微分方程组=a+sum from ((i+j)=2) (a_(ij)x~iy~j),=b+sum from ((i+j)=2) (b_(ij)x~iy~j)的极限环存在的分歧值与代数奇异环

§1 引言 董金柱最先研究如下的二次系统[1]: (?)=α+sum from i+j=2 (α_(ij)x~iy~i,(?)=b+sum from i+j=2 (b_(ij)x~iy~i) (E) 的极限环的个数问题,他指出(E)可以至少存在两个极限环,且这两个极限环的位置分布在两个奇点周围。文[2]中证明了(E)至多存在两个极限环。本文将应用旋转向量场理论,研究当旋转参数α=时极限环变为奇异环的分歧值。从而得出一些情况下(E)恰存在两个极限环的充要条件。依据[2],研究(E)的极限环,只要研究如下系统就行了:     

函数序列a_n(x)=x■x的收敛性问题

迈克尔·斯皮瓦克所著“微积分”一书第二十一章的一个习题中,提出了函数序列(n=1,2,3……)的收敛区间问题。作者在解题提示中指出:当0相似文献   

为什么lin x→0 ln(1+x)~(1/x)=1

<正> 在极限运算中,学生经常提出这个问题。在一般高等数学的教科书中,对这个问题的回答都是:由对数函数的连续性而得。由于y=ln(1+x)~(1/x)不是基本初等函数,而是幂指函数与对数函数的复合函数,且x_0=0这一点又是该复合函数的间断点,所以学生对这样的回答一般都感到不易理解。     

运用重要极限lim x→0(1+x)~(?/x)=e求极限时的一个简便方法

<正> 运用重要极限lim(1+x)~(1/x)=e(或lim(1+1/x)~x=e)求极限是求未定式“1~∞”型极限的一个重要方法。例如:     

关于方程dy╱dx=-y+dx+lx~2+mxy+ny~2╱x+ax~2所定义的积分曲线的定性研究(Ⅰ)

关于方程立~d劣户00+户一。二+户。:y+户ZoxZ+户lix夕+户妇y;’(l)极限环问题川已作了部分研究,在排除几种不可能存在极限环的情况下,对于方程(l)极限环问题的研究可归结为研究方程卫么~众一夕+dx+lxJ+m二y+刀夕2二+axZ+bxy(2)郎【11中所谓(m)类方程.若假定b~0,则(2)化为方程卫艺~犷下.十dx+lx;+,砂.大.”,dx公+a刃2(3)亦郎(n)类方程.关于方程(3)的极限环问题,【l]先假定方程(3)中l~0,对这种情况下方程(3)的极限环的存在性与积分曲线的全局结构作了详细的研究,然后在方程(3)右端分子上加上一项l式1+。幻,希望利用旋转向量场的理论来研究方…     

关于方程 +φ(y)+Ψ(y)η(y)=0的极限环问题

本文研究了(1)的极限环问题,给出了判定其有无闭轨及极限环唯一的若干准则。推广和改进了[1]的结果。     

由庞卡莱环域定理导出系统+f(x,)+g(x)=0存在稳定极限环

由系统 f(x,) g(x)=0的内侧轨线找外侧轨线,再由庞卡莱定理推知系统 f(x,) g(x)=0存在稳定极限环.     

极限lim f(x)=0 x→+∞的一个充分条件的探讨

从无穷积分∫a+∞f(x)dx收敛与无穷远极限lim f(x)=0 x→+∞之间的关系展开论述,研究在广义积分∫a+∞f(x)dx收敛的前提下,无穷远极限lim f(x)=0 x→+∞的一个充分条件.在此基础上,适当减弱条件得到该条件的推广形式,为更好的解决无穷远极限lim f(x)=0 x→+∞的问题提供更一般的方法.     

微分方程(?)=φ(y)-F(x),(?)=-g(x)的极限环的存在唯一性

本文研究两个问题:1.给出方程组存在唯一个极限环的充分条件,与现有结果[5,6]相比,它并不要求环一定同时与F(x)的“零点直线”相交。2.异于通常所见的方法,我们的兴趣在于构造辅助函数:其中△>0满足F(△)=F(-△);是起着重要作用的待定常数(δ>0待定),它使我们可利用g(x)[F(x)-F(△)]和f(x)在一定范围内的定号性(并结合变换)而得到结果。     

方程组dx/dt=-y+δx+lx~2+xy+ny~2,dy/dt=x的极限环的唯一性

<正> 关于具实系数的实变量方程组dx/dt=-y+δx+lx~2+xy+ny~2,dy/dt=x的极限环的唯一性问题过去国内数学工作者曾得到不少结果,但仍未能彻底解决问题,本文的目的是要证明定理1 对于任意的系数δ,l,n方程组(1)最多只能有一个极限环.首先回忆一下历史,不失一般性,可假设     

微分方程 dx/dt=h(y)-F(x),dy/dt=-g(x)极限环的存在性

<正> 关于 Liénard 方程(dx)/(dt)=y-F(x),(dy)/(dt)=-g(x) (1)极限环的存在性问题已在很多文章中讨论过(文[1]中有这方面的一些主要结果),在证明极限环的存在性时,很多都是采用 Poincaré 环域定理,环域的境界线有一部分是方程(1)的轨线,因此境界线很难具体作出.本文讨论较(1)更为一般的方程     

方程(dy)/(dx)=(sumq_(ij)x~iy~j from 0≤i+j≤2)/(sum p_(ij)x~iy~j from 0≤i+j≤2)所定义的积分曲线的定性研究(Ⅵ):Ⅰ类方程的极限环

继【2],考察最一般的I类方程注劣.,二,二,_,、d,_,—~一y十心x十lx’十xy十n犷~尸Lx,夕),一~x~夕气x,y)‘dt----一dt一在其中不”‘+·>0,方程(‘,有两个有限远奇点:“(0,。,为焦点,“(”,劲(l)为鞍点,由旋转向量场的理论[a.4]得知,当d由。变为负值时,0由不稳定焦点变为稳定,在它附近产生一个不稳定极限环,且随d减小而单调地扩大.〔l]首先证明了:当l~o时,此极限环最后遇鞍点N而消失.在这一过程,没有其它极限环产生.【2」则证明了。~0或l一41,一。时极限环的唯一性.本文将证明,当,)21>0,l,)丝时,(l)的极 l6限环最多也只有一个.与此同时,还…     

二拍振荡方程+ρ(e~x—2)■+x=0的定性分析

本文讨论所谓二拍振荡(two stroke oscillations)方程x+p(e~x—2)x+x=0,p>0,(1)这一具有指数函数型阻尼特性的方程,据Corbeiller介绍,是由Van der Pol和de Figueiredo同时提出的,Corbeiller应用de Figueiredo的一个极限环存在定理证明了当0相似文献   

对方程=-y δx mxy-y~2的极限环集中分布问题》=x(1 ax)一文的意见

本刊1985.№.1中的文[1]曾研究(Ⅱ)_(ι=0)类方程 当条件 0<δ相似文献   

代数課本中一个定理limf(x)=f(a)(x→a)的教学建議

高二代数里“关于极限的定理(§S3)”一节分二課时,第二課时是求含有x的有理式的极限。这課教材,我感觉到比較难处理,(?)f(x)=f(a)和(?)f(x)=A两式关系怎样?同学是不容易搞清楚的。在这次实习过程中,我們討論与研究了它,采用了一种讲解方法,教学效果还比較好。现在就个人所見,提出一种讲解方法写在下面。 1.首先从具体的例子出发,奠定讲定理(?)f(x)=f(a)的基础。例1.已知lim x=1,求lim 3x/x 1=? [解] lim 3x/x=1=lim 3x/lim (x=1)=lim 3·lim x/lim x lim 1=3·(?)/1 1=3/2     

∫f(x)dx(x∈(a, ∞))收敛与limf(x)=0(x→ ∞)

讨论了当广义积分∫ ∞a f (x) dx收敛时 ,极限 limx→ ∞ f (x) =0的各种条件 .     

关于重要极限lim x→0 (sinx/x)=1证明与讲授方法的注记

重要极限lim x→0 (sinx/x)=1的常用证明方法是通过比较圆扇形和三角形的面积,得到不等式,再取极限,这种证明方法简明易懂,本文说明这种证明方法没有循环论证的问题.     

关于扰动系统=y+εP_n(y)x,=-x+εQ_n(x)y的极限环的上界(英文)

本文利用Paincare分支理论,给出了扰动系统的判定函数,并由此得到了该系统极限环最大个数等结果。同时还讨论了Lienard方程对应的扰动系统的有关问题,很容易得到了文[3]中的有关结论。     

系统x=-y d·x x~2 d·xy-(a 1)y~2-a·y~3 y=x·(1 ax y)(0≤a≤1)的极限环讨论

本文讨论了系统x=-y dx x~2 dxy-(a 1)y~2-ay~3(1)y=x(1 ax y)(0≤a≤1)的极根环,证明了: 1)ad≤0时,(1)在全平面上无极限环。 2)ad≥3时,(1)不存在围绕原点的极限环。 3)3>ad>0,|d|1时,(1)存在包围原点的极限环。 4)3>ad>0时,(1)至多有一个围绕原点的极限环。 本文包含了文[1]的全部结论。     

二次系统中的第Ⅱ类方程之极限环(Ⅱ)

<正> 早先,我们曾研究过二次系统中的第Ⅱ类方程(Ⅱ)_(n≠0)的极限环存在与不存在的某些问题;同时也研究过方程 (Ⅱ)_(n=0)的极限环之个数问题.在本文中,我们将研究方程(Ⅱ)_l=0(?)的极限环的个数问题.§1.极限环之几何性质及不存在性易知,当 m=0 时方程(1)的发散量为δ,所以此时方程(1)在全平面上无极限环,这说明不妨假定 m(?)0,然后通过相似变换可使 m=1,因此我们可以只考虑下列形状的方程: