用“判别式法”求极值辨析

求二次函数型的极值常可运用“判别式法”(以下简称“△法”)。但运用“△法”求极值可能产生增解或失解,学生在解题时常常忽略这个问题而出现一些错误,下面略举几例说明: 例1 求函数y=2-(4/x)-3x的极值(x>0) 错解函数可变形为3x~2+(y-2)x+4=0 (1) ∵x∈R ∴△=(y-2)~2-4·3·4≥0 解之得 y≤2-(4(3)~(1/2))或y≥2+4(4)3~(1/2)。简析:y极小=2+4(3)~(1/2)了就是用“△法”产生不符合题意的答案,事实上,当y=2+4(3)~(1/2)时,方程(1)化为3x~2+4(3)~(1/2)x+4=0(3~(1/2)x+2)~2x=-(2(3)~(1/2))/3<0。     

非负数的和小于零

题目设α,β为关于x的方程x~2-2ax a 6=0的二实根。求(α-1)~2 (β-1)~2的最小值。解:根据一元二次方程根与系数的关系得:α β=2a,αβ=a 6 ∴ (α-1)~2 (β-1)~2 =(α β)~2-2αβ-2(α β) 2=4a~2-6a-10=4(a一3/4)~2-12(1/4)     

值域内取不到的函数值

现行的参考书和许多数学刊物,都不时出现求值域的一种方法——根据反函数的定义域求原函数的值域,即:要求y=f(x)的值域,可先求出y=f~(-1)(x),y=f~(-1)(x)的定义域即为y=f(x)的值域。例求函数y=x+6(x-9)~(1/2)-1的值域。解 y=((x-9)~(1/2))~2+2·3·(x-9)~(1/2)+3~2-1=((x-9~(1/2))+3)~2-1 ∴ (y+1)~(1/2)=(x-9)~(1/2)+3, (x-9)~(1/2)=(y+1)~(1/2)-3,x=y-6(y+1)~(1/2)+19。所给函数的反函数为y=x-6(x+1)~(1/2)+19。其定义域[-1,+∞)即为所求值域。     

用二次曲线定义解无理方程

解无理方程的常用方法是使方程有理化,但对于一些特殊的无理方程,如果盲目乘方,往往会招致繁琐的运算。这就需要根据题中的一些特殊条件,采用特殊的解法。而利用二次曲线的定义,将无理方程转化为二次曲线的标准方程是值得注意的解题方法,现举几例介绍如下: 例1 解方程 x~2-10(3~(1/2))x+80+(1/2)x~2+10(3~(1/2))x+80=20 解:原方程可化为:(x-5(3~(1/2))~2+5~(1/2)+(x+5(3~(1/2)))~2+5~(1/2)=20令y~2=5,则原方程为:(x-5(3~(1/2))~2+y~2)~(1/2)+(x+5(3~(1/2))~2+y~2~(1/2)=20。此方程表示动点P(x,y)到两定点(5(3~(1/2)),0)、(-5(3~(1/2)),0)的距离之和为20,故它表示椭圆。     

“分子有理化”的应用

在教学中,“分母有理化”的解题技巧常常给予强调并广为同学们所运用;但对“分子有理化”,一种特殊的解题技巧却没有给予注意和介绍。致使不少同学面对用“分子有理化”这把“刀子”就能迎刃而解的习题感到十分棘手。下面通过数例介绍“分子有理化”在解题中的应用。例1.判定函数y=lg(x+(x~2+1)~(1/2))的奇偶性。解:∵f(-x)=lg(-x+((-x)~2+1)~(1/2)) =lg((x~2+1)~(1/2)-x)=lg(1/((x~2+1)~(1/2)+x)) =lg((x~2+1)~(1/2)+x)~(-1)=-f(x)。     

国外试题选登

<正> (苏)(1)求极限(2)设x>0时,f(x)=(1+x)~(1/(?)),证明当x→0~+时,f(x)-e+Ax+Bx~2+o(x~2),并求A、B两常数. (3)证明不等式(sinx)~(-2)≤x~(-2)+1-(4/(π~2))x∈(0,(π/2)).     

巧用特殊法 妙解课本题

根据题目条件的信息,选用恰当的化简技巧,是解决课本二次根式题的关键.一、变换所求,以简驭繁例1已知x=1/2(7~(1/2)+5~(1/2)),y=1/2(7~(1/2)-5~(1/2)),求x2-xy+y2的值.解当x=1/2(7~(1/2)+5~(1/2)),y=1/2(7~(1/2)-5~(1/2))时,有x-y=5~(1/2),xy=1/2.∴原式=(x-y)2+xy=(5~(1/2))2+1/2=11/2.二、化简变形,化难为易例2已知x=(3~(1/2)+2)/(3~(1/2)-2),y=(3~(1/2)-2)/(3~(1/2)+2),求     

代数替换证不等式

证不等式,技巧性很强。用三角代换法者屡见不鲜。但若另辟蹊径,巧用本文中的代数代换,又可别开生面,另有一番情趣。例1 已知a,b∈R求证a~2+ab+b~2-3a-3b+3≥0 证明令x=1/2(a+b), y=1/2(a-b), 则a=x+y, b=x-y,于是原式左边=(x+y)~2+(x~2-y~2)十(x-y)~2 -3〔(x+y)+(x-y)〕+3=3x~2+y~2-6x+3=3(x-1)~2+y~2≥0。例2 已知a,b∈R~+,求证(当且仅当c=b时,取等号)。证明:令x=1/2(a+b),y=1/2(a-b),则a=x     

无理方程的间接验根法

无理方程的验根,大多可以采用直接验根的常规方法。然而,对于某些无理方程,直接验根有时很难奏效。这里,笔者介绍一种姑且称为“间接验根”的方法。使用这种方法的意义与思考途径,将结合例子予以说明。例解方程 (3(x+1))~(1/2)-(3x-1)~(1/2)-2((x-1)~(1/2))=0 (1) 解由方程(1)可得 (3(x+1))~(1/2)-(3x-1)~(1/2)-2((x-1)~(1/2))两边同时平方,整理得 x+3=(3(x+1)(3x-1))~(1/2))再两边平方,化简得8x~2=12,解得, x_1=6~(1/2)/2,x_2=-6~(1/2)2容易看出x_2使(1)的根式无意义,为增根。将x_1代入(1)检验,则方程(1)的右边出现的是一个很难、甚至不可能直接化简的根式。如果x_1是方程     

问题与解答

一本期问题 1 已知一直角三角形的面积为S,周长为l,求以二直角边为二根的一元二次方程。 2 求证(π-3.1415926) (π-3.1415927)≥-2.5×10~(-15) 陕西富平美原中学八五级郭翔宇提供 3 若x、y为实数,且有 y=(1-x~2)~(1/2)+(x~2-1)~(1/4)/2x-3求log_(1/2)(x+y)的值. 4 已知2x+5y+4z=0.3x+y-7z=0,求证 x+y-z=0. 5 已知锐角△ABC中有cosA+cosB-cos(A+B)=3/2,求证△ABC为等边三角形。     

Mordell方程y~3=x~2+2p~4的正整数解

设p是奇素数.对于非负整数r,设U_(2r+1)=(α~(2r+1)+β~(2r+1))/2~(1/2),V_(2r+1)=(α~(2r+1)-β~(2r+1))/6~(1/2),其中α=(1+3~(1/2))/2~(1/2),β=(1-3~(1/2))/2~(1/2).运用初等数论方法证明了:方程y~3=x~2+2p~4有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y)的充要条件是p=U_(2m+1),其中m是正整数.当上述条件成立时,方程仅有正整数解(x,y)=(V(2m+1)(V_(2m+1)~2-6),V_(2m+1)~2+2)适合gcd(x,y)=1.由此可知:当p10000时,方程仅有正整数解(p,x,y)=(5,9,11),(19,1265,123),(71,68675,1683)和(3691,9677201305,4541163)适合gcd(x,y)=1.     

數學問题及解答欄

144,假如m/n是2~(1/3)的一個近似值,試証明(m~2+mn+2n~2)/(m~2+mn+n~2)是2~(1/3)的一個更好的近似值,並且(m~2+mn+2n~2)/(m~2+mn+n~2)-2~(1/3)與m/n-2~(1/3)異號。(選自蘇聯“數學教學”1954年第4期間題欄), 145.設P,Q,R,p,q,r那是整數,且p,q,r互素,證明:如 P/p+(Q/q)+(R/r)是一整數,那末P/p,Q/q,R/r,也是整數。 146.求不定方程x~2+y~2+z~2=3xyz的正整數解之適合於0相似文献   

试谈根的判别式的应用

一元二次方程ax~2+bx+c=0(a、b、c∈R,a≠0)的根的判别式Δ=b~2-4ac有着极为广泛的应用,应用它解决某些问题,可起到化繁为简、化难为易的作用,本文举例说明根的判别式在解题方面的应用。 1 求值例1 求使A=(x~2-2x+4)/(x~2-3x+3)为整数的一切实数x。(1983年苏州市中学生数学竞赛题) 解A=(x~2-2x+4)/(x~2-3x+3)=1+(x+1)/(x~2-3x+3) 令a=(x+1)/(x~2-3x+3),     

用立方法解三次根式方程是否会产生增根

用平方法解二次根式方程,可能会产生增根,这是大家熟知的。但用立方法解三次根式方程,是否也会产生增根?这却非尽人皆晓。考察下面的例1 解方程(2χ-1)~(1/3)+(3χ-2)~(1/3)=(5χ-3)~(1/3)。解方程两边同时立方,得(5χ-3)+3·(2χ-1)~(1/3)(3χ-2)~(1/3)((2χ-1)~(1/3)+(3χ-2)~(1/3))=5χ-3把原方程代入得 ((2χ-1)(3χ-2)(5χ-3))~(1/3)=0两边再同时立方得 (2χ-1)(3χ-2)(5χ-3)=0 ∴χ_1=(1/2),χ~2=2/3,χ_3=3/5。经检验知其皆为原方程的根。例2 解方程(χ+1)~(1/3)+(2χ+5)~(1/3)=3~(1/3)。解原方程记为(1),两边同时立方,得     

余数定理的引伸及其应用

在中学数学课本里有一条定理叫余数定理“多项式f(x)除以x-b所得的余数等于f(b)”,证明时引用了下列恒等式 f(x)=(x-b)·Q(x)+R (1)当x=b时,f(b)=R。现在我们把关系式(1)引伸一下,设 f(x)=B(x)·Q(x)+R(x) (2)是一个关于x的恒等式,如果当x=b时,我们有B(b)=0,则得f(b)=R(b)。由于我们所讨论的是一元多项式,当B(x)的次数低于f(x)的次数时,R(x)的次数将低于B(x)的次数而更低于f(x)的次数,因此,求函数f(x)当x=b的值时,可以不直接代入f(x)计算而可以代入较为简单的式子R(x)里去计算,这样就方便得多了。例1. 已知 x=1/(3~(1/2)+2~(1/2)),求 f(x)=x~5+x~4-10x~3-10x~2+2x+1的值。解:x=1/(3~(1/2)+2~(1/2))=(3~(1/2)-2~(1/2)。     

1984年湖北省省市初中数学联赛试题答案

第一试(试题见本刊第5期) 一选择题 1.(B); 2.(C); 3.(D); 4.(B); 5.(A); 6.(C); 7.(B); 8.(D); 9.(A); 二解:y=|x-1|+|x-3|+(4x~2+4x+1)~(1/2)=|x-1|+|x-3|+|2x+1|=-4x+3 (x<-1/2)5 (-1/2≤x≤1)2x+3 (1≤x<3)4x-3 (x≥3) ∴当-1/2≤x≤1时y=|x-1|+|x-3|+(4x~2+4x+1)~(1/2)恒等于常数5。三、证明∵ABCD为圆外切四边形∴AB+CD=BC+DA(见下图) 两边平方:AB~2+2AB·CD+CD~2=BC~2+2BC·DA+DA~2 (1) 又∵AC⊥BD ∴AB~2-AB~2+BE~2,BC~2=BE~2+CE~2,     

从(x±1)(x~2±x+1)=x~3±1谈起

乘法公式中有 (x+1)(x~2-x+1)=x~3+1,(x-1)(x~2+x+1)=x~3-1。等式两边互换,就得到因式分解 x~3+1=(x+1)(x~2-x+1),x~3-1=(x-1)(x~2+x+1)。进而有 x~4+1=(x+1)(x~3-x~2+x-1),x~4-1=(x-1)(x~3+x~2+x+1)。推广这些公式,可以得到定理1 (1)对任意正整数n,有 x~n-1=(x-1)(x~(n-1)+x~(n-2)+…+x+1)     

问题一瞥

1) 解方程: x~3-(a+2)x+(a+1)~(1/2)=0 2) 解方程: x~4-6ax~2+8a((ax)~(1/2))-3a~2=0 3) 确定下式的最小值: a~2+b~2+c~2/S其中a,b,c是三角形的边,S是三角形的面积。 4) 证明: tgα·tg2α+tg2α·tg3α+…+tg(n-1)α·tgnα=tgnα/tgα-n。 5) 证明不等式: tgα(ctgβ+ctgγ)+tgβ(ctgα+ctgγ)+tgγ(ctgα+ctgβ)≥6。其中α,β,γ是锐角三角形的角。 6) 证明: C_n~1 1~2-C_n~2 2~2+C_n~3 3~2-…+(-1)~n C_n~(n-1) (n-1)~2+(-1)~(n+1) n~2=0     

妙求值域一例

题目求函数y=x (x~2 x 1)~(1/2)的值域.解y-x=(x~2 x 1)~(1/2) =((x 1/2)~2 3/4)~(1/2)≥3~(1/2)/2.又(y-x)~2=x~2 x 1(?)x=(y~2-1)/(2y 1),     

构作棱锥解题两例

例1 x,y,z∈R~+,求证 ((x~2+y~2-2~(1/2)xy)~(1/2)+(y~2+z~2-yz)~(1/2) >((z~2+x~2-3~(1/2)zx)~(1/2) 证根据题目中的交叉项系数2~(1/2),1,3~(1/2)等效字特征,联想到余弦定理,而构作一