你发现它们的周期了吗?

有些数学问题,表面上看与周期毫无关系,但实际上隐含着周期性,一旦揭示了周期,问题就迎刃而解。下面以函数和数列为例说明如下。 1．函数中的周期例1 设对任意整数x,都满足f(x)=f(x 1) f(x-1),且f(0)=19,f(4)=93,求f(59)的值。解∵ f(x)=f(x-1) f(x 1), ∴ f(x 1)=f(x) f(x 2), 两式相加并整理得f(x-1)=-f(x 2), ∴ f(x)=-f(x 3), ∴ f(x 6)=-f(x 3)=f(x), 从而f(x)是以6为周期的函数。∴ f(59)=f(6×9 5)=f(5) =f(4) f(6)=f(4) f(0)=112。例2 函数f(x)在R上是有定义的,且满足(1)f(x)是偶函数,且f(0)=2008；(2)g(x)=f(x-1)是奇函数。试求f(2004)的值。     

特取法解有关函数方程

在允许取值范围内赋变量予特殊值,从而使问题获解的方法叫“特取法”,下面谈谈特取法解有关函数方程的几个问题。一、证明函数f(x)的周期性例1设函数f(x)定义在整数集,且满足f(0)=1,f(1)=0,f(x_1 x_2) f(x_1-x_2)=2f(x_1)f(x_2),证明f(x)为周期函数。证明特取x_2=1,可得f(x_1 1) f(x_1-1)=2f(x_1)f(1)=0 再用x_1 2代入x_1且特取x_2=1,可得f(x_1 3) f(x_1 1)=2f(x_1 2)f(1)=0 由上述两式得f(x_1 3)=f(x_1-1) 令x_1=x 1得f(x 4)=f(x) 故f(x)是以4为周期的函数。二、证明函数f(x)的奇偶性例2已知f(x y) f(x-y)=2f(x)·f(y)对于一切实数X、y都成立,且f(0)≠0,     

新题征展(72)

A题组新编1.下列条件对于函数f(x)定义域中的每一个x都成立,其中(a≠0,k≠0,a,b,k∈R):(1)条件1f(x)-f(-x)=0;条件2f(a x)=f(a-x);条件3f(kx b)=f(-kx-b);条件4f(x)=(x-a)0.其中判断函数f(x)是偶函数的条件是.(2)条件1f(a x)=f(a-x);2f(x)=f(2a-x);3f(3a-x)=f(x-a);4f(x)=(x-a)     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1找到所有映射f:R→R,满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y,其中x,y∈R.解映射f(x)=0和f(x)=x2显然符合条件.下面证明不存在其它的映射符合要求.设映射f:R→R满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y(1)其中x,y∈R.令a=f(0).在(1)中取x=0则对任意y∈R,f(a y)=f(-y) 4ay(2)在(2)式中先取y=0,则有f(a)=a.取y=-a,则有a=a-4a2,即a=0.因此由(2)式知f是一个偶函数.在(1)式中令y=-f(x)及y=x2.比较其结果有4(f(x))2=4x2f(x).因而f(x)=0或f(x)=x2.现假设存在x0使得f(x0)≠0,则x0≠0及f(x0)=x02.因为f是偶函数.我们假设x0>0.令x为任意非零实数,在(1)式中令y=-x0,则…     

2007年江苏高考数学压轴题的巧思妙解

题目已知a,b,c,d是不全为零的实数,函数f(x)=bx~2 cx d,g(x)=ax~3 bx~2 cx d.方程f(x)=0有实数根,且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0的根;反之,g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根1)求d的值;2)若a=0,求c的取值范围;3)若a=1,f(1)=0,求c的取值范围.原参考答案1)d=0解答略.2)c∈[0,4).解答略.3)由d=0,f(1)=0得b=-c,f(x)=bx2 cx=-cx(x-1).g(f(x))=f(x).[f2(x)-c f(x) c].由f(x)=0可以推得g(f(x))=0,知方程f(x)=0的根一定是方程g(f(x))=0的根.当c=0时,符合题意.当c≠0时,b≠0,方程f(x)=0的根不是f2(x)-c f(x) c=0的根.因此,根据题意方程f2(x)-c f(x) c…     

1、究竟是哪一个解

题:已知f(1/x)=x (1 x~2)~(1/2),求解方程f(x)=2x。解法一:由已知变换得f(x)=1/x (1 x~2)~(1/2)/|x|,又f(x)=2x ∴1/x (1 x~2)/|x|=2x     

新题征展(95)

A 题组新编 　　1.(孙金兰)(1)若f(x)=x/x+2,则f-1(x+2)=___; 　　(2)若f(x+2)=x/x+2,则f-1(x+2)=__; 　　(3)若f-1(x+2)=x/x+2,则f(x+2)=__.……     

不确定的 f~(-1)[f(x)]

题:若f(x)=3x-2,求f~(-1)[f(x)]。解法一∵f(x)=3x-2, ∴f[f(x)]=3f(x)-2=9x-8。 x=f[f(x)] 8/9; 故 f~(-1)[f(x)」=x 8/9。解法二∵f(x)=3x-2, ∴x=f(x) 2/3,f~(-1)(x)=x 2/3 故 f~(-1)[f(x)]=f(x) 2/3 =3x-2 2/3=x 解法三∵f(x)=3x-2, ∴确定函数f(x)的映射是从定义域集R到值域集R的一一映射,即f:x→3x→2=y。     

争鸣

问题问题109已知函数f(x)满足:f(x y) f(x-y)=2f(x)·f(y),且f(0)≠f(π2)=0,求f(π)及f(2π)的值.解法1令x=y=0,得f(0)=1.令x=y=π2,得f(π)=-1.令x=y=π,得f(2π)=1.解法2令x=y=0,得f(0)=1.令x=32π,y=π2,得f(2π)=-f(π).再令x=y=π,得f(2π) 1=2f2(π),∴2f2(π) f(π)-1=0.∴f(π)=12或f(π)=-1,从而f(2π)=-12或f(2π)=1.问题出在哪里?问题110人教版高一数学(上)P8,有下面一段话:容易知道,对于集体A,B,C,如果A B,B C,那么A C.事实上,设x是集合A的任意一个元素,因为A B,所以x∈B,又因为B C,所以x∈C,从而A C.这个证明严格吗?…     

关于二次函数迭代的一个定理的简证

对二次函数f(x)=x2 bx c进行n次迭代,得到f[n](x),其中f[1](x)=f(x).函数f(x)有无不动点(即方程f(x)=x有无实数根)对方程f[n](x)=x解的情况有何影响?文[1]、文[2]对此进行了探讨,得到一些颇有价值的结论.其中文[2]证明了下述结果:定理设f(x)=x2 bx c,Δ0=(b-1)2-4c,若方程f(x)=     

新题征展(75)

A题组新编1.(1)若f(x)=18 x3,则f(1512) f(1256) … f(12) f(1) f(4) … f(1024) f(2048)=;(2)若f(x)=14-x2,则f(1512) f(1256) … f(12) f(1) … f(1024) f(2048)=;(3)若f(x)=11 2x2,则f(1512) f(1256) … f(12) f(1) … f(128) f(256)=;(4)f(x)=18 x6,则f(1512) f(1256) … f     

考点3 映射与函数

1.(湖南卷,2)函数f(x)=1-2x的定义域是().(A)(-∞,0](B)[0,+∞)(C)(-∞,0)(D)(-∞,+∞)2.(浙江卷,3)设f(x)=x-1-2,11+x2,x≤1,x>1,则f[f(21)]=().(A)21(B)143(C)-59(D)42153.(山东卷,6)函数f(x)=sin(πx2),ex-1,x-≥1<0.x<0,若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为().(A)1(B)-22(C)1,-22(D)1,224.(广东卷,11)函数f(x)=11-ex的定义域是.5.(江苏卷,15)函数y=log0.5(4x2-3x)的定义域为.6.(江苏卷,17)已知a、b为常数,若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b=.考点3映射与函数1.由1-2x≥0,得x≤0,选(A).2.∵f(12)=-23,∴f[f(21)]=f(-23)=143,故…     

此类“抽象函数”竟是“具体函数”

最近办公室里“吵得不可开交”,“罪魁祸首”是下面这道月考题:题1函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,对任意的想x,y∈(0,+∞),都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且f(4)=5.(1)求f(2)的值;(2)解不等式f(m-2)≥3.参考答案:(1)因为f(4)=f(2+2)=2f(x)-1=5,所以f(2)=3.     

该配对时就配对

有一类计算题,已知函数f(x),求这个函数f(x)在许多点处的函数值之和。对这类计算题,往往直接计算甚是繁杂,费时费力,但根据已知函数f(x)的特点,通过两两配对,而恰恰每一对的和又是定值,这时,可巧妙地解决问题,下面举例说明。例1 (2002年全国高考题)如果函数f(x)=x~2/(1 x~2),则f(1) f(2) … f(9) f(1/2) f(1/3) … f(1/9)=____。解因为f(x)=x~2/(1 x~2),则f(1/x)=1(1 x~2)(x不为0),恰有f(x) f(1/x)=1。于是将f(2)与f(1/2)、f(3)与f(1/3)、…、f(9)与f(1/9)配对,得所求的结果为17/2。     

让抽象函数现“型”

<正>有这么一道小题:已知函数y=f(x)(x∈(0,+∞))满足x,y∈(0,+∞),都有f(x·y)=f(x)+f(y)-1,且f(1/2)=0,求f(8).大部分同学会根据题中的条件用特值法先求出f(1)=1(令x=y=1),再求出f(2)=2(令x=2,y=1/2),进而求出f(4)=3,最后求出f(8)     

介绍一个函数方程

定义二元函数f(x,y)=xy 1,容易验证它满足性质: (1)f(x,0)=1; (2)f(f(x,y),z)=f(z,xy) z. 事实上,f(f(x,y),z)=f(x,y)·z 1=(xy 1)z 1=(z·xy 1) z=f(z,xy) z.     

关于函数y=(c dx~n)/(a bx~n)的一个恒等式的改进

文[1]给出了一个函数恒等式:定理1若f(x)=ac bdxxnn(ad≠bc,ab≠0),则f(x) f(na2b2·1x)=bca bad恒成立.显然当n是偶数时f(x) f(-na2b2·1x)=bca bad也恒成立.另外可发现使f(x) f(A·1x)=C恒成立的常数C和相应的常数A(不计正负号)是唯一确定的,这样定理1就可改进为:定理2若f(x     

浅谈迭代函数的零点问题

<正>我们先给出迭代函数的概念:一般地,如果给定一个函数f(x),它的值域是其定义域的子集,那么我们可以记f⁽¹⁾(x)=f(x),f(1)(x)=f(x),f⁽²⁾(x)=f(f(x)),f(2)(x)=f(f(x)),f⁽³⁾(x)=f(f(f(x))),……,f(3)(x)=f(f(f(x))),……,f⁽ⁿ⁾(x)=f(f(n)(x)=f(f^(n-1)(x))=(f(f(…f(x)…)))n个f并把它们依次叫做函数f(x)的一次迭代,二次迭代,三次迭代,……,n次迭代.n称为f(x)的迭代指数,显然,n次迭代就是同一函数的n次复合函数,下面讨论与二次迭代函数的零点     

2020年全国Ⅰ卷文科数学函数题的探究

<正>1问题呈现(2020全国Ⅰ卷文科数学第20题)已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.分析与解(1)当a=1时,f(x)=e^x-(x+2),∴f′(x)=ex-(x+2),∴f′(x)=e^x-1,令f′(x)=0,我们得到x=0,所以当x<0时,f′(x)<0;当x>0时,f′(x)>0;所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.     

二次函数迭代的一个问题

众所周知,将二次函数f(x)=x2 bx c进行n次迭代,得到f[n](x),这是个2n次多项式,函数f(x)有无不动点(即方程f(x)=x有无实根)对方程f[n](x)=x的解的情况有何影响?本文拟对此进行一些探索.在本文中,我们规定f[0](x)=x.1函数f(x)没有不动点如果函数f(x)没有不动点,即方程x2 (b-1)x c