二次系统极限环线的(3,1)分布

<正> 文[1],[2]指出:在有限部分具有两个奇点,在无穷远只有一个简单奇点,而且是鞍点情况下,二次系统可以至少出现四个极限环,且呈(3,1)分布结构.文[1]举出二阶细焦点方程,文[2]举出三阶细焦点方程,都用[?]扰动方法使极限环产生(3,1)分布结果.     

一个至少具有六个极限环的三次微分系统

关于平面三次微分系统的极限环的个数问题,文献[1]、[2]分别得到了在一个奇点的邻域内产生五个环的结果。本文给出了一个至少具有六个极限环的具体例子,从而说明三次微分系统极限环的最大个数不小于六。 考虑系统     

微分方程组=a+sum from ((i+j)=2) (a_(ij)x~iy~j),=b+sum from ((i+j)=2) (b_(ij)x~iy~j)的极限环存在的分歧值与代数奇异环

§1 引言 董金柱最先研究如下的二次系统[1]: (?)=α+sum from i+j=2 (α_(ij)x~iy~i,(?)=b+sum from i+j=2 (b_(ij)x~iy~i) (E) 的极限环的个数问题,他指出(E)可以至少存在两个极限环,且这两个极限环的位置分布在两个奇点周围。文[2]中证明了(E)至多存在两个极限环。本文将应用旋转向量场理论,研究当旋转参数α=时极限环变为奇异环的分歧值。从而得出一些情况下(E)恰存在两个极限环的充要条件。依据[2],研究(E)的极限环,只要研究如下系统就行了:     

一类具有二阶细焦点的二次系统

文[2]已经证明,具有三阶细焦点的二次系统(叶彦谦形式)当n=0时不存在极限环。本文继续运用文[2]的方法,得到了具有二阶细焦点的二次系统当n=0时在二阶细焦点外围存在极限环的条件和不存在极限环的条件,同时证明这种系统在其他奇点外围不存在极限环。     

二次系统极限环的相对位置与个数

<正> 中的P_2(x,y)与Q_2(x,y)为x,y的二次多项式.文[1].曾指出,系统(1)最多有三个指标为+1的奇点,且极限环只可能在两个指标为+1的奇点附近同时出现.如果方程(1)的极限环只可能分布在一个奇点外围,我们就说此系统的极限环是集中分布的.本文主要研究具非粗焦点的方程(1)的极限环的集中分布问题,和极限环的最多个数问题.文[2]-[5]曾证明,当方程(1)有非粗焦点与直线解或有两个非粗焦点或有非粗焦点与具特征根模相等的鞍点时。方程(1)无极限环.本文给出方程(1)具非粗焦点时,极限环集     

二次系统(Ⅲ)n=0的极限环问题

本文研究了二次系统(Ⅲ)二次系统; Hopf分支; 极限环.国家自然科学基金(19871041)2004年2月20日2006年2月28日本文研究了二次系统(Ⅲ)二次系统; Hopf分支; 极限环.国家自然科学基金(19871041)2004年2月20日2006年2月28日本文研究了二次系统(Ⅲ)二次系统; Hopf分支; 极限环.国家自然科学基金(19871041)2004年2月20日2006年2月28日本文研究了二次系统(Ⅲ)n=0的极限环问题,利用Hopf分支理论,先考察其产生极限环的参数区域,对此外的参数区域,则运用定性分析的方法,分别给出了无环性的证明,并结合文[2]中的一个重要猜测进行讨沦,完善了谢文[5]的结论。     

一类多项式系统极限环的讨论

文[1]研究了二次系统证明了当ad≤0或ad≥3时,(E_2)无围绕原点的极限环,当0相似文献   

一类非线性微分系统极限环的存在性

研究了非线性微分系统 (dx)/(dt)=p(y),(dy)/(dt)=-q(y)f(x)-g(x)极限环的存在性,获得了该系统包围多个奇点的极限环存在的两个充分条件,所获结果改进和推广了文[1,2,3]中的相应结果,并且指出了文[2,3,4,5]中的疏漏.     

只有两个互不相包的极限环的二次系统的具体例子

<正> 因为现在已经证明了与的结果是错误的,因此二次微分系统有且只有两个互不相包的极限环的例子也不能从[4]§11的例题来肯定.本文给出这样的例子,并且指出了使极限环存在的参数变化的确界.系统     

方程(()=-y+σx+mxy-y~2 ()=x(1+ax))的极限环集中分布问题

的极限环集中分布问题,我在“二次系统Ⅱ类方程极限环的分布”(本刊,1983年第4期)一文中得到的结果实际上已经解决了这一问题,由于当时判断有误,没有发现这一点,认为“还不能把[4]中得到的两个区间连接起来”。 将文中(7)式的(i)应用于(8′),得     

关于一类平面三次系统的极限环

关于系统(1)的极限环的存在性问题,[1,2]已有过论述,[1]指出,当系统(1)仅有一个初等奇点,F(x,y)=0表示椭圆,且原点位于其内部时,系统(1)存在极限环;[2]考虑系统(1)有一个以上初等奇点,F(x,y)=0表示椭圆时的情况,给出系统(1)存在极限环的充分条件.本文在[1,2]的基础上继续研究系统(1)的极限环的存在性问题,与[1,2]不同,本文不但考虑 F(x,y)=0表示椭圆时情况,而且还考虑了 F(x,y)=0表示其它二次曲线时的情况,不但考虑了系统(1)有初等奇点时情况,而且还考虑了系统(1)有高次奇点时情况,给出系统(1)极限环存在的充分条件.     

二次系统(Ⅲ)n=0的极限环问题

本文研究了二次系统(Ⅲ)n=0的极限环问题,利用Hopf分支理论,先考察其产生极限环的参数区域,对此外的参数区域,则运用定性分析的方法,分别给出了无环性的证明,并结合文[2]中的一个重要猜测进行讨沦,完善了谢文[5]的结论。     

关于二次系统中心积分,Dulac 函数与极限环(Ⅰ)

<正> 本文研究二次系统的中心积分与 Dulac 函数和极限环之间的关系,首先得到二次系统所有中心情况下的通积分,完全用初等函数表示,借此导出一系列的 Dulac 函数,用以证明不存在极限环和在两个奇点附近不同时存在极限环的定理,以及用来判定非粗焦点的稳定性.一个二次系统如果原点为焦点或中心型奇点,由[5],则此二次系统可以简化为:(?)=λ_1x-y-λ_3x~2+(2λ_2+λ_5)xy+λ_6y~2,(?)=x+λ_1y+λ_2x~2+(2λ_3+λ_4)xy-λ_2y~2. (1)得到存在中心的充要条件和由非粗焦点产生极限环的条件(见[5])取决于系     

一类系统的极限环讨论

文[1]研究了二次系统 dx/dt=-y+dx+x~2+dxy-y~2 dy/dt=x·(1+ax+y)证明了ad≤0或ad≥3时,(E_2)无围绕原点的极限环,0相似文献   

一类非线性微分方程极限环的存在性

本文研究了方程: x+f(x)g(x)+φ(x)g(x)=0的极限环存在性问题,推广了文献[9]-[11]的有关结果。     

一类高次多项式系统的极限环及其对二次系统(Ⅲ)的应用

本文研究多项式系统(?)=-y~α(1-y)~α-δx~α(1-y)~α+lx~(α+1)(1-y)~(α-1)(?)=x~α[(1-y)~α+(ax)~α](α为正奇数)极限环的存在唯一性,完整地分析了该系统的分枝.并将其结果应用于二次系统(Ⅲ)(δ=-m,n=1),彻底解决了极限环的确切个数及分布问题.从而改进了[1—2]的结果.     

一类拟齐次多项式中心的极限环分支

确定平面拟齐次多项式微分系统具有中心的条件是一个难度很大的课题.该文首先将文献[12]给出的五次拟齐次多项式系统推广到n(奇数)次系统,给出它具有全局中心的充要条件.然后利用一阶Melnikov函数得到中心的周期环域在n次多项式扰动下产生的极限环个数的最小上界.最后证明了该上界适用于所有以m为权指数的(m,1)-(或(1,m)-)拟齐次平面多项式哈密顿系统,在2m-1次多项式扰动下分支出来的极限环个数,其中m为任意正整数.     

一类三次系统的极限环

主要研究一类三次系统的极限环存在性问题,推广了C.Chicone[2]的结果,给出此类系统极限环存在定理.     

二次自催化反应系统的极限环

文献[1]中给出了生物化学反应中自催化反应的一个数学模型其中a_o(>0)为描述单位时间内从外部流入反应器的原料数;a_1、a_2、a_3、a_4为非负反应常数。文献[1]指出,方程(1)可以存在极限环,并且用数值计算的方法给出了具体的极限环存在的例,但并未从理论上给以详细地研究。文献[2]则用定性的方法作了较完整地研     

一类具细焦点的三次系统极限环的唯一性

继续相关文献的工作,给出与二次系统Ⅰ相伴的一类三次系统在奇点N(0,1/n)的焦点量公式,证明了系统在细焦点N外围至多有一个极限环,同时证明了当N或O为细焦点时,系统在另一个焦点外围无极限环,结合相关文献的结论,说明了具有细焦点的该系统在全平面至多有一个极限环.