图像,过y₂上的任意一点A,作x轴的平行线交y₁于B,交y轴于C,过点A作x轴的垂线交y₁于D,交x轴于E,连接BD、CE,则BD/CE=_<sub><sub><sub><sub><sub><sub><sub><sub>.此题是沪科版教材九年级上册第21章《二次函数与反比例函数》的复习题.题目是反比例函数综合题,主要考查曲线上点的坐标与方程的关系,反比例函数的系数k的几何意义,相似三角形的判定和性质.题目难度适中,解决方法不唯一,能很好发散学生的思维,锻炼学生解决数学问题的能力.     

一组平行线三种不同视角下的证明

<正>如图1,2,直线AB交双曲线y=k/x(k>0)x于A,B两点(A,B可能在同一支上,也可能分别在两支上),交x轴,y轴于C,D两点,过点A作AE⊥x轴于点E,AF⊥y轴于点F;过点B作BG⊥x轴于点G,AH⊥y轴于点H.AE与BH相交于点M,则AB∥EH∥FG.(k>0或k<0结论都成立,方便起见,此处仅给出k>0时的图形.)如何来证明这一组直线平行?问题来自于双曲线,"问渠那得清如许,为有源头活水来",因此就从反上例函数图像的性质以及直线和反比例函数的图像的位置关系来展开证明.     

2010年四川卷理20题的课本探源、简解与拓广

考题(2010年四川卷理科20题)已知定点A(-1,0),F(2,0),定直线l:x=1/2,不在x轴上的动点P与点F的距离是它到定直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E,过点F的直线交E于B,C两点,直线AB,AC分别交l于点M,N. (Ⅰ)求E的方程; (Ⅱ)试判断以线段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.     

函数与几何综合题

函数与几何综合题,一直是近年来中考的命题热点.它将几何知识与函数知识巧妙组合,既考查几何与函数的基础知识的综合运用能力,又考查蕴含于这些综合题中的相关数学思想方法.不少中考试卷将这类试题置于试卷“压轴”位置,可见它有一定的难度.     

点关于圆的极线的讨论

文 [1 ]中指出了点P(a,b)关于圆x2 +y2 =r2 (r >0 )的极线 ,当点P在圆内时极线的情形 .最后谈到不必作出相关切线也能较快地作出P点的极线ax +by=r2 :首先解方程组 :ax+by=r2bx-ay =0 ,求得Q点坐标ar2a2 +b2 ,br2a2 +b2 ,然后在OP延长线上依坐标找到Q点 ,最后过Q点作直线OP的垂线即得 .这个办法是代数的方法 ,因为要解代数方程才能得到Q点坐标 ,另一个不易确定的是如何依据坐标在OP上较准确地找到Q点 .这个问题较好的几何处理办法是 :作过P点的直径EF交圆于E、F两点 ,再过P点作直径EF的垂线交圆于MN ,过M点作圆O的切线MQ交直径E…     

与面积有关的反比例函数问题

<正>解决与反比例函数有关问题时,经常要用到反比例函数的面积的不变性,即反比例函数图1y=k x的本质特征,两个变量y与x的乘积是一个常数k,由此不难得到反比例函数的一个重要性质:如图1,过双曲线y=k x(k≠0)上一点P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得的矩形的面积S=PM·PN=|x||y|=|xy|=|k|.下面举例介绍一些与面积有关的反比例函数问题.图2例1如图2,Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上,斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E,双曲线y=k x(x>0)的图像经过点A,若△BEC的面积为4,则k     

一道竟赛题的思考

第十五届"希望杯"全国数学邀请赛(高二)第十六题:已知点A(3,1),点M在直线x-y=0上,点N在x轴上,求△AMN周长的最小值.解如图1,求作点A分别关于直线x-y=0和x轴的对称点E(1,3)和F(3,-1),连接EF分别交直线x-y=0和x轴于M和N,则△AMN周     

一道模拟题的简解及推广

题目如图1,以原点为圆心,t(t>0)为半径的圆O交y轴的正半轴于点B,圆O与抛物线y2=2x(y>0)交于A点,直线BA与x轴交于点     

一道综合题的解法探讨

<正>题目(2015·宁波)如图1,在平面直角坐标系中,点M是第一象限内一点,过M的直线分别交x轴,y轴的正半轴于A,B两点,且M是AB的中点.以OM为直径的☉P分别交x轴,y轴于点C,D两点,交直线AB于点E(位于点M右下方),连结DE交OM于点K.(1)若点M的坐标为(3,4).     

一道与切线有关的中考题的解法探究

原题(沈阳中考题)如图1,直线y=-3/4x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C(m,n)是第二象限内一点,以点C为圆心的圆与x轴相切与点E,与直线AB相切与点F.     

三割线等比定理及其应用

<正>一、三割线等比定理[1]两条割线CD、EF分别交圆于点C、D、E、F,第三条割线交圆于点A、B,分别交CD、EF、CF、DE、CE、DF(或它们的延长线)于点P、R、M、N、T、S.     

浅析一类函数型综合题的解题方法

<正>近年来,函数型综合题一直是北京市中考命题的重点和热点,主要以函数图象为背景,结合代数、几何知识,体现数形结合、分类思想.下面以2016年北京市数学中考题27题为例分析函数型综合题的解题方法.例在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴的交点为A,B.(1)求抛物线的顶点坐标;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.     

关联椭圆、双曲线的几个有趣性质

给定椭圆E1:x2/a2+y/2b2=1(b>a>0)和双曲线E2:x2/a2-y2/b2=1(b>a>0),O为E1(或E2)的中心,则关联椭圆E1与双曲线E2有如下几个有趣的性质.性质1设A、B是双曲线E2上满足∠AOB=90°的两点(A、B均不在两直线y=±x上,以下同),A在y轴、x轴上的射影分别为A1、A2,B在y轴、x轴上的射影分别为B1、B2,OA、OB分别交椭圆E于点C、D,则     

对一道"圆"题的探究和拓广

题目 已知圆O:x2+y2=1,直线l1过定点Q(3,0)且与圆O相切. (Ⅰ)求直线l1的方程; (Ⅱ)设圆O与x轴相交于A,B两点,P是圆O上异于A,B的任意一点,过点Q且与x轴垂直的直线为l2,若直线AP交直线l2于点M,直线BP交直线l2于点N,求证:以MN为直径的圆C经过定点,并求出定点坐标.     

一道中考题的演变与拓展

<正>(2011年乐山)如图1,直线y=6-x交x轴、4y轴于A、B两点,P为反比例函数y=x的图像上位于直线下方的一点,过点P作x轴垂线,垂足为点M,交AB于点E,过点P作y轴的垂线,垂足为点N,交AB于点F,则AF·BE=.     

对于一道几何综合题多解的分析

<正>初三同学遇到几何综合题,经常会感到很困难,主要原因是对几何图形的结构及问题本身理解不透,本文通过对一道几何综合题多解分析,引导同学如何在复杂的图形中分析图形、寻找关系、解决问题.1例题呈现如图1,四边形ABCD是矩形(AB相似文献   

用等弧证相似

<正>数学家阿蒂亚说:"几何学其中的视觉思维占主导地位,几何直觉是增强数学理解力的有效途径,而且它可以使人增加勇气,提高修养."例题如图1,圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为圆O上的一点,AE=AC,DE交AB于点F,若AB=4,BP=5,求PF.解法一如图2,连DO并延长交圆O于     

一道模拟题的简解及推广

题目如图1,以原点为圆心,t（t〉0）为半径的圆O交y轴的正半轴于点B,圆O与抛物线y^2=2x（y〉0）交于A点,直线BA与x轴交于点C,又抛物线y^2=2x（y〉0）上一点D,点D的横坐标比点A的横坐标大2,则直线CD的倾斜角的集合为＿＿．