一个常数竟有两个整数部分

题求1 1/2~(1/2) 1/3~(1/2) …1/100~(1/2)的整数部分解∵(n 1)~(1/2) n~(1/2)>2n~(1/2)>n~(1/2) (n-1)~(1/2)∴(n 1)~(1/2)-n~(1/2)<1/(2n~(1/2))相似文献   

一类方程的几何解法

本刊1983年2期问题征解1说的是求解方程(x~2+y~2)~(1/2)+((2-x)~2+y~2)~(1/2)+(x~2+(2-y)~2)~(1/2)+((2-x)~2+(2-y)~2)~(1/2)=42~(1/2)。对此,我们讨论下列问题。问题一求下列各方程的实数解1. (x~2+y~2)~(1/2)+((x-m)~2+y~2)~(1/2)+(x~2+(y-m)~2)~(1/2) +((x-m)~2+(y-m)~2)~(1/2)=2(2~(1/2))|m|;2. (x~2+y~2)~(1/2)+((x-a)~2+y~2)~(1/2)+(x~2+(y-b)~2)~(1/2) +((x-a)~2+(y-b)~2)~(1/2)=2(a~2+b~2)~(1/2);3. (x~2+y~2)~(1/2)+((x-a)~2+y~2)~(1/2)+ ((x-b)~2+(y-c)~2)~(1/2)+((x-a-c)~2+(y-c)~2)~(1/2) =((a-b)~2+c~2)~(1/2)+((a+b)~2+c~2)~(1/2)(m、a、b、c均为非零常数,且a(?)b) 不难发现方程左边表示几个距离的和,这就     

一类无理方程化作一次方程求解

1先看解法。例题解方程(x~2 4x 5)~(1/2) (x~2-2x 5)~(1/2) =(4x~2 4x 10)~(1/2) 解原方程化为 ((x 2)~2 1~2)~(1/2) ((x-1)~2 2~2)~(1/2) =、(〔(x 2) (x-1)〕~2 (1 2)~2)~(1/2) 令(x 2)·2=(x-1)·1, 得x=-5。解法是: (1)将方程左边两根号下的二次式分别配成平方和的形式,得、(a_1~2 b_1~2)~(1/2) (a_2~2 b_2~2)~(1/2)其中a_(1,2,)b_(1,2)分别为x的一次式和零次式; (2)将方程右边根号下的二次式配成对应的平方和,得((a_1 a_2)~2(b_1 b_2)~2)~(1/2)。这类无理方程就是专指能配成这种关系的无理方程;     

与5相关的两个有趣结果

性质1 设n为非负整数,则 (1) 当n≤2时,5~(2~(n 1))的末n 1位数等于5~(2~n)。 (2) 当n>2时,5~(2~(n 1))与5~(2~n)有相同的末n 2位数。证 (1)当n≤2时,直接验证即知 (2)当n>2时,因为 5~(2~(n 1))-5~(2~n)=5~(2~n)(5~(2~n)-1)=5~(2~n)(5~(2~(n-1)) 1)(5~(2~(n-2)) 1)…(5~(2~1) 1)×6×4 (*)     

研究小规律巧解竞赛题

成功的解题 ,往往体现在 :寻找规律 ,应用规律 .而规律性的解题研究 ,常可以从一些不引人注意的小规律开始 .我们不难得如下呈现规律性的恒等式 :2 ( a2 b2 ) =( a b) 2 ( a - b) 2 ( 1 )3( a2 b2 c2 ) =( a b c) 2 ( a - b) 2 ( b - c) 2 ( c - a) 2 ( 2 )4( a2 b2 c2 d2 ) =( a b c d) 2 ( a - b) 2 ( a - c) 2 ( a - d) 2 ( b- c) 2 ( b - d) 2 ( c - d) 2 ( 3)这三个恒等式的配方推证并不难 ,这里主要是研究其奇妙的解题应用 .1　恒等式 ( 1 )的巧用例 1　设 c是直角三角形的斜边 ,a,b是两条直…     

一个式子等于两个值

题目2~(1/2)(~(2~(1/2))~(2~(1/2)))=? 解设2~(1/2)(~(2~(1/2))~(2~(1/2)))=x,则(2~(1/2))~x=x(*) 由观察法易知x=2或x=4。∴2~(1/2)(~(2~(1/2))~(2~(1/2)))=2或4。一个数式等于两个值是不可能的,上面解得的两个答案中肯定有一个值应舍去,但把x=2和x=4代入方程(*)都适合,那么究竟应舍去哪一个值     

问题征解

一、本期问题征解 1.求证对于所有正整数m,不等式 1/(m 1) 1/(m 2) … 1/ (2m 1)m>1成立。2. 求证不等式,(2-(2 (2 (2 … 2~(1/2))~(1/2))~(1/2))~(1/2))/(2-(2 (2 … 2~(1/2))~(1/2))~(1/2))>1/4(其中分子有n个根号,而分母包含有n-1个根号) 以上二题由汉川刘之英译供 3.已知f(x)=x~2-2mx b, (1)求抛物线y=f(x)的顶点轨迹方程; (2)说出l_1:f(x)-f(y)=3, l_2:y=f(x 1)-f(x)的形状; (3)当l_1与l_2相切时,求m的值。 4.某校先后举行数、理、化三科竞赛,学     

(2χ~2)~(1/2)-(2n-1)~(1/2)的近似正态性及多总体标准差的齐性检验

计算了随机变量(2χ~2)~(1/2)的数学期望和方差,比较分析了随机变量(2χ~2)~(1/2)-2n~(1/2)与(2χ~2)~(1/2)-(2n-1)~(1/2)的近似分布的相同和不同之处,并且利用2χ2的近似分布的正态性,建立了多总体标准差的检验法.     

倍边公式的簡化形式

学生在求边数倍增的圓內接正多边形的边长时,宁可采取別的方法,却很少运用現成的倍边公式。高中平面几何課本中关于圓的內接正多边形的倍边公式是这样給出的: a_(2n)=(2R~2-R(4R~2-a_n~2)~(1/2))~(1/2) (1)如果将(1)式根据代数上所讲的公式(a-b~(1/2))~(1/2)== ((a (a~2-b)~(1/2))/2)~(1/2)-((a (a~2-b)~(1/2))/2)~(1/2)进行变换,可变成a_(2n)=R((1 ((a_n)/2R))~(1/2)-(1-((a_n)/2R))~(1/2)) (2) (2)式和(1)式比較起来,不但形式簡单,便于記忆;而且由于(2)式比(1)式少了一层开方运算,也容     

数学问题解答

2007年7月号问题解答(解答由问题提供人给出)1681设x y z≥1,求证:(x y)4 (y z)4 (z x)4 (x-y)4 (y-z)4 (z-x)4>94.(江苏宿迁中学陈炳堂223800)证明(x y)4 (y z)4 (z x)4 (x-y)4 (y-z)4 (z-x)4=4(x4 y4 z4) 12(x2y2 y2z2 z2x2)=4(x4 y4 z4 2x2y2 2y2z2 2z2x2) 4(x2y2 y2z2 z2x2     

求值问题巧解

一些求值问题设字母替换来解,方法别具一格。今举例给予说明。例1 求(2+3~(1/2))~(1/2)+(2-3~(1/2))~(1/2)的值。解:设x=(2+3~(1/2))~(1/2)+(2-3~(1/2))~(1/2)则 x~2=((2+3~(1/2))~(1/2)+(2-3~(1/2))~(1/2))~2=2+3~(1/2)+2(((2+3~(1/2))((2-3~(1/2)))~(1/2)+2-3~(1/2) =4+2(2~2-(3~(1/2))~2)=6 ∴x=±6~(1/2) (-(6~(1/2))不合题意舍去) 因此,原式=6~(1/2)。例2 求 (4-3((4-3((4-3)~(1/3))~(1/3)))~(1/3)…的值。解:设x=(4-3((4-3((4-3)~(1/3))~(1/3)))~(1/3) 则 x~3=4-3((4-3((4-3~(1/3))))~(1/3)…即 x~3=4-3x。∴x=1注:例2应该先证其存在性之后才能设,这     

化分指数幂为根式的一种方法

化分指数幂为根式时,学生常常习惯于一开始就直接利用分指数幂的定义,立即转化为根式。如 2~(-1/2)=1/(2~(1/2))=1/(2~(1/2))·(2~(1/2))(2~(1/2))·(2~(1/2))(2~(1/2))·     

一道竞赛题的简解

题目试对一切不全为0的实数x,y,z,w,给出代数式(xy+2yz+zw)/(x~2+y~2+z~2+w~2)的一个上界,(你给出的上界越小,你得的分数越高)。 (1985年奥地利和波兰联合数学竞赛题),文中介绍了用爬坡式推理解决这道题的方法。下面我们给出这道题的一个简解: (2~(1/2)+1)x~2+(2~(1/2)-1)y~2≥2xy (1) 2(y~2+z~2)≥4yz (2) (2~(1/2)-1)z~2+(2~(1/2)+1)w~2≥2zw (3)     

y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数吗

题目:判断函数y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)的奇偶性。解:y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)=(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)cos(x/2))/(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)-cos(x/2))=2sin(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))/2cos(x/2)(cos(x/2)+sin(x/2))=tg(x/2)。∵ y=tg(x/2)是奇函数。∴ y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数。表面看来,以上解法无懈可击。但如果注意到当     

根有某种关系的两个一元二次方程系数间的关系及其应用

几个定理设有两个一元二次方程a_1x~2+b_1x+c_1=0 (a_1≠0) (Ⅰ)和a_2x~2+b_2x+c_2=0 (a_2≠0) (Ⅱ) 定理1 方程(Ⅱ)有一个根是方程(Ⅰ)的一个根的k倍的充要条件是。 (?) 证明必要性:设x_1、x_2是方程(Ⅰ)的两个根,若方程(Ⅱ)有一个根是方程(Ⅰ)的一个根的k倍,则有 (a_2k~2x_1~2+b_2kx_1+c_2)·(a_2k~2x_2~2+b_2kx_2+c_2)=0此式左边展开后,经整理可得 a_2~2k~4(x_1x_2)~2+a_2b_2k~3x_1x_2(x_1+x_2)     

由余弦定理所导出的不等式的应用

本文将首先利用余弦定理导出三个不等式。这些不等式用在求证某类(与三角形元素有关的)极值问题时是非常有趣的。若角A、B、C能组成一个三角形,且所对边为a、b、c,则有下列不等式: sin(A/2)≤(a/2(bc~(1/2)),sin(B/2)≤b/2(ca~(1/2)), sin(C/2)≤c/2(ab~(1/2))。证明:利用余弦定理和半角公式: ∵cosA=1-2sin~2(A/2)=(b~2+c~2-a~2)/2bc即 2sin~2(A/2)≤a~2/2bc (∵(b-c)~2≥0)于是,sin(A/2)≤a/2(bc~(1/2))(∵sin(A/2)>0, ∴取正号) 显然△ABC为等腰三角形时(b=c)取等号.同理有:sin(B/2)≤b/2(ac~(1/2)),sin(C/2)≤c/2(ab~(1/2)) 例1 任意三角形的三边长为a、b、c。求证:     

第九章 圆锥曲线

§1 椭圆一、选择题 1.动点M(x,y)到定点,F_1(-4,0)和,F_2(4,0)的距离的和为8,则点M的轨迹是( ) (A)x~2=8 (B)y=0(-4≤x≤4) (C)x=0(-4≤y≤4) (D)y~2=8 2.椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>>0)与曲线x~2/(a~2-k~2) y~2/(b~2-k~2)=1(a>b>0)有( ) (A)相等的短轴 (B)相等的焦距 (C)相等的离心率 (D)有相同的准线 3.如果椭圆x~2/a~2 y~2/b~2=1(a>b>0)两准线间的距离     

二次六项式可分解的一个判别条件的初等证法

《数学通报》1999年第 8期发表了朱广化老师的佳作《用微积分分解二次六项式》看后深受启发 .作者用微积分的方法给出二次六项式 Ax2 2 Bxy Cy2 2 Dx 2 Ey F(其中 A≠ 0 )可分解的一个条件( BD- AE) 2 - ( B2 - AC) ( D2 - AF) =0本文对该条件给予初等证明 .事实上 :Ax2 2 Bxy Cy2 2 Dx 2 Ey F= Ax2 2 ( By D) x Cy2 2 Ey F= A〔x2 2 ( By D)A x Cy2 2 Ey FA 〕=A〔x2 2 ( By D)A x ( By D) 2A2 -( By D) 2A2 Cy2 2 Ey FA 〕=A( x By DA ) 2 -( By D) 2A Cy2 2 Ey F=A( x By DA ) 2 -1A〔( B2 -AC…     

两个极限相等的有趣数列

证明了两个有趣数列{n~(1/2)∫_0~(π/2)sin~nxdx},{(n+1)~(1/2)∫_0~(π/2)sin~nxdx}的极限均为(π/2)~(1/2),且(π/2(n+1))~(1/2)∫_0~(π/2)sin~nxdx(π/2n)~(1/2).     

数学问题解答

20 0 4年4月号问题解答(解答由问题提供人给出)1 486　求函数f(x) =x( 1 -x)(x+ 1 ) (x+ 2 ) ( 2x + 1 ) ,x∈( 0 ,1 ]的最大值解　记f(x) =y ,令x=1 -t1 +t( 0 ≤t<1 ) ( 1 )代入f(x) ,可得y=t( 1 -t2 )9-t2 ( 2 )引入待定正常数α,得y=αt( 1 -t2 )α( 9-t2 ) ≤(α2 +t2 ) ( 1 -t2 )2α( 9-t2 )=α2 + ( 1 -α2 )t2 -t42α( 9-t2 )=- 12α( 9-t2 ) + 8( 9+α2 )9-t2 + 1 7+α22α≤- 12α·2 8( 9+α2 ) + 1 7+α22α=1 7+α2 - 42 ( 9+α2 )2α(定值) ( 2′)以上y取最大值的条件是:t=α9-t2 =8( 9+α2 )9-t2　(α>0 ,t∈[0 ,1 ) ) .解出…