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对型如((x-a)~2 b)~(1/2) ((c-x)~2 d)~(1/2)=k的无理方程,可构造直角三角形,运用勾股定理和相似形,使之转化为简单的方程组来解,堪为巧妙! 例1 解方程 (x~2 1)~(1/2) (x~2-24x 160)~(1/2)=13。解原方程可化为: (x~2 1)~(1/2) ((12-x)~2 16)~(1/2)=13。令y=12-x,则有(x~2 1)~(1/2) (y~2 16)~(1/2)=13 如图1,构造直角△ABC,使∠C=90°,AC=12,AB=13,则BC=(13~2-12~2)~(1/2)=5 相似文献
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证不等式,技巧性很强。用三角代换法者屡见不鲜。但若另辟蹊径,巧用本文中的代数代换,又可别开生面,另有一番情趣。例1 已知a,b∈R求证a~2+ab+b~2-3a-3b+3≥0 证明令x=1/2(a+b), y=1/2(a-b), 则a=x+y, b=x-y,于是原式左边=(x+y)~2+(x~2-y~2)十(x-y)~2 -3〔(x+y)+(x-y)〕+3=3x~2+y~2-6x+3=3(x-1)~2+y~2≥0。例2 已知a,b∈R~+,求证(当且仅当c=b时,取等号)。证明:令x=1/2(a+b),y=1/2(a-b),则a=x 相似文献
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在教学中,“分母有理化”的解题技巧常常给予强调并广为同学们所运用;但对“分子有理化”,一种特殊的解题技巧却没有给予注意和介绍。致使不少同学面对用“分子有理化”这把“刀子”就能迎刃而解的习题感到十分棘手。下面通过数例介绍“分子有理化”在解题中的应用。例1.判定函数y=lg(x+(x~2+1)~(1/2))的奇偶性。解:∵f(-x)=lg(-x+((-x)~2+1)~(1/2)) =lg((x~2+1)~(1/2)-x)=lg(1/((x~2+1)~(1/2)+x)) =lg((x~2+1)~(1/2)+x)~(-1)=-f(x)。 相似文献
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解无理方程的常用方法是使方程有理化,但对于一些特殊的无理方程,如果盲目乘方,往往会招致繁琐的运算。这就需要根据题中的一些特殊条件,采用特殊的解法。而利用二次曲线的定义,将无理方程转化为二次曲线的标准方程是值得注意的解题方法,现举几例介绍如下: 例1 解方程 x~2-10(3~(1/2))x+80+(1/2)x~2+10(3~(1/2))x+80=20 解:原方程可化为:(x-5(3~(1/2))~2+5~(1/2)+(x+5(3~(1/2)))~2+5~(1/2)=20令y~2=5,则原方程为:(x-5(3~(1/2))~2+y~2)~(1/2)+(x+5(3~(1/2))~2+y~2~(1/2)=20。此方程表示动点P(x,y)到两定点(5(3~(1/2)),0)、(-5(3~(1/2)),0)的距离之和为20,故它表示椭圆。 相似文献
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在推导椭圆的标准方程的教学中,如果教师引导学生探索其中的数量关系,可以得出许多有趣的规律。教材中关于椭圆标准方程推导如下: |MF_1|+|MF_2|=2a((x+c)~2+2)~(1/2)((x-c)~2+y~2)~(1/2)=2a((x-c)~2+y~2)~(1/2)=a~2-cx(*)b~2x~2+a~2y~2=a~2b~2x~2/a~2+y~2/b~2=1(b~2=a~2-c~2)。从这个推导中我们可以算出下列几个结论。 (一)由(*)式((x-c)~2+y~2)~(1/2)/(a~2/c-x)=c/c 相似文献
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《中学数学》1984,(10)
一、本期问题 1.若c+b+c=0,a~2+b~2+c~2=0,a~3+b~3+c~3=k,求a~4+b~4+c~4的值;设n为正整数,求a~n+b~n+c~n的值。 2.设x+y+z=0,ax+by+cz=0(其中a、b、c是两两互异的实数),求x~2/yz的值。 3.设n为任意正奇数,m为任意整数,试证明(n+2m)~2-(n+2m)是24的倍数。 4.设正数A、B、C的常用对数分别是a、b、c,且a+b+c=0,证明A~(1/b+1/a)B~(1/a+1/a)C~(1/a+1/b)=1/1000。江苏吴江平望镇五金文具店顾幼元提供 5.已知x+1/y=y+1/z=z+1/x,求证x~2y~2z~2=1。 相似文献
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a~3+b~3+c~3-3abc是一个有趣的代数式。它是一个三次齐次式,整齐、简单、易记,更重要的是它具有很多有用的性质。性质1° a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。事实上,a~3+b~3+c~3-3abc =(a+b+c)(a~2+b~2+c~2-db-bc-ca) 所以 a~3+b~3+c~3-3abc能被a+b+c整除。性质2°设a,b,c为非负实数, 则a~3+b3+c~3≥3abc,当且仅当a=b=c时取等号。证明∵a~2+b~2+c~2-ab-bc-ca =1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-d)~2〕∴a~3+b~3+c~3-3abc=(a+b+c)·1/2〔(a-b)~2+(b-c)~2+(c-a)~2〕∵a≥0,b≥0,c≥0,且1/2〔(a-b)~2+ 相似文献
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对于一般的二元二次方程组A_1x~2+B_1xy+C_1y~2+D_1x+E_1y+F_1=0,A_2x~2+B_2xy+C_2y~2+D_2x+E_2y+F_2=0。可以写成下列形式 A_1x~2+(B_1y+D_1)x+ A_2x~2+(B_2y+D_2)x+ (C_1y~2+E_1y+F_1)=0 (1) (C_2y~2+E_2y+F_2)=0 (2)也可以把它写成y的降幂排列形式,如果把x~2、x作为两个未知数,那么解此二元一次方程组,有 相似文献
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判别式和曲线族的包络 总被引:1,自引:0,他引:1
“已知圆方程x~2+y~2-2(2m+1)x-2my+4m~2+4m+1=0(m∈R,),求所有圆的公切线方程。” 这是一道并不太难的解析几何题,有一位同学提出如下独特的解法: 解:把方程按m整理,得4m~2-(4x+2y-4)m+(x~2+y~2-2x+1)=0,由△m=(4x+2y-4)~2-4×4×(x~2+y~2-2x+1)=0化简得y(4x-3y-4)=0, 相似文献
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《数学通报》1964,(12)
1964年第12期問題 566.試求π的近似值355/113(密率)的一个簡单的作图方法。 (吳再丰譯自Praxis der Mathematik,1961) 567.已知a,b是小于1的正数,試用几何方法証明:(a~2+b~2)~(1/2)+((1-a)~2+b~2)~(1/2)+((a~2+(1-b)~2)~(1/2)++(1-a)~2+(1-b)~2)~(1/2)≥2×2~(1/2)。又,当且仅当a=1/2,b=1/2时等号才成立。 (张国宪提) 568.p,q为素数,方程x~2+p~2x+q~3=0有整数根嗎? (龔成通提) 569.不用查表,找出所有这样的二位数,即在它前面添上与它相邻的連續数后,由此所得的四位数是个完全平方数。 (龔成通提) 570.求方程 相似文献
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1) 解方程: x~3-(a+2)x+(a+1)~(1/2)=0 2) 解方程: x~4-6ax~2+8a((ax)~(1/2))-3a~2=0 3) 确定下式的最小值: a~2+b~2+c~2/S其中a,b,c是三角形的边,S是三角形的面积。 4) 证明: tgα·tg2α+tg2α·tg3α+…+tg(n-1)α·tgnα=tgnα/tgα-n。 5) 证明不等式: tgα(ctgβ+ctgγ)+tgβ(ctgα+ctgγ)+tgγ(ctgα+ctgβ)≥6。其中α,β,γ是锐角三角形的角。 6) 证明: C_n~1 1~2-C_n~2 2~2+C_n~3 3~2-…+(-1)~n C_n~(n-1) (n-1)~2+(-1)~(n+1) n~2=0 相似文献
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<正> 本文利用[1]的方法,证明数字系数的方程组(dx)/(dt)=λx-y-(5+δ)x~3+(12-C)x~2y+(25+γ)xy~2-(4+β)y~3,(dy)/(dt)=x+λy+4x~3+(65+3δ)x~2y-(12-C)xy~2-25y~3,(1)其中λ=10~(-2,830),γ=-10~(-1,407),β=10~(-698),δ=-10~(-226),C=10~(-46),出现五个围绕原点的极限环. 相似文献
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这是现行初中代数教材上的一道习题: 解关于x的方程 (a-x)~(1/2)(x-b)~(1/2)=(a-b)~(1/2)(A) 限制在条件a≥b,b≤x≤a下,将(A)两边平方,得 2(a-x)(x-b)~(1/2)=0。方程的两根是x=a或x=b。研究了(A)型方程的特点后来解这类无理方程是相当简捷的.现举数例如下。例1 解方程(100-x)~(1/2)+(x-64)~(1/2)=6。解:将原方程化为(A)型: 相似文献
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题目已知a/b+c=b/c+a=c/a+b,求a/b+c的值。解1 因a/b+c=c/a+b,由等此定理: a/b+c=a+b+c/(b+c)+(c+a)+(a+b)=a+b+c/2(a+b+c)=1/2。解2 因a/b+c=b/c+a=c/a+b=-d/-(a+c) 由等比定理得: a/b+c=a+(-b)/(b+c)+〔-(a+c)〕=a-b/b-a=-1 这岂不成了1/2=-1吗?谁是谁非? 相似文献
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题:解方程x+2x~(1/2)=1 解:原方程变形为2x~(1/2)=1-x, 两边平方得:2x~2=1-2x+x~2 即x~2+2x-1=0,解得x=-1±2~(1/2)。 相似文献